第十章双线性函数与辛空间 §1线性函数 定义1设V是数域P上的一个线性空间,f是V到P的一个映射,如果f满 足 1)f(a+B)=f(a)+f(B); 2)f(ka)=kf(a), 式中a,B是V中任意元素,k是P中任意数,则称f为V上的一个线性函数 从定义可推出线性函数的以下简单性质: 设∫是V上的线性函数,则f(O)=0,f(-a)=-f(a) 2.如果B是a1a2…a,的线性组合: B=k,a,+k,a 那么 f(B)=k1f(a1)+k2f(a2)+…+k,f(a,) 例1设a1,a2…,an是P中任意数,X=(x xn)是P中的向量函数 f(X)=f(x1,x2,…,xn)=a1x1+a2x2+…+anxn 就是P上的一个线性函数当a1=a2=…=an=0时,得f(X)=0,称为零函数, 仍用0表示零函数 实际上,Pn上的任意一个线性函数都可以表成这种形式 第i个 P中任一向量X=(x1,x2…,x)可表成 X 设∫是P”上一个线性函数,则
第十章 双线性函数与辛空间 §1 线性函数 定义 1 设 V 是数域 P 上的一个线性空间， f 是 V 到 P 的一个映射，如果 f 满 足 1） f ( + ) = f () + f ( ) ; 2） f (k) = kf (), 式中 , 是 V 中任意元素， k 是 P 中任意数，则称 f 为 V 上的一个线性函数. 从定义可推出线性函数的以下简单性质： 1. 设 f 是 V 上的线性函数，则 f (0) = 0, f (−) = − f () . 2. 如果 是 s , , , 1 2 的线性组合： s s = k11 + k2 2 ++ k 那么 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 s s f = k f + k f ++ k f 例 1 设 a a an , , , 1 2 是 P 中任意数， ( , , , ) 1 2 n X = x x x 是 n P 中的向量.函数 n n n f X = f x x x = a x + a x ++ a x 1 2 1 1 2 2 ( ) ( , , , ) (1) 就是 P 上的一个线性函数.当 a1 = a2 == an = 0 时，得 f (X ) = 0 ,称为零函数， 仍用 0 表示零函数. 实际上， n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令 i = (0 , ,0,1, 0, ,0), i =1, 2 , , n . 第 i 个 n P 中任一向量 ( , , , ) 1 2 n X = x x x 可表成 n n X = x + x ++ x 1 1 2 2 . 设 f 是 n P 上一个线性函数，则
f(X)=f(∑xE,)=∑xf() f(E1),i= 则 f(x)=a,x,+a2x2+.+a,x 就是上述形式 例2A是数域P上一个n级矩阵,设 A 21 则A的迹 7r(A) 是P上全体n级矩阵构成的线性空间Pm上的一个线性函数 例3设=P[x],t是P中一个取定的数定义Px]上的函数L,为 L (P(x))=p(0), P(xEPx] 即L(p(x)为p(x)在t点的值,L1(p(x)是Px上的线性函数 如果V是数域P上一个n维线性空间取定V的一组基1E2…,En对V上任 意线性函数∫及V中任意向量a: x,atx 都有 f(E;) 因此,f(a)由∫(1),f(2)…,f(En)的值唯一确定.反之,任给P中n个数 a12a2…,an,用下式定义V上一个函数f
= = = = n i i i n i i i f X f x x f 1 1 ( ) ( ) ( ) 令 a f ( ), i 1 2 n , i = i = ，，， 则 n n f X = a x + a x ++ a x 1 1 2 2 ( ) 就是上述形式. 例 2 A 是数域 P 上一个 n 级矩阵，设 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 , 则 A 的迹 Tr A = a11 + a22 ++ ann ( ) 是 P 上全体 n 级矩阵构成的线性空间 n n P 上的一个线性函数. 例 3 设 V = P[x],t 是 P 中一个取定的数.定义 P[x] 上的函数 Lt 为 L (P(x)) p(t) , p(x) P[x] t = , 即 L ( p(x)) t 为 p(x) 在 t 点的值， L ( p(x)) t 是 P[x] 上的线性函数. 如果 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间.取定 V 的一组基 n , , , 1 2 .对 V 上任 意线性函数 f 及 V 中任意向量 ： n n = x + x ++ x 1 1 2 2 都有 = = = = n i i i n i i i f f x x f 1 1 () ( ) ( ) . (2) 因此， f () 由 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f f f 的值唯一确定.反之， 任给 P 中 n 个数 a a an , , , 1 2 ，用下式定义 V 上一个函数 f ：
这是一个线性函数,并且 f(s;)=a1,=1,2,…n 因此有 定理1设V是P上一个n维线性空间,E1E2…En是V的一组基 a1a2…an是P中任意n个数,存在唯一的V上线性函数∫使 f(E1)=a1,i=1,2,…n
= = = n i i i n i i i f x a x 1 1 ( ) . 这是一个线性函数，并且 f ( i ) = ai ,i =1, 2, ,n 因此有 定 理 1 设 V 是 P 上一个 n 维线性空间， n , , , 1 2 是 V 的一组基， a a an , , , 1 2 是 P 中任意 n 个数，存在唯一的 V 上线性函数 f 使 f ( i ) = ai ,i =1, 2, ,n
§2对偶空间 设V是数域P上一个n维线性空间.V上全体线性函数组成的集合记作 L(,P).可以用自然的方法在L(V,P)上定义加法和数量乘法 设∫,g是V的两个线性函数定义函数∫+g如下 (f+g)a=f(a)+g(a),a∈ f+g也是线性函数: ∫+g)a+β)=∫(a+β)+g(a+B) =f(a)+f(B)+g(a)+g(B) (∫+g)a)+(∫+gβ), C+gka)=f(ka)+g(ka)=kf(a)+kg(a)=k(f+ga) f+g称为∫与g的和 还可以定义数量乘法设∫是V上线性函数,对于P中任意数k,定义函数kf 如下 (ka)=k(f(a),a∈, kf称为k与f的数量乘积,易证kf也是线性函数 容易检验,在这样定义的加法和数量乘法下,L(V,P)成为数域P上的线性 空间 取定V的一组基E1,E2,…En,作V上n个线性函数f1,2…,fn,使得 J≠l, 因为∫在基E1,E2…,En上的值已确定,这样的线性函数是存在且唯一的对V中 向量a=>x51,有 f(a)=x1, 即f(a)是a的第i个坐标的值
§2 对偶空间 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. V 上全体线性函数组成的集合记作 L(V,P) .可以用自然的方法在 L(V,P) 上定义加法和数量乘法. 设 f , g 是 V 的两个线性函数.定义函数 f + g 如下： ( f + g) = f () + g(), V . f + g 也是线性函数： ( )( ) ( )( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) f g f g f f g g f g f g = + + + = + + + + + = + + + ( f + g)(k) = f (k) + g(k) = k f () + k g() = k( f + g)() . f + g 称为 f 与 g 的和. 还可以定义数量乘法.设 f 是 V 上线性函数，对于 P 中任意数 k ，定义函数 kf 如下： (kf )() = k( f ()) , V , kf 称为 k 与 f 的数量乘积，易证 kf 也是线性函数. 容易检验，在这样定义的加法和数量乘法下， L(V,P) 成为数域 P 上的线性 空间. 取定 V 的一组基 n , , , 1 2 ，作 V 上 n 个线性函数 n f , f , , f 1 2 ，使得 , 1, 2 , , . 0, , 1 , ; ( ) i j n j i j i f i j = = = (1) 因为 i f 在基 n , , , 1 2 上的值已确定，这样的线性函数是存在且唯一的.对 V 中 向量 = = n i i i x 1 ，有 i i f () = x , (2) 即 () i f 是 的第 i 个坐标的值
引理对V中任意向量a,有 f,(a)ei 而对L(V,P)中任意向量f,有 f=∑f(E,) 定理2L(,P)的维数等于V的维数,而且f1,2…,n是L(,P)的一组基 定义2L(P,)称为的对偶空间.由(1)决定L(V,P)的的基,称为 E1,E2,…En的对偶基 以后简单地把V的对偶空间记作V 例考虑实数域R上的n维线性空间=P[x]n,对任意取定的n个不同实数 an,根据拉格朗日插值公式,得到n个多项式 p,(r) (x-a1)…(x-a-1)x-a1)…(x-an) ,i=1,2,…,n. (a1-a1)…(a1-aaa1-a11)…(a1-an) 它们满足 P(a)=1J=1; j≠1,,/=1,2 l0 P(x),P2(x),…,Pn(x)是线性无关的,因为由 C1P,(x)+c2 P2(x)+.+c,P,(x)=0 用a代入,即得 ckP(a)=cP,(a) 又因V是n维的,所以P2(x),P2(x),…,pn(x)是V的一组基 设L∈V'(=1,2,…n)是在点a的取值函数 L(P(x)=p(a1),p(x)∈Hi=1,2,…,n
引理 对 V 中任意向量 ，有 = = n i i i f 1 () , (3) 而对 L(V,P) 中任意向量 f ，有 = = n i i i f f f 1 ( ) . (4) 定理 2 L(V,P) 的维数等于 V 的维数，而且 n f , f , , f 1 2 是 L(V,P) 的一组基. 定义 2 L(P,V) 称为 V 的对偶空间.由（1）决定 L(V,P) 的的基，称为 n , , , 1 2 的对偶基. 以后简单地把 V 的对偶空间记作 V . 例 考虑实数域 R 上的 n 维线性空间 n V = P[x] ，对任意取定的 n 个不同实数 a a an , , , 1 2 ，根据拉格朗日插值公式，得到 n 个多项式 , 1 , 2 , , . ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 i n a a a a a a a a x a x a x a x a p x i i i i i i n i i n i = − − − − − − − − = = + − + 它们满足 , 1, 2 , , . 0 , , 1, ; ( ) i j n j i j i pi a j = = = ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是线性无关的，因为由 c1 p1 (x) + c2 p2 (x)++ cn pn (x) = 0 用 i a 代入，即得 c p a ci pp ai ci i n n k k k i ( ) ( ) 0 , 1,2, , 1 = = = = = . 又因 V 是 n 维的，所以 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 是 V 的一组基. 设 L V (i 1, 2, ,n) i = 是在点 i a 的取值函数： L ( p(x)) p(a ), p(x) V .i 1,2, ,n. i = i =
则线性函数L满足 L(P/(x)=P(a)1,=/,,j=1,2,…n 0.i≠ 因此,L1,L2…,L是p(x),P2(x)…,Pn(x)的对偶基 下面讨论V的两组基的对偶基之间的关系 设V是数域P上一个n维线性空间.1,E2,…,En及n1,n2…7n是V的两组基 它们的对偶基分别是f1f2…,fn及g12…,gn再设 (1,n2,…n)=(61,E2,…,En)A (g1,g2…,8n)=(f1,J2,…,fn)B 其中 b1b2…b A B a 由假设 7=a151+a2E2+…+anEn,i=1,2,…,n, g=b,f1+b22+…+bnJ,J=1,2,…,n 因此 g(m)=∑bf(an51+a212+…+anFn) J 0,1≠ 由矩阵乘法定义,即得 BA=E 即 B′=A 定理3设61,E2…,En及n22…,7n是线性空间V的两组基,它们的对偶基
则线性函数 Li 满足 , , 1,2, , . 0 , , 1, ; ( ( )) ( ) i j n i j i j Li p j x p j ai = = = = 因此， L L Ln , , , 1 2 是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 p x p x p x n 的对偶基. 下面讨论 V 的两组基的对偶基之间的关系. 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间. n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是 V 的两组基. 它们的对偶基分别是 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .再设 (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )A (g1 , g2 , , gn ) = ( f 1 , f 2 , , f n )B 其中 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 , = n n nn n n b b b b b b b b b B 1 2 21 22 2 11 12 1 由假设 i = a1i 1 + a2i 2 ++ ani n , i =1 , 2 , ,n , gi = b1 j f 1 + b2 j f 2 ++ bnj f n , j = 1, 2, ,n . 因此 i j n i j i j b a b a b a g b f a a a j i j i nj ni i i ni n n k j i kj k , 1 , 2 , , 0 , , 1 , ; ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 = = = = + + + = + + + = 由矩阵乘法定义，即得 BA = E 即 −1 B = A 定理 3 设 n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是线性空间 V 的两组基，它们的对偶基
分别为f1,f2…fn及g1,82…,8n如果由E1,E2…,En到m1,n2…,n的过渡矩阵 为A,那么由f,f2…到g182…,gn的过渡矩阵为(A) 设V是P上一个线性空间,是其对偶空间,取定V中一个向量x,定义V 的一个函数x“如下 x"(O)=f(x),f∈V 根据线性函数的定义,容易检验x”是V上的一个线性函数,因此是的对偶空 间)=“中的一个元素 定理4V是一个线性空间,V“是V的对偶空间的对偶空间.V到V“的映 射 x→x 是一个同构映射 这个定理说明,线性空间V也可看成V的线性函数空间,V与实际上是 互为线性函数空间的这就是对偶空间名词的来由由此可知,任一线性空间都可 看成某个线性空间的线性函数所成的空间,这个看法在多线性代数中是很重要 的
分别为 n f , f , , f 1 2 及 g g gn , , , 1 2 .如果由 n , , , 1 2 到 n , , , 1 2 的过渡矩阵 为 A ，那么由 n f , f , , f 1 2 到 g g gn , , , 1 2 的过渡矩阵为 1 ( ) − A . 设 V 是 P 上一个线性空间， V 是其对偶空间，取定 V 中一个向量 x ，定义 V 的一个函数 x 如下： x ( f ) = f (x), f V . 根据线性函数的定义，容易检验 x 是 V 上的一个线性函数，因此是 V 的对偶空 间 (V ) = V 中的一个元素. 定理 4 V 是一个线性空间， V 是 V 的对偶空间的对偶空间. V 到 V 的映 射 → x x 是一个同构映射. 这个定理说明，线性空间 V 也可看成 V 的线性函数空间， V 与 V 实际上是 互为线性函数空间的.这就是对偶空间名词的来由.由此可知，任一线性空间都可 看成某个线性空间的线性函数所成的空间，这个看法在多线性代数中是很重要 的
§3双线性函数 定义3V是数域P上一个线性空间,f(a,B)是上一个二元函数,即对V 中任意两个向量a,B,根据∫都唯一地对应于P中一个数f(a,B).如果f(a,B) 有下列性质 1)f(a,kB1+k2B2)=k1f(a,B1)+k2f(a,月2); 2)f(ka1+k2a2,B)=k,f(a1,B)+k2f(a2,B), 其中∝,a,a2,B,B,B2是V中任意向量,k,k2是P中任意数,则称f(a,B)为V上 的一个双线性函数 这个定义实际上是说对于V上双线性函数f(a,B),将其中一个变元固定时 是另一个变元的线性函数 例1欧氏空间V的内积是V上双线性函数 例2设f(ax),f2(a)都是线性空间上的线性函数,则 f(a, B)=f(a)2(B), a,BEl 是上的一个双线性函数 例3设P是数域P上n维列向量构成的线性空间X,∈P再设A是P上 级方阵令 f(X,Y=XAr 则f(X,Y)是P”上的一个双线性函数 如果设X'=(x1,x2,…,xn),Y=(y,y2,…,yn),并设 A f(X,r)
§3 双线性函数 定义 3 V 是数域 P 上一个线性空间， f (, ) 是 V 上一个二元函数，即对 V 中任意两个向量 , ，根据 f 都唯一地对应于 P 中一个数 f (, ) .如果 f (, ) 有下列性质： 1） ( , ) ( , ) ( , ) 11 2 2 1 1 2 2 f k + k = k f + k f ; 2） ( , ) ( , ) ( , ) f k11 + k22 = k1 f 1 + k2 f 2 , 其中 1 2 1 2 , , ,, , 是 V 中任意向量， 1 2 k ,k 是 P 中任意数，则称 f (, ) 为 V 上 的一个双线性函数. 这个定义实际上是说对于 V 上双线性函数 f (, ) ，将其中一个变元固定时 是另一个变元的线性函数. 例 1 欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数. 例 2 设 ( ), ( ) f 1 f 2 都是线性空间 V 上的线性函数，则 f (,) = f 1 () f 2 (), , V 是 V 上的一个双线性函数. 例 3 设 n P 是数域 P 上 n 维列向量构成的线性空间. n X,Y P 再设 A 是 P 上 n 级方阵.令 f (X,Y) = X AY , (1) 则 f (X,Y) 是 n P 上的一个双线性函数. 如果设 ( , , , ), ( , , , ) 1 2 n 1 2 n X = x x x Y = y y y ，并设 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 则 = = = n i n j ij i j f X Y a x y 1 1 ( , ) . (2)
(1)或(2)实际上是数域P上任意n维线性空间V上的双线性函数f(a,B)的 一般形式可以如下地说明这一事实取V的一组基E1,E2,…,En设 (E1,E2…,En VI y2 Dr f(a,B)=八①∑x,∑yE)=∑∑f(E,E,)xy f(E;,E;),l,j=1,2 2 则(3)就成为(1)或(2) 定义4设f(a,B)是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数 E1,E2…,En是V的一组基,则矩阵 f(s1E1)∫(E1,E2)…f(E1En) A= f(E2,E1)∫(E2,E2)…f(E2,En) f(en, E,) f(En, E2)..f(En, En) 叫做f(a,B)在E1,E2,…,En下的度量矩阵 上面的讨论说明,取定V的一组基s1,E2…,En后,每个双线性函数都对应于 一个n级矩阵,就是这个双线性函数在基s1,E2,…,En下的度量矩阵度量矩阵被双
（1）或（2）实际上是数域 P 上任意 n 维线性空间 V 上的双线性函数 f (, ) 的 一般形式.可以如下地说明这一事实.取 V 的一组基 n , , , 1 2 .设 X x x x n n n ( , , , ) ( , , , ) 1 2 2 1 1 2 = = , Y y y y n n n ( , , , ) ( , , , ) 1 2 2 1 1 2 = = , 则 = = = = = = n i n j i j i j n i n j i i j j f f x y f x y 1 1 1 1 (, ) ( , ) ( , ) . (3) 令 aij = f ( i , j ), i , j = 1,2, ,n , = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 则（3）就成为（1）或（2）. 定 义 4 设 f (, ) 是数域 P 上 n 维线性空间 V 上的一个双线性函数. n , , , 1 2 是 V 的一组基，则矩阵 = ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 n n n n n n f f f f f f f f f A (4) 叫做 f (, ) 在 n , , , 1 2 下的度量矩阵. 上面的讨论说明，取定 V 的一组基 n , , , 1 2 后，每个双线性函数都对应于 一个 n 级矩阵，就是这个双线性函数在基 n , , , 1 2 下的度量矩阵.度量矩阵被双
线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的 反之,任给数域P上一个n级矩阵 2 a a n2 对V中任意向量a=(61E2…,En)X及B=(E1,E2,…,En),其中 X=(x1x2,…,xn),Y’=(y1,y2,…yn)用 (a,B)=Xy=∑ 定义的函数是上一个双线性函数容易计算出f(a,B)在s1E2…,En下的度量 矩阵就是A 因此,在给定的基下,V上全体双线性函数与P上全体n级矩阵之间的一个 双射 在不同的基下,同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的,它们之间的什 么关系呢?设E1,E2…,En及n1,n2…是线性空间V的两组基 n1,n2…,n)=(E1,E2 a,B是V中两个向量 a=(E1,E2,…,En)X=(71,2,…7n)X1, B=(E1,E2,…,En)Y=(m1,n2,…,n)1 那么 X=CXY=CY 如果双线性函数f(a,B)在E1,E2…En及n1,n2…7n下的度量矩阵分别为A,B, 则有 f(a,B)=XAY=(CXDA(CY=XI(CAC)YI
线性函数及基唯一确定.而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的. 反之，任给数域 P 上一个 n 级矩阵 = n n nn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 对 V 中 任 意 向 量 = ( 1 , 2 , , n )X 及 = ( 1 , 2 , , n )Y ，其中 ( , , , ) 1 2 n X = x x x ， ( , , , ) 1 2 n Y = y y y 用 = = = = n i n j ij i j f X AY a x y 1 1 (, ) 定义的函数是 V 上一个双线性函数.容易计算出 f (, ) 在 n , , , 1 2 下的度量 矩阵就是 A . 因此，在给定的基下， V 上全体双线性函数与 P 上全体 n 级矩阵之间的一个 双射. 在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，它们之间的什 么关系呢？设 n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 是线性空间 V 的两组基： (1 ,2 , ,n ) = ( 1 , 2 , , n )C , 是 V 中两个向量 1 2 1 2 1 = ( , , , n )X = ( , , ,n )X , 1 2 1 2 1 = ( , , , n )Y = ( , , ,n )Y 那么 1 1 X = CX , Y = CY 如果双线性函数 f (, ) 在 n , , , 1 2 及 n , , , 1 2 下的度量矩阵分别为 A, B ， 则有 1 1 1 1 f ( , ) X AY (CX ) A(CY ) X (CAC)Y = = = . 又