第九章 常微分方程初值问题的数值解法 §9,1引言 §9,2 Euler方法 §9.3 Runge-Kutt公式 §9,4单步法的进一步讨论 §9.5线性多步法 数值算例 2004-12-13
2004-12-13 1 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 §9.1 引言 §9.2 Euler方法 §9.3 Runge –Kutta 公式 §9.4 单步法的进一步讨论 §9.5 线性多步法 数值算例
§91引言 问题 本章着重讨论一阶常微分方程初值问题 =f(x, y) dx 在区间[a,b]上的数值解法 这些问题多数情况下求不岀解析解,只能用近似 的方法求解。常用的近似方法有两类。一类称为 近似解析法,如级数解法,逐次逼近法等。另 类称为数值解法,它可以给出解在一些离散点上 的近似值。 2004-12-13 2
2004-12-13 2 §9.1 引言 一、问题 本章着重讨论一阶常微分方程初值问题 = ′ = = 0 0 y x y f x y dxdy y （ ） （ ， ） 在区间[a,b]上的数值解法。 这些问题多数情况下求不出解析解，只能用近似 的方法求解。常用的近似方法有两类。一类称为 近似解析法，如级数解法，逐次逼近法等。另一 类称为数值解法，它可以给出解在一些离散点上 的近似值
解的存在唯一性 若f(xy)在区域D={≤x≤b,y∈R,上连续,且 关于y满足李普希兹( Lipschitz)条件,即存在常 数L,使 f(x,y1)-f(x,y2)≤L|y 对G内任两个y,y2均成立,其中L是与x,y无关 的常数,则上面的初值问题存在唯一解,且解是连 续可微的。 Remark:在xy)对y可微的情况下,若偏导数有界, 则可取 L= max af(x, y) 此时有 (x,y)∈D (x,y)-/(x3)= 0(xy+2)≤-15介于y与之间。 此时 Lipschitz连续条件显然成立。这是验证该条件 的最简便的方法。 2004-12-13
2004-12-13 3 二、解的存在唯一性 若f （ x,y）在区域 D= ,上连续，且 关于y满足 李普希兹（Lipschitz）条件,即存在常 数 L,使 { a ≤ x ≤ b，y ∈ R } f ( x , y 1 ) − f ( x , y 2 ) ≤ L y 1 − y 2 ， G 1 2 对 内任两个 y , y 均成立，其中 L是与 x,y无 关 的常数,则上面的初值问题存在唯一解，且解是连 续可微的。 Remark：在f(x,y ) 对y可微的情况下，若偏导数有界， 则可取 ，此时有 1 2 ( 1 2 ) 1 2 , 介于y1 与 2之间。 ( , ) ( , ) ( , ) y y L y y y y f x f x y f x y ξ ξ − ≤ − ∂ ∂ − = y f x y L x y D ∂ ∂ = ∈ ( , ) max ( , ) 此时Lipschitz连续条件显然成立。这是验证该条件 的最简便的方法
解的适定性 解的适定性是指解的存在唯一性以及数值稳定性 此处主要是指解对于右端项以及初值的扰动的适 应性。关于适定性有如下的结论: 定理:若f(xy)在区域D=≤x≤b,y∈R上满 足 Lipschitz连续条件,则初值问题是适定的。 四、等价的积分方程 若y(x)是初值问题的解,对方程两边同时积分, 利用初始条件可得: V(x)=y(xo)+f(t,y(o)dt 该方程为与初值问题同解的积分方程,我们可以 从积分方程出发去构造初值问题的求解公式 2004-12-13
2004-12-13 4 三、解的适定性 解的适定性是指解的存在唯一性以及数值稳定性。 此处主要是指解对于右端项以及初值的扰动的适 应性。关于适定性有如下的结论： 定理：若f（x,y）在区域D= 上满 足Lipschitz连续条件，则初值问题是适定的。 {a ≤ x ≤b，y∈R} 四、等价的积分方程 若y(x)是初值问题的解，对方程两边同时积分， 利用初始条件可得： ∫ = + xx y x y x f t y t dt 0 ( ) ( ) ( , ( )) 0 该方程为与初值问题同解的积分方程，我们可以 从积分方程出发去构造初值问题的求解公式
五、数值解法 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解yx)在存在区间[a,b中的点列 x=x1+h(=0,,n)上的近似值y。h称为步长, 般情况下我们取等步长,记为h 初值问题的解析解(理论解)用υx)表示,数值 解法的精确解用V表示,并记fn(xnyn) 而y(x)=f(xn,y(x2) 求初值问题的数值解一般是逐步进行的,即计 算出yn之后计算yn 2004-12-13
2004-12-13 5 五、数值解法 常微分方程初值问题的数值解是求上述初 值问题的解y(x)在存在区间[a，b]中的点列 xi = xi−1 + h（i i = 0，1，Ln）上的近似值y i。hi 称为步长， 一般情况下我们取等步长，记为h 。 ( ) n 初值问题的解析解（理论解）用y x 表示,数值 解法的精确解用 表示，并记fn=f(xn,yn), 而 。 n y ( ) ( , ( )) n n n y′ x = f x y x 求初值问题的数值解一般是逐步进行的，即计 算出yn之后计算yn+1
数值解法的分类 数值解法一般分为: (1)单步法:在计算时,只用到xn+1,xn 和yn,即前一步的值 (2)多步法:计算ym时,除用到xn1,xn和 y以外,还要用x,和yn2(p=1,2…,k,k>0),即前 k步的值。 单步法和多步法都有显式和隐式方法之分。显式 和隐式的单步法可以分别写成: Vn+=yn+ho(x,, ym,h) yn+=n+hg(x, yn, Vm+l,h) 对多步法来说,显式和隐式方法具有相同的意义。 Back 2004-12-13
2004-12-13 6 数值解法的分类 数值解法一般分为： （1）单步法：在计算 时，只用到 , 和 ，即前一步的值。 n x n+1 y n y n +1 x （2）多步法：计算 时，除用到 , 和 以外，还要用 和 ,即前 k步的值。 n+1 y n p y − n+1 x n x n y n p x − ( p =1,2L, k; k > 0) 单步法和多步法都有显式和隐式方法之分。显式 和隐式的单步法可以分别写成： yn+1 = yn + hφ（xn，yn , h） yn+1 = yn + hφ（xn，yn , yn+1, h） 对多步法来说，显式和隐式方法具有相同的意义。 Back
§92 Euler方法 显式欧拉(Euer)方法 设节点为xn=x0+mh(n=0,2,…,n),欧拉方法的计 算公式 vm=y, +hf (x, y,) (n=0,1, 2, 这是一种最简单的显式单步方法,该方法可以通 过不同的途径获得 1、差商法 用两点差商公式)2代替导数y(x),再用y1 表示y(x)的近似值,则得到 n+1 =f(xn2yn)(n=0,2…) 2004-12-13 7
2004-12-13 7 §9.2 Euler方法 一、显式欧拉（Euler）方法 设节点为 ，欧拉方法的计 算公式 xn = x0 + nh（n = 0，1，2,L,n） yn+1 = yn + hf（xn，yn）（n = 0，1，2，L） 这是一种最简单的显式单步方法，该方法可以通 过不同的途径获得。 ( , )( 0,1,2, ) 1 = = L + − f x y n h y y n n n n 1、差商法 用两点差商公式 代替导数 ,再用 表示 的近似值,则得到 n n n n x x y x y x − − + + 1 1 ( ) ( ) n y ( ) n y x ( ) n y′ x
显式欧拉(Euer)方法(续) 2、 Taylor,展开法 假设在n附近把y(x)展成 Tayler级数 v(r,+h=y(xn)+hy(xn)+y(xn)+ 取h的线性部分,并用y表示y(xn)的近似值,得 mn+1=yn +hf(n, yn(n=0, 1, 2, . 3、数值积分法 对微分方程两端从xn到xn1积分,得等价的积分方程 y(rm+1)=y(rn)+ f(t,y(t)dt 对右端的积分部分采用左矩形公式近似即得Euer公式。 Remark: Taylor,展开法与数值积分法是构造微分方程 数值解的两类主要的方法 2004-12-13
2004-12-13 8 显式欧拉（Euler）方法 （续） 假设在xn 附近把y（x）展成Tayler级数 + = + + ''( ) +L 2 ( ) ( ) '( ) 2 n n n n y x h y x h y x hy x 取h的线性部分,并用yn表示 y(xn ) 的近似值,得 ( , )( 0,1,2, ) yn+1 = yn + hf xn yn n = L 2、Taylor展开法 3、数值积分法 ∫ + + = + 1 ( ) ( ) ( , ( )) 1 nnxx y xn y xn f t y t dt 对微分方程两端从xn到xn+1积分，得等价的积分方程 对右端的积分部分采用左矩形公式近似即得Euler公式。 Remark：Taylor展开法与数值积分法是构造微分方程 数值解的两类主要的方法
欧拉(Euer)方法的几何意义 Eule方法有明显的几何意义。y 如右图所示,一阶常微分方 程初值问题的解曲线x过P0y)y2)) 点Px)。从P出发以 f(xo3yo)为斜率作一直线段, 2 与x=x1相交于点P1(x13y1), 显然有y=y0+6(x030 xo=0 x1 x x3 同理,再由P1出发以x11)为斜率作一直线段,与x=x2 相交于点P2(x22),显然有y2=y1+b(x1y1)。这样一直做 下去,得到一条折线PP1P2……,作为y(x)的近似曲线 因此,Eule方法又称为 Euler折线法, 2004-12-13
2004-12-13 9 欧拉（Euler）方法的几何意义 Euler方法有明显的几何意义。 如右图所示，一阶常微分方 程初值问题的解曲线y(x)过 点P0(x0,y0)。从P0出发以 f(x0,y0)为斜率作一直线段， 与x=x1相交于点P1(x1,y1)， 显然有y1=y0+hf(x0,y0)。 同理，再由P1出发以f(x1,y1)为斜率作一直线段，与x=x2 相交于点P2(x2,y2)，显然有y2=y1+hf(x1,y1)。这样一直做 下去，得到一条折线P0P1P2……，作为y(x)的近似曲线。 因此，Euler方法又称为Euler折线法
隐式Euer方法和 Euler方法的改进 若在等价积分方程 V(n+p=y(x,+ f(t, y(t)dt 中将积分用右矩形公式 f(x)ax≈(b-a)f(b) (b-a)2,(m∈(a2b) 代入,有 y(xn+)≈y(xn)+f(xn+1,y(xn+1),n=0,1,2, 从而得到yn1≈yn+hf(xn1,yn1),n=0,2 上式是一个隐式的单步方法,称为隐式欧拉法或后退 的欧拉法。利用此方法,每一步都要把上式作为yn+1 的一个方程来求解。从数值积分的误差分析,很难期 望隐式欧拉法比显式欧拉法更精确 2004-12-13
2004-12-13 10 二、隐式Euler方法和Euler方法的改进 y x y x f t y t dt n n x x n ） （ n） ∫ （ ， ） + + = + 1 ( ( ) 1 中将积分用右矩形公式 ( ) ,( ( , )) 2 '( ) 2 b a a b f f x dx b a f b b a ≈ − − − ∈ ∫ η η （ ） （ ） （ ） 代入，有 y(xn+1) ≈ y(xn ) + hf (xn+1, y(xn+1)),n = 0,1,2,K 若在等价积分方程 从而得到 yn+1 ≈ yn + hf (xn+1, yn+1),n = 0,1,2,K 上式是一个隐式的单步方法，称为隐式欧拉法或后退 的欧拉法。利用此方法，每一步都要把上式作为yn+1 的一个方程来求解。从数值积分的误差分析，很难期 望隐式欧拉法比显式欧拉法更精确