第五章二次型 §1二次型及其矩阵表示 、二次型及其矩阵表示 设P是一个数域,一个系数在数域P中的x1…,xn的二次齐次多项式 f(x1,x2…xn)=a1x2+2a12x1x2+…+2a1nx1xn+a2x2+…+2a2nx2xn+…+ ax(1) 称为数域P上的一个n元二次型,简称二次型 定义1设x1,…xny1,…,y是两组文字,系数在数域P中的一组关系式 x2=C21y1+c22y2+……+C2nVn y1+cny2+…+Cmy 称为由x1…x到η1…yn的一个线性替换,或简称线性替换.如果系数行列式 n≠0,那么线性替换(2)就称为非退化的 线性替换把二次型变成二次型 令an=a1,<j由于xx=x,x,所以二次型(1)可写成 f(x1,x2…,xn)=a1x2+a12x1x2+…+a1nx1xn t a2rx2x, + a22x 2+.+,x anxx+a2x2+…+amx2 ∑∑anxx (3) 把(3)的系数排成一个n×n矩阵 a 它称为二次型(3)的矩阵因为an=an,i,j=1,2…n,所以 A=A 把这样的矩阵称为对称矩阵,因此,二次型的矩阵都是对称的令
第五章 二次型 §1 二次型及其矩阵表示 一、二次型及其矩阵表示 设 P 是一个数域,一个系数在数域 P 中的 n x , , x 1 的二次齐次多项式 ( , , , ) 2 2 2 (1) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 n 1 1 1 n n n n n n n f x x x = a x + a x x ++ a x x + a x ++ a x x ++ a x 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型. 定义 1 设 n n x , , x ; y , , y 1 1 是两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式 = + + + = + + + = + + + n n n nn n n n n n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y 1 1 2 2 2 21 1 22 2 2 1 11 1 12 2 1 , , (2) 称为由 n x , , x 1 到 n y , , y 1 的一个线性替换，或简称线性替换.如果系数行列式 cij 0 ,那么线性替换(2)就称为非退化的. 线性替换把二次型变成二次型. 令 a a ,i j . ij = ji 由于 , i j j i x x = x x 所以二次型(1)可写成 (3) ( , , , ) 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 = = = + + + + + + + + + = + + + n i n j i j i j n n n n n n n n n n n n a x x a x x a x x a x a x x a x a x x f x x x a x a x x a x x 把(3)的系数排成一个 nn 矩阵 , 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a A (4) 它称为二次型(3)的矩阵.因为 a a ,i, j 1,2, ,n, ij = ji = 所以 A = A 把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型的矩阵都是对称的.令
x XAX=(x1,x2,…x a1x1+a12x2+……+a1nxn a21x1+a22x2+…+a2nxn =(x1,x2,…,xn anx,tanzi f(x1,x2…,xn)=XAX 应该看到二次型(1)的矩阵A的元素,当i≠j时an=an正是它的x,x,项的 系数的一半而an是x2项的系数,因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的由此 可得若二次型 f(x, x)=XAX= XBX 且A=A,B=B,则A=B y 于是线性替换(4)可以写成 yI C y2 或者 X=CY 经过一个非退化的线性替换,二次型还是变成二次型,替换后的二次型与原来的 次型之间有什么关系,即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的 关系
( ) ( ) = = = + + + + + + + + + = = n i n j i j i j n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x x x x a a a a a a a a a X AX x x x 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 , , , , , , 或 f (x1 , x2 , , xn ) = X AX 应该看到二次型(1)的矩阵 A 的元素,当 i j 时 aij = a ji 正是它的 i j x x 项的 系数的一半,而 ii a 是 2 i x 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的.由此 可得,若二次型 f (x1 , x2 , , xn ) = XAX = XBX 且 A = A, B = B ,则 A = B . 令 = = n n nn n n n y y y Y c c c c c c c c c C 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 , , 于是线性替换（4）可以写成 = n n nn n n n n y y y c c c c c c c c c x x x 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 或者 X = CY . 经过一个非退化的线性替换，二次型还是变成二次型，替换后的二次型与原来的 二次型之间有什么关系，即找出替换后的二次型的矩阵与原二次型的矩阵之间的 关系
设 f(u,x2,, xn)=XAX, A=A 是一个二次型,作非退化线性替换 X=CY 得到一个y,y2,…,y的二次型 YBY 二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵A与B的关系 把(8)代入(7),有 ∫(x1,x2…x)=XAX=(CY)A(CY)= CACY Y(CAC)Y=YBr 易看出,矩阵CAC也是对称的,由此即得 B=CAC 这是前后两个二次型的矩阵的关系 定义2数域P上两个n阶矩阵A,B称为合同的,如果有数域P上可逆的 n×n矩阵C,使得 B=CAC 合同是矩阵之间的一个关系,具有以下性质 1)自反性任意矩阵A都与自身合同 2)对称性如果B与A合同,那么A与B合同 3)传递性:如果B与A合同,C与B合同,那么C与A合同 因此,经过非退化的线性替换,新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。 这样把二次型的变换通过矩阵表示出来,为以下的讨论提供了有力的工具。 最后指出,在变换二次型时,总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何 上看,这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地,当线性替换 X=Cy 是非退化时,由上面的关系即得 Y=C
设 f (x , x , , xn ) = XAX, A = A 1 2 (7) 是一个二次型，作非退化线性替换 X = CY (8) 得到一个 n y , y , , y 1 2 的二次型 Y BY ， 二、矩阵的合同关系 现在来看矩阵 A 与 B 的关系. 把（8）代入（7），有 ( ) . ( , , , ) ( ) ( ) 1 2 Y C AC Y Y BY f x x xn X AX CY A CY Y C ACY = = = = = 易看出，矩阵 CAC 也是对称的，由此即得 B =CAC . 这是前后两个二次型的矩阵的关系。 定义 2 数域 P 上两个 n 阶矩阵 A ， B 称为合同的，如果有数域 P 上可逆的 nn 矩阵 C ,使得 B =CAC . 合同是矩阵之间的一个关系，具有以下性质: 1) 自反性:任意矩阵 A 都与自身合同. 2) 对称性:如果 B 与 A 合同,那么 A 与 B 合同. 3) 传递性:如果 B 与 A 合同,C 与 B 合同,那么 C 与 A 合同. 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原来二次型的矩阵是合同的。 这样把二次型的变换通过矩阵表示出来，为以下的讨论提供了有力的工具。 最后指出，在变换二次型时，总是要求所作的线性替换是非退化的。从几何 上看，这一点是自然的因为坐标变换一定是非退化的。一般地，当线性替换 X = CY 是非退化时，由上面的关系即得 Y C X −1 =
这也是一个线性替换,它把所得的二次型还原这样就使我们从所得二次型的性 质可以推知原来二次型的一些性质
这也是一个线性替换，它把所得的二次型还原.这样就使我们从所得二次型的性 质可以推知原来二次型的一些性质
§2标准形 、二次型的标准型 次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 dx2+d2x2+…+dnx2 定理1数域P上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和(1) 的形式 易知,二次型(1)的矩阵是对角矩阵, xi +dx dx d10 o d 0 00 反过来,矩阵为对角形的二次型就只包含平方项按上一节的讨论,经过非退化 的线性替换,二次型的矩阵变到一个合同的矩阵,因此用矩阵的语言,定理1可 以叙述为 定理2在数域P上,任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵 定理2也就是说,对于任意一个对称矩阵A都可以找到一个可逆矩阵C使 成对角矩阵 二次型∫(x,x2…x)经过非退化线性替换所变成的平方和称为 f(x,x2,…,x)的标准形 例化二次型 xn)=2x x2+2x, x3-6x2 为标准形 二、配方法 1.a1≠0,这时的变量替换为
§2 标准形 一、二次型的标准型 二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型 2 2 2 2 2 1 1 n n d x + d x ++ d x . （1） 定理 1 数域 P 上任意一个二次型都可以经过非化线性替换变成平方和（1） 的形式. 易知，二次型（1）的矩阵是对角矩阵， ( ) . 0 0 0 0 0 0 , , , 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 = + + + n n n n n x x x d d d x x x d x d x d x 反过来，矩阵为对角形的二次型就只包含平方项.按上一节的讨论，经过非退化 的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵，因此用矩阵的语言，定理 1 可 以叙述为： 定理 2 在数域 P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵. 定理 2 也就是说，对于任意一个对称矩阵 A 都可以找到一个可逆矩阵 C 使 CAC 成对角矩阵. 二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 经过非退化线性替换所变成的平方和称为 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的标准形. 例 化二次型 1 2 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , , x ) x x x x x x n = + − 为标准形. 二、配方法 1. 0, a11 这时的变量替换为
x1=y1-∑a1ayy y x,=y 令 au a 0 C 则上述变量替换相应于合同变换 A→C1AC1 为计算c1AC1,可令 于是A和C可写成分块矩阵 au A O E 这里a'为a的转置,E1为n-1级单位矩阵这样 aa e n-1人a A O E 11 0 A,-ailaalo Eno A-a,la'a 矩阵A1-aiaa是一个(n-1)x(n-1)对称矩阵,由归纳法假定,有 (n-1)×(n-1)可逆矩阵G使 G(A-aua'a)o 为对角形,令 O G
= = = −= − . , , 2 2 2 1 1 1 1 11 n n n j j j x y x y x y a a y 令 − − = − − 0 0 1 0 1 0 1 1 1 12 11 1 11 1 a a a a n C , 则上述变量替换相应于合同变换 A C1 AC1 → 为计算 C1 AC1 ，可令 ( ) = = n nn n n a a a a a a A 2 22 2 12 1 1 , , , . 于是 A 和 C1 可写成分块矩阵 − = = − − 1 1 11 1 1 11 1 , O En a C A a A , 这里 为 的转置， En−1 为 n −1 级单位矩阵.这样 . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − = − − = − − = − − − − − − − − O A a a O O E a O A a a O E a A a a E O C AC n n n 矩 阵 − −1 A1 a11 是一个 (n −1) (n −1) 对称矩阵，由归纳法假定，有 (n −1) (n −1) 可逆矩阵 G 使 G A − a G = D − ( ) 1 1 11 为对角形，令 = O G O C 1 2
于是 I O C CACC,= 0G人oA1- ailao G)(oD 这是一个对角矩阵,我们所要的可逆矩阵就是 C=CC 2.a1=0但只有一个an≠0 这时,只要把A的第一行与第i行互换,再把第一列与第i列互换,就归结 成上面的情形,根据初等矩阵与初等变换的关系,取 00…010…0 01….000…0 00…100…0 C1=P(1,i)= 0…000…0i行 00∴0010 00∴000…1 列 显然 P(1,)’=P(1,n) 矩阵 C1 ACI=P(l,OAP(l,1) 就是把A的第一行与第i行互换,再把第一列与第i列互换因此,C1AC1左上角 第一个元素就是an,这样就归结到第一种情形 3.an=0,i=1,2,…,n,但有一a1≠0,j≠1 与上一情形类似,作合同变换 P(2,n)AP(2,j) 可以把a,搬到第一行第二列的位置,这样就变成了配方法中的第二种情形与那 里的变量替换相对应,取
于是 = − = − O D a O O G O O A a a O O G O C C AC C 11 1 1 11 11 2 1 1 2 1 1 , 这是一个对角矩阵，我们所要的可逆矩阵就是 C = C1C2 . 2. a11 = 0 但只有一个 aii 0 . 这时，只要把 A 的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第 i 列互换，就归结 成上面的情形，根据初等矩阵与初等变换的关系，取 i列 C P i = = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 (1, ) 1 i 行 显然 P(1,i) = P(1,i). 矩阵 (1, ) (1, ) 1 1 C AC = P i AP i 就是把 A 的第一行与第 i 行互换，再把第一列与第 i 列互换.因此， C1 AC1 左上角 第一个元素就是 ii a ，这样就归结到第一种情形. 3. a 0,i 1,2, ,n, ii = = 但有一 0, 1. a1 j j 与上一情形类似，作合同变换 P(2, j)AP(2, j) 可以把 j a1 搬到第一行第二列的位置，这样就变成了配方法中的第二种情形.与那 里的变量替换相对应，取
C1=001 000…1 于是C1AC1的左上角就是 2a120 2a1 也就归结到第一种情形 4.a1=0,j=1,2,…,n 由对称性,an,j=12…,n也全为零于是 O A A是n-1级对称矩阵由归纳法假定,有(n-1)×(n-1)可逆矩阵G使 GAG=D 成对角形取 CAC就成对角形 例化二次型 f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2x3 成标准形
− = 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 C , 于是 C1 AC1 的左上角就是 − 12 12 0 2 2 0 a a , 也就归结到第一种情形. 4. 0, 1,2, , . a1 j = j = n 由对称性， , 1,2, , . a j1 j = n 也全为零.于是 = 1 0 O A O A , A1 是 n −1 级对称矩阵.由归纳法假定，有 (n −1) (n −1) 可逆矩阵 G 使 GA1G = D 成对角形.取 = O G O C 1 ， C AC 就成对角形. 例 化二次型 1 2 3 2 1 2 2 1 3 6 2 3 f (x , x , x ) = x x + x x − x x 成标准形
§3唯一性 经过非退化线性替换,二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵由第四章§4 定理4,合同的矩阵有相同的秩,这就是说,经过非退化线性替换后,二次型矩 阵的秩是不变的标准形的矩阵是对角矩阵,而对角矩阵的秩就等于它对角线上 不为零的平方项的个数因之,在一个二次型的标准形中,系数不为零的平方项 的个数是唯一确定的,与所作的非退化线性替换无关,二次型矩阵的秩有时就称 为二次型的秩 至于标准形中的系数,就不是唯一确定的在一般数域内,二次型的标准形 不是唯一的,而与所作的非退化线性替换有关 下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题 设∫(x12x2…x)是一个复系数的二次型,由本章定理1,经过一适当的非 退化线性替换后,∫(x1,x2…x)变成标准形,不妨假定化的标准形是 d1y2+d2y2+…+d,y2,d1≠0,=1,2,…,r (1) 易知r就是∫(x1,x2…x)的矩阵的秩因为复数总可以开平方,再作一非退化线 性替换 y+1=2r+1 (1)就变成 21+二+… (3)就称为复二次型∫(x1,x2…xn)的规范形显然,规范形完全被原二次型矩阵的 秩所决定,因此有 定理3任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规 范形,且规范形是唯一的
§3 唯一性 经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.由第四章§4 定理 4，合同的矩阵有相同的秩，这就是说，经过非退化线性替换后，二次型矩 阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等于它对角线上 不为零的平方项的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项 的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称 为二次型的秩. 至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.在一般数域内，二次型的标准形 不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关. 下面只就复数域与实数域的情形来进一步讨论唯一性的问题. 设 ( , , , ) 1 2 n f x x x 是一个复系数的二次型，由本章定理 1，经过一适当的非 退化线性替换后， ( , , , ) 1 2 n f x x x 变成标准形，不妨假定化的标准形是 d y d y d y d i r r r i , 0, 1,2, , 2 2 2 2 2 1 1 + ++ = . (1) 易知 r 就是 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的矩阵的秩.因为复数总可以开平方，再作一非退化线 性替换 = = = = + + , , , 1 , 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r y z y z z d y z d y (2) (1)就变成 2 2 2 2 1 r z + z ++ z (3) (3)就称为复二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的规范形.显然，规范形完全被原二次型矩阵的 秩所决定，因此有 定理 3 任意一个复系数的二次型经过一适当的非退化线性替换可以变成规 范形，且规范形是唯一的
定理3换个说法就是,任一复数的对称矩阵合同于一个形式为 0 的对角矩阵从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等 设∫(x1,x2,…x)是一实系数的二次型由本章定理1,经过某一个非退化线 性替换,再适当排列文字的次序,可使∫(x,x2,…,xn)变成标准形 dy2+d2y2+…+dny2 d (4) 其中d1>0,i=1,2,…Fr是∫(x12x2…x)的矩阵的秩因为在实数域中,正实数 总可以开平方,所以再作一非退化线性替换 VI (4)就变成 (6) (6)就称为实二次型∫(x1,x2…xn)的规范形显然规范形完全被r,p这两个数所 决定 定理4任意一个实数域上的二次型,经过一适当的非退化线性替换可以变 成规范形,且规范形是唯一的 这个定理通常称为惯性定理 定义3在实二次型f(x1,x2,…xn)的规范形中,正平方项的个数p称为 f(x1,x2…xn)的正惯性指数:负平方项的个数r-p称为f(x1,x2…xn)的负惯
定理 3 换个说法就是，任一复数的对称矩阵合同于一个形式为 0 0 1 1 的对角矩阵.从而有两个复数对称矩阵合同的充要条件是它们的秩相等. 设 ( , , , ) 1 2 n f x x x 是一实系数的二次型.由本章定理 1，经过某一个非退化线 性替换，再适当排列文字的次序，可使 ( , , , ) 1 2 n f x x x 变成标准形 , 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 p p p p r r d y + d y + + d y − d y − − d y + + (4) 其中 d i r r i 0, =1,2, , ; 是 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数 总可以开平方，所以再作一非退化线性替换 = = = = + + , , , 1 , 1 1 1 1 1 1 n n r r r r r y z y z z d y z d y (5) (4) 就变成 , 2 2 1 2 2 2 2 1 p p r z + z + + z − z − − z + (6) (6)就称为实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的规范形.显然规范形完全被 r, p 这两个数所 决定. 定理 4 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变 成规范形，且规范形是唯一的. 这个定理通常称为惯性定理. 定义 3 在实二次型 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的规范形中，正平方项的个数 p 称为 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的正惯性指数；负平方项的个数 r − p 称为 ( , , , ) 1 2 n f x x x 的负惯