第一章概率论基础 所谓概率,是研究不确定事件发生的“确定程度 的一个概念。为此我们首先要着眼于学习描述什么样 的事件, 概率这个词平时常用到它,但在没有把它作为一 个数学分支处理以前,使用它还不能说有一个明确的 概念。不按照系统地建立起的理论体系来重新看待每 个现实对象,是无法应用的。 工程专业方面应用概率的重要性,已经是不必解 释的常识了。特别是在质量控制、可靠性等分支里, 把伴有随机变动的现象作为直接研究的对象。 避免不了随机变动的生产问题,或者产品性能问 题,都是工程里不可以忽视的,必须进一步解决的问 题 第一章作为试图解决这些间题的第一步,叙述了 建立随机思想的基本概念以及它们的数量化问题 1·1样本空间·事件 111事件某试验结果一切可能发生的情况的总体叫 做样本空间,用S来表示。样本空间是每个发生结果—叫做 s的元素的集。 将这些元素写成E1E3,…,E时,因S是以此为元素 1)暂时设S是由有限个元素构成的,13·3再把S扩充到无限个元紊
的集,故可写成 S={E,E2,…,En} (1) 例1在掷一次骰子的试验里,规定 E;=出现氵点,i=1,2,…,6 S={E,E2, E6} (2) 例25个试样检验用通过、不通过的尺度来检查。规定 E1=5个中间有个通过,z=0,1,2 S={E,E1,E2…,E3} (3) S的子集叫事件。例1中“出现偶数点”的事件就是子 集{E2EE},例2中“3个以上通过”的事件是子集 KE, E est S的元素本身也可以说成是事件(基本事件)·例如例1 中“出现6点”的事件可考虑成仅由元素E。构成的子集 一个试验的样本空间不能说是唯一的。例如例1中令 F1=出现奇数点,F2=出现偶数点 时,则有 S={F1,F2} 4) 但F1实际上是例1中(2)式的{E,EE},F2是{E E,E}。这样,(4)式是从(2)推导出的表达形式.这 种情况,可以说(2)式是比(4)式更为基本的表达形式 构成样本空间的集的元素是什么,什么样的子集能定为事 件等,要在解决问题时,对该问题用适当的标准来考虑。这些 技巧要从例题和习题求解中学到 1·1·2事件的运算事件与事件之间规定有和,积,非 三种运箅。二埻件进行这些运算的结果,仍是一个事件 设A、B、C等表示事件.以上运算的忠义如下
事件之和:或是事件A发生,或是事件B发生的事件(事 件A与事件B同时发生的情形也在内) 事件之积:事件A与B同时发生的事件。 事件之非:事件A未发生。 事件之非,即事件A未发生是指属于样本空间S,但不属 于事件A的事件发生了 如下规定和、积、非的运算符号。 事件之和:∪B 事件之积。A⌒B 事件之非:A=1 例3在掷一次骰子的试验中,样本空间S由(2)式确 定。此时事件A,B是 A=個偶数点发生 B=4以上的点数发生 时,它们的和,积,非分别由如下元素构成、 小B={E2,E4B3,E A∩B={E,E6} A={E1,E3,E} B={E;,E2,E2} 问题1事件A、B如下定义。 A=甲去学校 B=乙去学校 此时,(1)A∪B,(2)A∩B,(3)A∩B分别表示什么 事件 问题2事件A、B如下定义 A=开关A发生故障 1)A右上方的表示余事件( complement)的字头,也有写成d的。A 表示S中不属于d的点对应的事件,写成S-A也行。因此,如不定义样本空 间S,则无法明确地定义A 上 ………
B=开关B是正常的 此时,(1)4B,(2)A∩B,(3)A∩B分别表示什 么事件 问题3事件A、B如下定义 A:机器正常 B=操纵设备正常 此时,试用以上运算符号表示事件“机器正常但认为操纵设备 反常” 对于和、积、非三种运算有以下八个关系式成立 〔1)A∪B=B∪A 2)(A)c 〔3)A(B∪C)=(A∪B)G 〔4]AB=(AB),或由〔2(AB)=A∪B 〔5]A(B∩C)=(AB)门(AC 〔6]A∩A=中" 〔7AS=A 〔8〕Ay 对于这些关系,还可以补充以下的关系。 9)A⌒B=B⌒A 10〕A(B∩C)=(AB)个C 11]A∪B=(A^B,或(A∪B)=A^B 〔12〕A(BUC)=(AB)(AC) 〔13〕A∪A°=S 14〕AS=S 15A=φ 9~[15这些关系是将〔1~[8)(除去!2]) 的关系中的换成∩,∩换成∽得到的 1)巾表示空事阼(不可能事件),即样木室中没有与它对应的元素的事件
例如关系〔9〕中 左边由〔4〕与〔1)得AB=(B∪4) 右边由〔4〕)得 B!A:(BUAc 所以得到 A⌒B=B∩A 9〕 因而有了〔1〕与〔4〕也可以不要〔9 以上诸关系是作为事件运算的基本关系列出的。此外还可 以推导提各种各样的关系。例如 由〔5〕可得A(AA)=(AA∩(AA) 由〔6〕、(13〕得Aφ=(A4)∩S 由〔8)得到 A中=A 由〔7〕得到 (A4)∩S=A1∪A 由〔9〕,〔13〕得A∪A=A 等等。 问题4问题1的事件中补加一个事件 C=丙去学校 时,下边的事件中去学校的有几个人? (1)A∩(B∪C)(2)Au(B∪C)(3)(AB)C 问题5问题2的事件中补加一个事件 C=开关C发生故障 时,设所考虑这套设备的A,B,C三个开关中有两个或两 个以上正常工作,则这套设备就能运转。以下哪一个情况设备 能正常运转? (1)A∩(B∩C)(2)A(B∩C)(3)A∩(Buc) 问题6问题3的事件中补加事件 C=操纵使用正确 时,试用事件及运算的符号表达“操纵设备与机器都不正常, 但操纵使用正确”的事件 问题了证明以下关系式成立 (1)4、B=[A4-(AB)]∪B 5
(2)(A、B)cC=4B⌒e 1·1·3不相容事件A、B二事件有 A∩B=中 的关系时,称A与B是不相容事仵.换句话说,是样本空间中 没有包含两个事件对应子集的共同元素的情形 例4样本空间S表示成(2)事件A,B是 A=出现偶数点 B=出现奇数点 时,A∩B=,所以A与B是不相谷的,事实上 A={E2,E1,E5} B={E;E3,E3} 样本空间中没有包含A,B的共同元素 问题8从装有3个红球4个黑球的罐子里依次任意取出 二球,令三个事件是 A=第一次取出红球,第二一次是黑球 B=两次取出同样颜色的球 C=两次都是红球 A与B,A与C,B与C中哪两个是不相容的? 1·14事件的分枝图示有100圆与50圆两枚日本硬币, 从中取一个掷出,H表示出现正面,T表示背面.(100,H)表 示取100圆硬币掷出正面的事件,则此试验的样本空间是 S={(100,H),(100,T),(50,H),(50,T)} 这可表示如图·1 出现面 硬 50,丑)
象这种将样本空间用分枝图表示出来,叫作事件的分枝图 示 例5有两个罐,第一个里装4个红球(R),2个白球 (W)。第二个罐里装R1个、W3个。开始先任取一个罐, 再从中依次取两个球,这种试验的样本空间的分枝图示如图 R (IRR) R (I,F+R) R R 图1 习题1·1 1.某人衣袋中装100圆、50圆、10圆,圆(日圆)硬币各一枚 写出他连取两枚硬币时,产生的样本空间 2.1中农袋内装的硬币是100圆2枚,50圆,10圆各1枚,5圆2枚 时,样本空间如何? 3.1中取出的2枚硬币掷出后,正面、背面分别记为、T,样本空 间的点当掷100圆出正面时记成(100,H),试写出样本空间的一切点。 4.掷红蓝两个骰子的试验的样本空间中 事件A=两个点数和在9以上 事件B=至少有一个投子点数为6 时,说明AUB,A∩B都是由多少点数的情况构成的? 5.就4中两个事件,说明事件间关系1】到(15)成立。 6·掷一枚硬币,到连续出现两次同一面就停止,又到连续5次出 现同一面就停止时,各写出样本空间 7.掷一枚骰子,进行到连续出现两次同一点数时停止,又到连续
6次出现同一点数时停止。写出各个样本空间 1·2概率 1·2·1概率设样本空间是 5={E1,E2,…,E}, 由厚个元素构成。考虑这#个元素中任一个发生的可能性都 相同的情形(或称等可能的情形) 我们关心的事件A由S中的m个(m≤n)个元素构成时, A的概率(或者A发生的概率)定为 p(4)= p(4)表示A的概率。 由此定义可知,由荐个等可能发生的元素构成时,事 件A的非A°的概率是 P(A)= 1-Pr(A)(2) 例1随机数骰子是在正20面体每个面上适当地标上0,1 2,…,9中的一个,每个数字各标在两个面上。这10个数字各有 1的出现概率 例2随机数骰子中规定事件 A={0,2,4,6} 即出现这4个点数之一的事件,则P,(A)=4 例3从装有A公司制造的4个半导体收音机,B公司制 造的3个半导体收音机的箱子里,随手取两个半导体收音机 1》y是概率 Probability的头两个字母
时,求两个都是A公司制造的概率, 【解】从全部4+3=7个中取两个的组合数是C 7×6 21,两个都是A公司制造的组合数为C2 4×3 2×1 2x16 21种纽合都是等可能的,n=21,两个都是A公司制造的事件 是其中的6种故所求的機率1=7 象这样确定概率值,当样本空间S由等可能发生的基本事 件构成时是可以的,但许多试验不一定有这样的条件。 现在试考虑一下明天的天气。样本空间是 SEIF, Fe1 由两个元素构成,它们的意义是 F=是睛天,F=不是晴天 然而,能说这两个事件有等可能性吗?确是a=2,对应晴 天的事件是F,m=1,但由此就确定 Pr(F)= 1 2 是不行的,因为F与F二者不能说是等可能的 关于天气而言,今天睛,晚霞也很美。看一下天气图,气 压分布没有变动的趋势,属高气压范围,预报也如此。于是 P(F)应该接近于1.其次反过来,今天的雨时下时停,天气 图上不连续线满粘在一起不动。天气预报是雨,于是P(F) 将近于0.如果天气易变,什么判断也作不出来,晴否各占 半,于是可取P,(F)=了,这不是由于有F与F两种情况, 而是由于二者哪一方都有同样的可能性,所以在保证不了有等 1)C表示从7个中物体取m的组合个数,有时也用(m)或nCm表示 译者 的非了州,·
可能性的时候,或者更进一步偏向某一方可能性大时,就不能 说P(F)的值是了 再如,有一套机器突然停止运转。假设原因是A,B两个 开关中某一个失灵造成的。让新来的机修工去修理.主任知 道,至今为,每4次出故障中有3次是由A出故障造成的 新工人不知道这一情况。样本空间 S={4,B} 由两个元素形成,即A=A开关出故障,B=B开关出故障两个 基本事件。可是二者是否是等可能的呢? 主任认为P(4)=3/4,P(B)=1/4,是靠过去经验得到 的。然而,新工人没有这种经验,A,B哪一个质量差些不清 楚只好一半一半地判断P(4=Pr(B)=,这也是把A,B 双方考虑成等可能的判断。主任则由A的故障次数是B的3 倍,得到和力这两个值的 不论哪种情况,确定P,(F)与P(A)时,由群=2,m=1 还不能说概率是2·这时要根据各种各样的情报来确定概率的 值 象这样,次试验中事件A发生k次时,频率心当「增大 接近于A的概率Pr(A),r愈大愈接近于Pr(A),由这一趋 向可经验地定义概率,郎 →P(A) (3) 概率用(1)的观点和(3)的观点来定义都可以,所以 概率的值用哪种观点来定都行 1按;(1)是古典定义,(3)是统计定义,二者前提不同,后一情况…般不 能用前一憎况代替 译者
