第三章函数逼近 问题的提出 如果实际问题要求解在[a区间的每一点都“很 好地”逼近f(x)的话,运用插值函数有时就要失败 另外,插值所需的数据往往来源于观察测量,本身 有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差 的点,势必使插值结果更加不准确。 2004-10-18
2004-10-18 1 第三章 函数逼近 一、问题的提出 如果实际问题要求解在[a,b]区间的每一点都“很 好地” 逼近 的话，运用插值函数有时就要失败。 另外，插值所需的数据往往来源于观察测量，本身 有一定的误差。要求插值曲线通过这些本身有误差 的点，势必使插值结果更加不准确。 f (x)
问题的提出(续) 设n(x)为f(x)的 Taylor级数的前n项部分和, 其截断误差为 (n+1) R, (x)=f(x)-p,(x)= (5) n+1 X-X 0 (n1) 为了照顾到远离x的点其误差也较小,往往将阶 数n取得很大。 这样做又费事、又多占存贮单元。因此往往要 求在给定精度下,求形式简单的计算公式,使其均 匀地逼近fx)。这就是函数逼近要解决的问题 2004-10-18 2
2004-10-18 2 问题的提出（续） 0 为了照顾到远离x 的点其误差也较小，往往将阶 数n取得很大。 ( ) ( , ) ( 1)! ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ( 1) x x x x nf R x f x p x n n n n − ∈ + = − = + + ξ ξ 设p (x) n 的Taylor级数的前n项 部分和, 其截断误差为 为f (x) 这样做又费事、又多占存贮单元。因此往往要 求在给定精度下，求形式简单的计算公式，使其均 匀地逼近f(x)。这就是函数逼近要解决的问题
二函数逼近问题 已知复杂函数x),或仅知道函数x)在某些采 样点处的函数值,在某函数集合V中,寻找的“最好” 地近似x)的函数g'(x)∈,就是函数逼近问题。 集合V中的元素应该是计算量小的简单函数,且 应该具有近似函数fx)的重要性质。 函数逼近问题对函数类中给定的函数f(x), 要求在另一类较简单的便于计算的函数类V中,求 函数(x)∈V,使得q(x)与f(x)之差在某种度量意 义下最小 2004-10-18
2004-10-18 3 二 函数逼近问题 (x)∈V * ϕ 已知复杂函数f(x)，或仅知道函数f(x)在某些采 样点处的函数值，在某函数集合V中，寻找的“最好” 地近似f(x)的函数 ，就是函数逼近问题。 集合 V中的元素应该是计算量小的简单函数, 且 应该具有近似函数f(x)的重要性质。 函数逼近问题: 对函数 V 类中给定的函数 f (x) ， 要求在另一类较简单的便于计算的函数类Ｖ中，求 (x)∈V ⊂ V * ϕ ( ) * 函数 ϕ x f (x) ,使得 与 之差在某种度量意 义下最小
函数逼近问题(续) 通常为cb为代数多项式、分式有理函数、 三角多项式。 集合V通常是依赖于一组参数的函数族,代表元素 q(x)有如下形式: x XCA.C 当q(x)线性地依赖于参数{c=0时,即 q(x)=c00(x)+c11(x)+…+CnOn(x) 其中q0(x)1(x)…,n(x)是线性无关的,函数族 V=span{2q2…on是一个n+1维的线性空间 2004-10-18
2004-10-18 4 函数逼近问题（续） 通常V 为C[a,b],V 为代数多项式、分式有理函数、 三角多项式。 当ϕ(x)线性地依赖于参数{ } 时, 即 n i i c =0 ( ) ( ) ( ) ( ) ϕ x = c 0ϕ0 x + c1ϕ1 x +L+ cn ϕn x 其中ϕ0 (x),ϕ1 (x),L,ϕn (x) 是线性无关的, 函数族 集合V通常是依赖于一组参数的函数族, 代表元素 ϕ(x) 有如下形式： ( ) ( ; , , , ) 0 1 n ϕ x = ϕ x c c L c V = span{ } ϕ0 ,ϕ1 ,L,ϕn 是一个n +1维的线性空间
主要内容 赋范空间、内积空间、正交多项式 ■最佳平方逼近 曲线最小二乘拟合 最佳一致逼近(工科研究生不要求) 2004-10-18
2004-10-18 5 主要内容 赋范空间、内积空间、正交多项式 最佳平方逼近 曲线最小二乘拟合 最佳一致逼近（工科研究生不要求）
1赋范线性空间与函数逼近问题 ■定义: 设V是实数域R上的线性空间。 >函数(泛函):F→R 1(非负性)g20,Vg∈V,当且仅当9=0时有g=0 2(齐次性)|7g|= rgr∈R,g∈V 3(三角不等式)∫+g‖s‖f+|gVfg∈V 则称实值函数·‖是线性空间V上的范数,并称线性空间v为赋 范线性空间,记为(V,).当关于范数的应用无歧义时,沿用线 性空间的符号V表示之 2004-10-18
2004-10-18 6 1 赋范线性空间与函数逼近问题 定义： 设V是实数域R上的线性空间。 ¾函数（泛函） ⋅ : V → R 10 (非负性) g ≥ 0, ∀g ∈V ; 当且仅当g = 0时有 g = 0 . 20 (齐次性) rg = r g , ∀r ∈ R,g ∈V . 30 (三角不等式) f + g ≤ f + g , ∀f ,g ∈V . 则称实值函数 ⋅ 是线性空间V 上的范数, 并称线性空间V 为赋 范线性空间 , 记为 (V , ⋅ ) . 当 关于 范数的应用无歧义时 , 沿 用 线 性空间的符号V 表示之
1.1n维向量空间举例 Remark:对子空间VcV,V上的范数也是V上的范数 例一V=RnVv={v v(∈ l,-v2 2 1/2 赋范线性空间(R 例二V=RVv={v1,v2…,n}∈ V‖=max 1≤i<n 赋范线性空间(R1) 2004-10-18 7
2004-10-18 7 1.1 n维向量空间举例 Remark : 对子空间V1 ⊂V , V 上的范数 ⋅ 也是 V1 上的范数. [ ]1/ 2 2 2 2 21 2 1 2 n v V R v { } V n n v v v v ,v , ,v = + + + = ∀ = ∈ ∆ L 例一 L { } i i n n v v ,v , ,v ≤ ≤ ∆ ∞ = = ∀ = ∈ 1 1 2 n v max 例二 V R v { L } V ( ) 2 , ⋅ n 赋范线性空间 R ( ) ∞ , ⋅ n 赋范线性空间 R
1.2连续函数空间 定义于[ab]上连续函数的集合C|a,b]是实 数域上的线性空间 定义实值函数:f|=maxf(x)l, VfE cla, b a≤x<b ‖f|e≥0,Vf∈C[ab,‖f|=0分f=0 验证三条条件 Irf=max rf(x)=/rmax(x)=r asx a≤x f∈C[a,b,r∈R ‖f+g| nax f(x)+g(x) asxsb < max f(x)+max g(x)=f+g 2004-10-18 vf,g∈C[a,b
2004-10-18 8 1.2 连续函数空间 定义于[a,b]上连续函数的集合C[a,b]是实 数域上的线性空间 ¾ 定义实值函数: f max f (x) ∞ a≤x≤b = , ∀f ∈C [a,b] = 0 ⇔ = 0 ∞ f ≥ 0, ∀f ∈C[a,b], f f 验 ∞ 证 三 条 条 件 ∞ ≤ ≤ ≤ ≤ ∞ r f = rf x = r f x = r f a x b a x b max ( ) max ( ) ∀f ∈C[a,b], ∀r ∈ R ≤ ≤ ≤ ≤ ∞ ∞ ∞ ≤ ≤ ≤ + = + + = + f x g x f g f g f x g x a x b a x b a x b max ( ) max ( ) max ( ) ( ) ∀f , g ∈C[a,b]
1.3距离 定义实值函数|/2=((),reCa l也满足范数公理三条 ◇两种常用的连续函数赋范线性空间 (Cla,bI a 赋范线性空间中距离的定义 V,g∈(V,)d(/,g)=|f-g Remark f|=f-0|=d(0) 2004-10-18
2004-10-18 9 1.3 距离 定义实值函数 ( ) , [ , ] 2 1 2 2 f f x dx f C a b b a ∀ ∈ = ∫ . ⋅ 2也满足范数公理三条 两种常用的连续函数赋范线性空间 ( [ , ], )2 ( [ , ], ) C a b ⋅ ∞ C a b ⋅ 赋范线性空间中距离的定义 ∀f , g ∈(V, ⋅ ) d( f , g) = f − g Remark : f = f − 0 = d( f ,0)
14举例 1/2 r u-y R d(u, v)=u-v=max u-v <i<n 3(C[ab1,|·) d(, g)=f-8=max f(x)-g(x) 40(Ca61·2 d(,g)=1f-g2=(((x)-g(x)dk 2004-10-18
2004-10-18 10 1.4 举例 ( ) 2 0 1 , ⋅ n R ( ) 1/ 2 1 2 2 ( , ) = − = ∑ − =ni i i d u v u v u v 3 ( [ , ], ) 0 ∞ C a b ⋅ d( f , g) f g max f (x) g(x) a x b = − = − ∞ ≤ ≤ ( ) ∞ 2 , ⋅ 0 n R i i i n d u v = u − v = u − v 1≤ ≤ 2 ( , ) max 4 ( [ , ], )2 0 C a b ⋅ 2 1 2 2 ( , ) ( ( ) ( )) = − = − ∫ ba d f g f g f x g x dx
