拉氏变换习题解答 习题 求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果 (1)f()=sin:(2)f(t)=e2;(3)f()=t2:(4)f()= sin t coSt (5)f()=sinh kt: (6)f(=coshkt: (7)f()=cos t; (10)f()=cost 解)df(O)=-lsin2e-"b= e -s+1 2 S+ 2 2 (5 (2)e[/(]=e"2le"dt= e-0+2dt Res>-2 -(S+2)s+2 (3)a[(o]=t'e"dr + 2te- dt 2+ dt 2 (4)sf(r) sin t cos tedt sin 2te dt= 6d-shoch2C-c“m={h-c) {k k stk
拉氏变换习题解答 习题一 1．求下列函数的拉氏变换,并用查表的方法来验证结果. (1) ( ) sin 2 t f t = ； (2) ( ) 2t f t e− = ； (3) ( ) 2 f t = t ； (4) f ( )t = sin t cost ； (5) f ( )t = sinh kt ； (6) f ( )t k = cosh t ； (7) ( ) 2 f t = cos t ; (10) ( ) 2 f t t = cos . 解 (1) & ( ) i i 2 2 0 0 ( ) sin 2 2i t t st st t e e e f t e dt dt − − +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ i i ( ) ( ) 2 2 0 1 ( ) 2i s t s t e e dt +∞ − − − + = − ∫ i i ( ) ( ) 2 2 1 0 0 2i i i 2 2 | | s t s t e e s s ⎡ − − +∞ + − + ∞ ⎤ ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ − + − − ⎥ ⎣ ⎦ i i 1 1 1 1 2 2 2i i i 2i i i 2 2 2 2 s s s s s s ⎡ ⎤ + − + ⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ = ⎛ ⎞⎛ ⎢ ⎥ − + ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ ( ) 2 2 1 2 2 Re 0 1 4 1 4 s s s = = > + + (2) & ( ) 2 ( 2) 0 0 t st s t f t e e dt e +∞ +∞ − − − + ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ dt ( ) ( 2) 0 1 Re 2 ( 2) 2 | s t e s s s +∞ − + = = > − + + − (3) & ( ) 2 2 0 0 0 1 | 2 st st e st f t t e dt t te dt s s − +∞ +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = − + ⎣ ⎦ ∫ ∫ 2 2 0 0 2 2 | st st te e dt s s +∞ +∞ − − = − + ∫ ( ) 3 2 0 2 2 | Re 0 st t e s s s +∞ − = = − = > (4) & ( ) 0 0 1 sin cos sin 2 2 st st f t t te dt te dt +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( 2i) ( 2i) 0 1 4i s t s t e e dt +∞ − − − + = ⎡ ⎤ − ∫ ⎣ ⎦ ( ) ( )⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − = +∞ − + +∞ − − 4i 2i 2i 1 | | 0 ( 2i) 0 ( 2i) s e s e s t s t ( ) Re 0 4 1 2i 1 2i 1 4i 1 2 > + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = s s s s (5) & ( ) 0 0 sinh 2 kt kt st e e st f t kte dt e dt − +∞ +∞ − − − ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 s k t s k t e dt e dt +∞ +∞ − − − + = − ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 2 ( ) ( ) | | s k t s k t e e s k s k +∞ +∞ ⎛ ⎞ − − − + ⎜ ⎟ = − − − − + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 1 1 Re max{ , } 2 k s k s k s k s k ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = > − ⎝ ⎠ − + − k - 1 -
(6)[5()]= cosh kte"dt=J. -(s-k)r (s+k) 1 (S+ k s-ks+k丿s2-k2 (Res> max(k,-k) o(-9h=2(+l2b COS 2r.e-5 ss2+4丿s(s2+4) s()-5sn"th=20(-c02y cos 2t-e dt 2、ss2+4丿s(s2+4) (Res>o 2.求下列函数的拉氏变换 (1)f()= 2≤t<4 丌 (3)f()=e2+56() (4)f(o=8()cost-ufo)sint (2)alo]=b f(e "dr =f 3e"dt+[coste"dr ,2 3_3e2 (s-1)-(s+1) S+1 (3)(=[p2+6}-d=C"e°e"d+5[3)d 5s-9 (4)<[(]=8() cost.e"dt- sin te"dt=cost e" s2+1s2+1 设f()是以2为周期的函数且在一个周期内的表达式为 ()={m,0≤x,求Li
(6) & ( ) 0 0 cosh 2 kt kt st e e st f t kte dt e dt − +∞ +∞ − − + ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 0 0 1 2 s k t s k t e dt e dt +∞ +∞ − − − + = + ∫ ∫ ( ) ( ) 1 0 0 2 ( ) ( ) | | s k t s k t e e s k s k +∞ +∞ ⎛ ⎞ − − − + ⎜ ⎟ = + − − − + ⎝ ⎠ ( ) 2 2 1 1 1 Re max{ , } 2 s s k s k s k s k ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ = > − ⎝ ⎠ − + − k (7)& ( ) ( ) 2 0 0 1 cos 1 cos 2 2 st st f t t e dt t e dt +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = ⋅ = + ⎣ ⎦ ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = + ⋅ ∫ ∫ +∞ − +∞ − e dt t e dt st st 0 0 cos 2 2 1 ( ) Re 0 ( 4) 2 4 1 2 1 2 2 2 > + + ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + s s s s s s s (8)& ( ) ( ) 2 0 0 1 sin 1 cos 2 2 st st f t t e dt t +∞ +∞ − − ⎡ ⎤ = ⋅ = − ⎣ ⎦ ∫ ∫ e dt ( 0 0 ) 1 cos 2 2 st st e dt t e dt +∞ +∞ − − = − ⋅ ∫ ∫ ( ) 2 2 1 1 2 Re 0 2 4 ( 4) s s s s s s ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − = > ⎝ ⎠ + + 2．求下列函数的拉氏变换. (1) ( ) ; (2) ( ) 4. 2 4 0 2 0, 1, 3, ≥ ≤ < ⎩ ⎨ ⎧ = t t t f t (3) ( ) 5 ( ).; (4) 2 f t e t t = + δ f (t) = δ (t)cost − u(t)sin t. 解 （1） &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ − +∞ − − = = − 4 0 2 2 0 f t f t e dt 3e dt e dt st st st (3 4 ) 1 3 3 2 4 4 2 2 0 | | s s st st e e s s e s e − − − − + = − + − = （2）&[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ +∞ − − +∞ − = = + ⋅ 2 2 0 0 3 cos π st π st st f t f t e dt e dt t e dt ∫ +∞ − − = − + + − = 2 i i 2 0 2 3 | π π e dt e e e s st t t t st ∫ +∞ − − − + − = − + + 2 2 ( i) ( i) ( ) 2 3 3 1 π π e e e dt s s s t s t s ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + + − − = − + +∞ = − + +∞ = − − − 2 ( i) ( i) 3 3 1 | | 2 ( i) 2 ( i) 2 s e s e e s s t s t t s t πs π π ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = − + − − − + − 2 i i 3 3 1 2 ( i) 2 ( i) 2 s e s e e s s s s s π π π 2 2 2 1 3 3 1 s s e s e s s π π − − + = − − （3） &[ ] f ( )t [ ] e t e dt e e dt ( )t e dt t st t st −st +∞ +∞ − +∞ − ∫ ∫ ∫ = + = + 0 0 2 0 2 5δ ( ) 5 δ ( ) 2 5 9 5 2 1 5 2 1 | 0 − − + = − + = − = = − − +∞ ∫−∞ s s e s t e dt s t st st δ （4）& ( ) ( ) 0 cos sin st st f t δ t t e dt te dt +∞ +∞ − − −∞ ⎡ ⎤ = ⋅ ⋅ − ⎣ ⎦ ∫ ∫ 1 1 1 1 1 1 cos 2 2 2 2 0 | + = + = − + = ⋅ − = − s s s s t e t st 3．设 f (t)是以 2π 为周期的函数,且在一个周期内的表达式为 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ < < < ≤ = π π π 2 0 0, sin , t t t f t ，求&[f (t)]. - 2 -
解周期为T的函数f()的拉氏变换为 因此有 o)=-e=-kh=1-e=mrc“b 1-e)x1-e(x+)x c2i(-1+1)i-es+1-“)+ 4求下列各图所示周期函数的拉氏变换 4b t f() f() 4a5 解(1)由图易知f(是周期为b的函数且在一个周期内的表达式为 f()=t,0≤t<b 由公式 1+bs b s2 sl-e-bo) (2)已知f()是周期T=x的周期函数在一个周期内 sin t 0≤t<丌 由公式
解 周期为 T 的函数 f ( )t 的拉氏变换为 &[ ] ( ) ( ) ,(Re 0) 1 1 . 0 > − = ∫ − − f t e dt s e f t T st sT 因此有 &[ ] ( ) ( ) t e dt e f t e dt e f t st s st s − − − − ⋅ − = − = ∫ ∫ π π π π 0 2 2 0 2 sin 1 1 1 1 ∫ − − − − − = π π 0 i i 2 1 2i 1 e dt e e e st t t s ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − ⋅ − = = − + = − − − 2 i i i 1 1 1 | | 0 ( i) 0 ( i) 2 s e s e e t s t t s t s π π π ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − − ⋅ − = − − − + − i 1 i 1 2i 1 1 1 ( i) ( i) 2 s e s e e s s s π π π ( ) 1 ( 1) 1 1 1 1 1 2 2 2 − + = + + − = − − − s e s e e s s s π π π 。 4.求下列各图所示周期函数的拉氏变换 (1) (2) O π t 2π f t( ) f (t) b O b 2b 3b 4b t (3) (4) f ( )t 1 O 4a 5a t 2a 3a a -1 t 5b f (t) b 2b 3b 4b 1 O -1 解 (1)由图易知 f (t)是周期为b 的函数,且在一个周期内的表达式为 f (t) = t, 0 ≤ t < b 由公式 &[ ] ( ) ∫ − − − = b st bs te dt e f t 1 0 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = ∫ − − − b st b bs bs e dt s te e s 0 0 1 1 1 1 | ( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = − − − 1 1 1 1 2 bs bs bs e s s be e 2 1 1 1 s bs bse e bs e bs bs bs − + − − ⋅ − = − − − ( ) bs s e b s bs − − − + = 1 1 2 (2)已知 f ( )t 是周期T = π 的周期函数,在一个周期内 f t( ) = sin t, 0 ≤ <t π 由公式 - 3 -
e[(]=,-bsJo sin te"dr (3)由图可知f()是周期T=4a的周期函数在一个周期内 a<t 0,3a 由公式 clfo dt 1b"dr 11-e tanh d 1+e s(l+e (4)由图易知,f()是周期为2b的周期函数在一个周期内 由公式 0-x“h=-(-+)“ -bs⊥a-2b-b e+e 习题二 求下列函数的拉氏变换式 (1)f(t)=t2+3+2 (2)f()=1-e (3)f()=(-1)e (4)f(=sin at (5)f(0=tcosat (6)f(=sin 2r
& ( ) 0 1 sin 1 st bs f t te dt e π − − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ − ∫ 2 1 1 1 1 s s e e s π −π + = − + 2 1 coth 1 2 s s π = + (3)由图可知 f ( )t 是周期T = 4a 的周期函数,在一个周期内 ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ < ≤ < ≤ < ≤ < − = a t a a t a a t a t a f t 3 4 2 3 2 0 0, 1, 0, 1, 由公式 &[ ] ( ) ( ) ∫ − − − = a st as f t e dt e f t 4 0 4 1 1 ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ + − − = − − − ∫ ∫ e dt e dt e st a a a st as 3 0 2 4 1 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − = = − = − − s e s e e a t a st a t st as 3 0 2 4 1 1 s e e e e as as as as 3 2 4 1 1 1 − − − − − + − ⋅ − = ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) as as as as as as as s e e e e s e e e − − − − − − − + + − + = − − − = 1 1 1 1 1 1 1 4 2 2 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 tanh 1 1 1 as as as as e as s e e s e − − − − − = ⋅ = + + + (4)由图易知, f (t)是周期为 2b 的周期函数,在一个周期内 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − ≤ < ≤ < = b t b t b f t 1, 2 1, 0 由公式 &[ ] ( ) ( ) ∫ − − − = b st bs f t e dt e f t 2 0 2 1 1 ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − = ∫ ∫ − − − b st b b st bs e dt e dt e 0 2 2 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − = = − = − − s e s e e b t b st b t st bs | | 2 0 2 1 1 s e e e e bs bs bs bs − − − − − + − ⋅ − = 2 2 1 1 1 ( ) 2 2 1 1 1 tanh 1 2 bs bs e bs s e s − − − = ⋅ = − 习题二 1．求下列函数的拉氏变换式. （1） ( ) 2 f t t = + 3t + 2 （2） ( ) t f t = 1− te （3） ( ) 2 ( 1) t f t t = − e （4） ( ) at t f t sin 2α = （5） f ( )t t = cos at （6） f (t) = 5sin 2t − 3cos 2t - 4 -
(7)f(=e-27sin 6t (8)f(1)=ecos4 (9)f()=r"e (10)f()=u(3t-5) (11!y)=-e-) (12)f() 解(1)利用< d)-2+3+21-oh]+312|+2c (2)cf ,(1)-p (3)-d[u-1a]=d2-2+0]=l+24l+el s+a (5)e(]=a[t coat/ =a ds l coat ]=-5 s2 (s2+a2)2 (6)<[f()=c5sn2-3cos2]-5cin2]-3os2] 10 4s2+4s-+4 (7)w)-de'sin67] (s+2)2+36 这里有 eosin 6r] 6 s2+36 再利用位移性质得到 (8)同(7)利用os4小 及位移性质 s2+16 f(I 4 (9)利用]=m及位移性质得 ezl(]=ex/]=nl
（7） f ( )t = e−2t sin 6t （8） ( ) 4 cos 4 t f t e− = t （9） f ( )t = t n eαt （10） f (t) = u(3t − 5) （11） f ( )t = u(1− e−t ) （12） ( ) t e f t 3t = 解（1）利用&[ ] ( ), 1 1 1 > − Γ + = + α α α α s t ， &[f ( )t ] = & & 2 ⎡ ⎤ t t + + 3 2 = ⎣ ⎦ 2 ⎡t ⎤ + 3 ⎣ ⎦ & 3 2 t 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ &[1] 3 2 2 3 2 s s s = + + （2）&[f ( )t ] = &[ ] − = & & t 1 te [ ]1 − [ ]t te ds d s = + 1 &[ ] ( )2 ' 1 1 1 1 1 1 − ⎟ − = − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − s s s s et （3）&[f ( )t ] = & & 2 ( 1) t ⎡ ⎤ t − = e ⎣ ⎦ 2 ( 2 1) t ⎡ t t − + e ⎤ = 2 2 d ds &[ ] ＋2 t e d ds &[ ]＋&[ ] t e t e ⎣ ⎦ 2 3 4 5 ( 1) s s s − + = − （4）&[f ( )t ] = & a at a t 2 1 sin 2 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ &[tsin at] ds d 2a 1 = − &[sin at] 2 2 2 2 1 ' 2 ( a s a s a s a ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + + 2 ) （5）&[f ( )t ] = &[t a cos t] = － d ds &[cos at] 2 2 2 2 2 2 ' ( ) s s s a s a ⎛ ⎞ − = −⎜ ⎟ = ⎝ ⎠ + + 2 a （6）&[f ( )t ] = &[5sin 2t − 3 cos 2t]=5&[sin 2t]− 3&[cos 2t] 4 10 3 4 3 4 10 2 2 2 + − = + − + = s s s s s （7）&[f ( )t ] = & 2 2 6 sin 6 ( 2) 36 t e t s − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ + + 这里有 &[ ] 36 6 sin 6 2 + = s t 再利用位移性质得到. （8）同（7）利用&[ ] 16 cos 4 2 + = s s t 及位移性质 &[f ( )t ] = & ( ) 4 2 4 cos 4 4 1 t s e t s − 6 + ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ + + （9）利用&[ ] 1 ! + = n n s n t 及位移性质得 &[f (t)] = &[ ] ( ) 1 ! + − = n n at s a n t e - 5 -
(10)解法1由u(3-5) (=sx-5)=-5k“at 解法2由相似性质 由位移性质 (1)因为-)-1-c>00 所以 (12)利用t 及位移性质 el(I 2.若()=F(s),a为正实数,证明(相似性质)(am)=1r(s) 证af(a)=。f(ar)ed=-fan)ed(a)=F(=) 3.若[f()]=F(s),证明F("(s)=e(-)”f(),Re(s)>c。特别yf()=-F(s),或 f(1)=--[F(s)],并利用此结论,计算下列各式: (1)f()=esn2r,求F(s):(2)fO= e"sin2h,求F(s) (3)F(s)=h+1 求f():(4)f(1)=esin2d,求F(s) 解F"(s)=c[f() dso Jo ()e"d=*" f()e"Jot=。(-)”f(le-t
（10）解法 1 由 ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = 3 5 3 5 0, 1, 3 5 t t u t &[f ( )t ] = &[ ] ( ) ( ) ∫ +∞ − − = − 0 u 3t 5 u 3t 5 e dt st ∫ +∞ − +∞ = − − = − = = 3 5 3 5 3 | 5 s e s e e dt s t st st 解法 2 由相似性质 &[ ] ( ) s s u t 1 3 1 3 1 3 = ⋅ = 由位移性质 &[ ] u(3t − 5) = & } 3 5 { 3 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ u t − s e 3 5 − = & ( ) 5 3 3 s e u t s − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ （11）因为 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − > − = − − − 1 0, 0 1 0, 0 0, 1, 1 e t e t u e t t t 所以 &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ − +∞ − = = = 0 0 1 s f t f t e dt e dt st st （12）利用& 2 1 2 1 2 1 2 1 s s t π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 及位移性质 &[f (t)] = & 3 3 − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ t s e t π 2．若&[ ( f t)] = F(s) ， a 为正实数，证明（相似性质）& 1 [ ( )] ( ) s f at F a a = 。 证 & 0 0 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) s at st a s f at f at e dt f at e d at F a a +∞ +∞ − − = = = ∫ ∫ a 3．若&[ ( f t)] = F(s) ，证明 ( ) ( ) n F s = &[( ) ( )]，Re 。特别&[ ( ，或 n −t f t (s) > c tf t)] = −F '(s) f ( )t = 1 t − & ，并利用此结论，计算下列各式： 1 [ ' F s( )] − （1） 3 ( ) sin 2 t f t te− = t ，求 F s( )；（2） 3 0 ( ) sin 2 t t f t t e td − = ∫ t ，求 F s( )； （3） 1 ( ) ln 1 s F s s + = − ，求 f (t)； （4） 3 0 ( ) sin 2 t t f t te t − = ∫ dt ，求 F s( )。 解 ( ) ( ) n F s = n n d ds &[ ( f t)] 0 0 0 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) n n st st n st n n d d f t e dt f t e dt t f t e dt ds ds +∞ +∞ +∞ − − = = = − ∫ ∫ ∫ − - 6 -
=c[(-1)"f()],Re(s)>c。 (1)利用公式()=-F(s) 2t ele sin 2t 4(S+3) (S+3)+2 (s+3)+4 (2)由积分性质 e-r sin 2rd s(ds+3)+4 再由像函数的微分公式 )=「 s(+3)+4 (3)F()=/h1 ezt-sinht, nf(0=-sinht (4)s[f()= te-sin 2td 1 若f()=F(s),证明<() ∫oM,(0=[POM并利用此 结论,计算下列各式 (1) f(sin kt ,求F(s) (2)f(1)= sin21,求F(s) (3)F(s)= ,求f(t) (4)f() esin2dt,求F(S) 解∫F(s)=「,(-d=Jmol-h= f(De"d=df( sin kt (1)F(s)= du= arctan =--arctan - arc cot (2)F(s)=e desim2zl-r de="snalu-r' du= arctan u+3)2+4 s+3 arctan arc cot du
＝&[( ) ( )]， Re 。 n −t f t (s) > c （1）利用公式&[ ] tf (t) = −F'(s) &[f ( )t ] = & 3 sin 2 t d te t ds − ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ & 3 [ sin 2 ] t e t − 2 2 2 2 2 4( ( 3) 2 ( 3) 4 s s s ⎛ ⎞ + = −⎜ ⎟′ = ⎝ ⎠ + + ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ 3) （2）由积分性质 & s e d t 1 sin 2 0 3 =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∫ − τ τ τ &[ ] ( ) 3 4 1 2 sin 2 2 3 + + = ⋅ − s s e t t 再由像函数的微分公式 &[f ( )t ] = & ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + = − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∫ − [ 3 4] 2 sin 2 2 0 3 ds s s d t e d t τ τ τ ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 3 4 2 3 12 13 + + + + = s s s s （3） 2 1 1 '( ) ln ' 2 1 1 s F s s s ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ − − & 2 t t inh ] t [ s ，知 2 f ( )t t sinh t = （4）&[f ( )t ] = & 3 0 1 sin 2 t t te tdt s ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ &[te t] t sin 2 −3 ( ) [ ] ( ) 2 2 3 4 4 3 + + + = s s s 4．若&[ ( f t)] = F(s) ，证明& ( ) ( ) s f t F s ds t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ，或 f ( )t t = &－1 ( ) s F s ds ∞ ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ 。并利用此 结论，计算下列各式： （1） sin ( ) kt f t t = ，求 F s( )； （2） 3 sin 2 ( ) t e t f t t − = ，求 F s( )； （3） 2 ( ) ( 1) s F s s = − 2 ，求 f (t)； （4） 3 0 sin 2 ( ) t t e t f t dt t − = ∫ ，求 F s( )。 解 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) st st st s s s f t F s ds f t e dtds f t e dsdt e dt t ∞ ∞ +∞ +∞ ∞ +∞ − − − === = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ & f ( )t t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （1） F( )s = & sin s kt t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ &[sin kt]du 2 2 arctan | s s k u du u k k ∞ ∞ = = + ∫ arctan 2 s k π = − arc cot s k = （2） F( )s = & ∫ ∞ − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ s t t e sin 2t 3 &[ ] e t du t sin 2 −3 ( ) ∫ ∞ + ∞ = + + = s s u du u | 2 3 arctan 3 4 2 2 2 3 arctan 2 + = − π s 2 3 arc cot + = s （3） f ( )t = t & ( ) 1 2 2 1 s u du t u ∞ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ∫ & ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − ∞ − s u 1 1 2 1 2 1 = t & ( ) t t t e e s s − − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⋅ − ⋅ 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 t t sh 2 = - 7 -
(4)F()= sin 2t 计算下列积分 (2)/1-cost e- cos bt -e cos nt (4 e"cos 2tdt (6) te sin tdt t3e (1)["erf idr 2), Jo(Odr 其中er=一元=。"如称为误差函数,J() (-1)(t) x(2(2/称为零阶贝塞尔(Bes) 解()由公式“八d=sU小得 14-m2 e-a cos bt -e S十a cos bt -e cosnt +4+b-(G+m)+的 s+ m+n 2a2+b2 (4已知cko2-cose"t 因此 (5 已知2小=二2再由微分性顾d21(24 得 dt 2+4 mma=2mp4斗m4m 2+-+17 ds=-arctanls+ arctan ls+v2+
（4） F( )s = & s d te sin 2 1 0 3 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ − τ τ τ τ & ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − t e sin 2t 3τ ∫ ∞ = ⋅ s s 1 &[ ] ∫ ∞ − + + == ⋅ s t du s u e t du ( 3) 4 1 2 sin 2 2 3 2 3 arc cot 1 2 3 arctan 1 | + = + = ∞ = s s u s u s 5．计算下列积分： (1) ∫ +∞ − − − 0 2 dt. t e e t t (2) ∫ +∞ − − 0 1 cos e dt t t t (3) ∫ +∞ − − − 0 cos cos dt t e bt e nt at mt (4) cos 2 . (5) (6) 0 3 ∫ +∞ − e tdt t . 0 2 ∫ +∞ − te dt t sin 2 . 0 3 ∫ +∞ − te tdt t (7) . sh sin 0 2 ∫ +∞ − ⋅ dt t e t t t (8) . sin 0 2 ∫ +∞ − dt t e t t (9) sin . 0 3 ∫ +∞ − t e tdt t (10) ∫ +∞ 0 2 2 sin dt t t . (11) 0 erf . t e t +∞ − ∫ dt (12) 0 0 J (t d) t. +∞ ∫ 其中 2 0 2 erf t u t e π − = ∫ du 称为误差函数， 2 0 2 0 ( 1) J ( ) ( !) 2 k k k t t k +∞ = − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 称为零阶贝塞尔(Bessel)函 数。 解 (1)由公式 ( ) ∫ ∫ +∞ ∞ = 0 0 dt t f t &[f ( )t ]ds 得 ∫ ∫ +∞ ∞ − − = − 0 0 2 dt t e e t t &[ ] ds s s e e ds t t ∫ ∞ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − = 0 2 2 1 1 1 ln 2 2 1 ln | 0 = + + = ∞ s s (2) ∫ ∫ +∞ ∞ − = − 0 0 1 cos t e t &[ ] e ( )t ds t 1− cos − ( ) ∫ ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + = 0 2 1 1 1 1 1 ds s s s ( ) ln 2 2 1 1 1 1 ln | 2 0 = + + + = ∞ s s (3) ∫ ∫ +∞ ∞ − − = − 0 0 cos cos dt t e bt e nt at mt &[e bt e nt]ds at mt cos cos − − − ( ) ( ) ds s m n s m s a b s a ∫ ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + + + = 0 2 2 2 2 ( ) ( ) | 0 2 2 2 2 ln 2 1 ∞ = + + + + = s s m n s a b 2 2 2 2 ln 2 1 a b m n + + = (4)已知 &[ ] ∫ +∞ − + = ⋅ = 0 2 4 cos 2 cos 2 s s t t e dt st ，因此 ∫ +∞ = − = + = 0 2 3 3 13 3 4 cos 2 s t s s e tdt (5) &[ ] ∫ +∞ − = 0 2 te dt t 4 1 1 2 2 2 = = = = s s s t (6)已知&[ ] 4 2 sin 2 2 + = s t 再由微分性质&[ ] ( )2 2 2 4 4 4 2 sin 2 + ⎟′ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − s s s t t 得 ( ) ∫ +∞ = − = + = 0 2 3 2 3 169 12 4 4 sin 2 s t s s te tdt ( )∫ ∫ +∞ ∞ − = ⋅ 0 0 2 sh sin 7 dt t e t t t & t ds e e e t t t ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − sin 2 2 ∫ ∞ = 2 0 1 & ( ) ( ) [e t e t]ds t t sin sin − 2 −1 − 2 +1 − ( ) ( ) ds s s ∫ ∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + − + = 0 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = + − − + + ∞ ∞ | | 0 0 arctan 2 1 arctan 2 1 2 1 s s - 8 -
ctanlv2+1l-arctan n(2-)= arctan=T (8)5e sin'-dr=m"ale-'sin'As=r ale(-cos 2)ls -In s+1 In 5 2s+1(s+1)+4 (s+1)+4 9已知cm-利用微分性顾cwm小-{ 243-24s 24 (10 厂m2a=m=mm2am2 So ac(sin 21]s=- ds =arctan= 1)∫ e-terf idt=ef 12)JmJ=c[( 6.求下列函数的拉氏逆变换 (1)F()= (2)F(G)=1 (3)F(s) s2+4 (s+1) (4)F(s) (5)F()=2+3 (6)F(s) s+3 s+lXs-3 (7)F(s)= (8) s"+s s2+4s+ s2+4 (3)由e r3及位移性质s[F(-a)=e“f()得 f()=c[F(s) (s+1) (4)f()=s[F()= s+3 (5)(0=(=2+231=2s3X+smy
[ ] arctan( ) 2 1 arctan( 2 1) 2 1 = + − − 8 arctan1 2 1 π = = (8) ∫ ∫ +∞ +∞ − = 0 0 2 sin dt t e t t &[ ] ∫ ∞ − = 0 2 2 1 e sin t ds t &[e ( t)]ds t 1− cos 2 − ( ) ( ) | 0 2 0 2 1 4 1 ln 2 1 1 4 1 1 1 2 1 ∞ ∞ + + + ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + = ∫ s s ds s s s ln 5 4 1 = (9)已知&[ ] , 1 1 sin 2 + = s t 利用微分性质&[ ] ( )4 2 3 2 3 4 24 24 1 1 sin + − ⎟″′ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − s s s s t t ∫ +∞ − = 0 3 t e sin tdt t &[ ] ( ) 0 4 24 24 sin 1 4 2 3 1 3 = + − = = = s s s s s t t (10) ∫ ∫ +∞ +∞ ⎟′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 0 2 2 2 1 sin sin dt t dt t t t ∫ ∫ ∞ +∞ +∞ = − + = 0 0 0 2 sin sin 2 sin 2 | dt t t dt t t t t ∫ ∞ = 0 &[ ] ∫ ∞ + = 0 4 2 sin 2 ds s t ds 2 2 arctan | 0 π = = s ∞ (11) 0 erf t e tdt +∞ − = ∫ & 1 1 1 2 erf( ) s 1 2 s t = s s = ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ + (12) 0 &[ ] 0 J (t d) t +∞ = ∫ 0 0 2 0 1 J ( ) 1 1 s s t s = = = = + 6．求下列函数的拉氏逆变换. （1） ( ) . 4 1 2 + = s F s （2） ( ) . 1 4 s F s = （3） ( ) ( ) . 1 1 4 + = s F s （4） ( ) . 3 1 + = s F s （5） ( ) . 9 2 3 2 + + = s s F s （6） ( ) ( )( ) . 1 3 3 + − + = s s s F s （7） ( ) . 6 1 2 + − + = s s s F s （8） ( ) . 4 13 2 5 2 + + + = s s s F s 解（1） f ( )t = & [ ] ( ) 2 1 1 = − F s & t s sin 2 2 1 4 2 2 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − （2） f ( )t = & 3! 1 1 4 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ − ⎡ s & 3 3 1 1 6 3! 1 t s =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − （3）由& 3 4 1 6 1 1 t s =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ − ⎡ 及位移性质& [F(s a)] e f (t) at − = −1 得 f ( )t = & [ ( )] = − F s 1 & ( ) t t e s − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 3 4 1 6 1 1 1 （4） f ( )t = & [ ( )] = − F s 1 & t e s 1 3 3 − 1 − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + （5） f ( )t = & [ ] ( ) 2 1 = − F s & +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − 9 2 1 s s & t t s 2cos3 sin 3 9 3 2 1 = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − - 9 -
6)f()=[F()=s s+3 (s+1)s-3) 2(s-3s+l 32Ls+1 (7)f()=[()= 2 (8)f()=c6=c-2+ +2)+1 s2+4s+13 (s+2)+32 (s+2) (+2)+32」3(+2)+3 =2ecos3+e,1o2(60s3+m 7.求下列各图所示函数f()的拉氏变换 f(t) f(t) 2T: 3T:4t T (1) f(t) f() 8 1)由图易知,f()是周期为2r的周期函数在一个周期内 10
（6） f ( )t = & [ ( )] = & − F s 1 ( )( )⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + 1 3 1 3 s s s = & 2 3 1 1 3 3 2 1 1 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − − s s & 2 1 s- 3 1 1 −⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ − ⎡ & ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − 1 1 1 s t t e e− = − 2 1 2 3 3 （7） f ( )t = & [ ( )] = & − F s 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + 6 1 2 1 s s s & ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − − 3 2 2 3 5 1 1 s s 5 3 = & 5 2 2 1 1 +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − s & t t e e s 1 2 3 5 2 5 3 3 − 1 − = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + （8） f ( )t = & [ ( )] = & − F s 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + 4 13 2 5 2 1 s s s & ( ) ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + + 2 2 1 2 3 2 2 1 s s = 2 & ( ) ( ) 3 1 2 3 2 2 2 1 ⎥ + ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + s s & ( ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + − 2 2 1 2 3 3 s ( ) 2 2 1 1 2 2 cos3 sin 3 6cos3 sin 3 3 3 t t t e t e t e t − − − = + = + t 7．求下列各图所示函数 f (t)的拉氏变换. f t( ) A −A o τ 2τ 3τ 4τ t o t f t( ) 2 4 6 τ 3τ 5τ (1) (2) o t f t( ) 2 4 6 8 2 o t f t( ) 1 2 3 τ 2τ 3τ 4 (3) (4) (1) 由图易知, f (t)是周期为 2τ 的周期函数,在一个周期内 - 10 -