电子教案 目录 行列式 基本要求 内容提要 1.排列的逆序与逆序数 2.奇偶排列 3.对换改变排列的奇偶性 22222 4.n阶行列式的定义 5.n阶行列式的性质 6.余子式、代数余子式的定义 7.行列式按行(列)展开定理 8.几个特殊行列式的值 9.克兰姆法则 典型例题 (一)关于行列式概念的典型例题… 558 (二)用定义与性质计算行列式的典型例题 (三)用展开法计算行列式的典型例题 (四)行列式计算杂例 (五)克莱姆法则 22
电子教案 目 录 行列式........................................................................................................................ 2 一、基本要求..................................................................................................... 2 二、内容提要..................................................................................................... 2 1. 排列的逆序与逆序数..................................................................................... 2 2. 奇偶排列 ...................................................................................................... 2 3. 对换改变排列的奇偶性 ................................................................................. 2 4. n 阶行列式的定义......................................................................................... 2 5. n 阶行列式的性质......................................................................................... 3 6. 余子式、代数余子式的定义 .......................................................................... 4 7. 行列式按行（列）展开定理 .......................................................................... 4 8. 几个特殊行列式的值..................................................................................... 4 9. 克兰姆法则................................................................................................... 5 三、典型例题..................................................................................................... 5 ( 一 ) 关于行列式概念的典型例题 ................................................................... 5 ( 二 )用定义与性质计算行列式的典型例题....................................................... 8 ( 三 )用展开法计算行列式的典型例题.............................................................11 ( 四 ) 行列式计算杂例................................................................................... 12 ( 五 ) 克莱姆法则.......................................................................................... 22
行列式 基本要求 1.了解n阶行列式的定义 2.了解行列式的性质,掌握行列式的计算 3.掌握克兰姆法则 内容提要 1.排列的逆序与逆序数 由1,2,…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列.在一个排列中任取两个数,如果 前面的数大于后面的数,则称这两个数构成一个逆序;一个排列中逆序的总数称为这个排列 的逆序数 2.奇偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列:逆序数为奇数的排列称为奇排列 3.对换改变排列的奇偶性 把一个排列中两个数的位置互换,其余的数不动,这样得到一个新的排列,这两个数的位 置互换称为对换.每一个对换都要改变排列的奇偶性. 4.n阶行列式的定义 设n个数组成n行n列的方块 称为n阶行列式,它表示数
行列式 一、基本要求 1. 了解 n 阶行列式的定义； 2. 了解行列式的性质 , 掌握行列式的计算； 3. 掌握克兰姆法则 二、内容提要 1. 排列的逆序与逆序数 由 1, 2, …, n 组成的一个有序数组称为一个 n 级排列.在一个排列中任取两个数,如果 前面的数大于后面的数,则称这两个数构成一个逆序；一个排列中逆序的总数称为这个排列 的逆序数. 2. 奇偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列. 3. 对换改变排列的奇偶性 把一个排列中两个数的位置互换,其余的数不动,这样得到一个新的排列,这两个数的位 置互换称为对换.每一个对换都要改变排列的奇偶性. 4. n 阶行列式的定义 设 n 2 个数组成 n 行 n 列的方块 n n nn n n a a a a a a a a a 1 2 21 22 2 11 12 1 称为 n 阶行列式,它表示数
1a22 ∑(-1)b“a 其中,a称为第i行第j列的元素,A表示对所有n级排列求和 5.n阶行列式的性质 aIn a11 a21 性质1m 性质2 特别地,如果行列式中某一行全为零,则行列式为零 ba+ca bi2+c bin +cin=b bi2 bin I+cc 性质3am 性质4行列式中两行互换,则行列式改变符号 性质5若行列式有两行对应元素相同,则这个行列式为零 性质6若行列式有一行元素是另一行对应元素的k倍(即两行成比例),则行列式为 性质7将行列式的某一行的k倍(即将这行的每一个元素乘以k)加到另一行,行列式 不变 注意:性质2~7中将行换成列,其结论均成立
n n n j j nj j j j j j j n n n n n n a a a a a a a a a a a a 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 = (−1) 其中,aij称为第 i 行第 j 列的元素, n j j j 1 2 表示对所有 n 级排列求和. 5. n 阶行列式的性质 性质 1 n n nn n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 2 12 22 2 11 21 1 1 2 21 22 2 11 12 1 = 性质 2 n n n n i i i n n n n n n i i i n n a a a a a a a a a k a a a k a k a k a a a a 1 2 1 2 11 12 1 1 2 1 2 11 12 1 = 特别地,如果行列式中某一行全为零,则行列式为零. 性质 3 n n n n i i i n n n n n n i i i n n n n n n i i i i i n i n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a b c b c b c a a a 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 + + + = + 性质 4 行列式中两行互换,则行列式改变符号. 性质 5 若行列式有两行对应元素相同,则这个行列式为零. 性质 6 若行列式有一行元素是另一行对应元素的 k 倍（即两行成比例）,则行列式为 零. 性质 7 将行列式的某一行的 k 倍（即将这行的每一个元素乘以 k）加到另一行,行列式 不变. 注意：性质 2～7 中将行换成列,其结论均成立
6.余子式、代数余子式的定义 在n阶行列式中,把a所在的第i行和第j列划去后,留下的n-1阶行列式称为a的 余子式,记作Mn将它带上符号(-1)后所得的 4=(-1)M 称为a的代数余子式 7.行列式按行(列)展开定理 行列式等于它的任一行(列)的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 anA1+a2A2+…+anAn(=1,2,…,n) D=aA +aia 一般地有 ∑a4 k=1.2 ai Aik (,k=1,2 ≠ 注意:有时也用Dn=a1A41+a12412+…+a1nn(D1=a1=a1)来给出n阶行列式的 8.几个特殊行列式的值 =a1422…am =a1422…am Isj<isn
6. 余子式、代数余子式的定义 在 n 阶行列式中,把 aij所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下的 n − 1 阶行列式称为 aij的 余子式,记作 Mij,将它带上符号 i+ j (−1) 后所得的 ij i j Aij M + = (−1) 称为 aij的代数余子式. 7. 行列式按行（列）展开定理 行列式等于它的任一行（列）的所有元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 ( 1, 2, , ) D = ai1Ai1 + ai2Ai2 ++ ai nAi n i = n 或 ( 1, 2, , ) D = a1 j A1 j + a2 j A2 j ++ anjAnj j = n 一般地有 ( , 1, 2, , ) 0 1 i k n k i D k i a A n j ij kj = = = = 或 ( , 1, 2, , ) 0 1 j k n k j D k j a A n i ij i k = = = = 注意：有时也用 ( | | ) Dn = a11A11 + a12A12 ++ a1n A1n D1 = a11 = a11 来给出 n 阶行列式的 定义. 8. 几个特殊行列式的值 nn nn n n a a a a a a a a a 11 22 22 2 11 12 1 0 0 0 = nn n n nn a a a a a a a a a 11 22 1 2 21 22 11 0 0 0 = − − − = − j i n i j n n n x n n x x x x x x x x x x x 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 ( ) 1 1 1
克兰姆法则 对于线性方程组 b b anIx,+an2x2+.+a nxn=b 如果系数行列式 2 a21 a 则方程组(1-1)有唯一解,这个解由下列公式表示 (B.合) 其中,D,(=1.2,…,m)是把D中第j列换成常数项bb2,…b,而其余各列不变的行列式 特别地,对于齐次线性方程组 1x1+a12 a,Ix+ a,x 0 如果系数行列式D≠0,则方程组(1-2)只有唯一的零解换句话说,如果方程组(1-2)有 非零解,则必有D=0 典型例题 (一)关于行列式概念的典型例题 例1计算排列mn-1)…21的逆序数并指出它是奇排列还是偶排列 解由于与1构成的逆序的数有n-1个,与2构成逆序的数有n-2个,依次类推,与 1构成逆序的数有1个,故
9. 克兰姆法则 对于线性方程组 + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b 1 1 2 2 21 1 22 2 2 2 11 1 12 2 1 1 （1-1） 如果系数行列式 0 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a D 则方程组（1-1）有唯一解,这个解由下列公式表示 = D D D D D D x x x n n ( , , , ) , , , 1 2 1 2 其中, D ( j 1, 2, , n) j = 是把 D 中第 j 列换成常数项 b b bn , , , 1 2 ,而其余各列不变的行列式. 特别地,对于齐次线性方程组 + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （1-2） 如果系数行列式 D 0 ,则方程组（1-2）只有唯一的零解.换句话说,如果方程组（1-2）有 非零解,则必有 D = 0. 三、典型例题 ( 一 ) 关于行列式概念的典型例题 例 1 计算排列 n(n −1)21 的逆序数,并指出它是奇排列,还是偶排列. 解 由于与 1 构成的逆序的数有 n − 1 个,与 2 构成逆序的数有 n − 2 个,依次类推,与 n − 1 构成逆序的数有 1 个,故
r(m(n-1)…21)=(m-1)+(m-2)+…+2+1sm(n-1) 当n=4k或n=4k+1时,2是偶数,所以排列是偶排列,当n=4k+2或n=4k+3 l) 是奇数,所以排列是奇排列 例2设排列中2n的逆序数为r试计算nnh4的逆序数 解在排列4n中,任意取出两个数,如果前面的数小于后面的数,则称这两个数构 成一个顺序:一个排列中顺序的总数称为顺序数由于在排列中任取两个数,它们不构成逆序 那么它们就构成顺序;或它们不构成顺序,那么它们就构成逆序,因而有 r(i1i2…in)+排列2…in的顺序数=Cn 又因为排列2n的顺序数就等于排列nn1‘h的逆序数.故 r(nln-1…i2i1)=C 例3当n≥2时,n个数的奇排列与偶排列的个数相等各为2个 证设n级排列中,奇排列共有p个,而偶排列共有q个.对这p个奇排列进行同一个对 换,即i与j的对换,那么根据对换改变奇偶性可知,原p个奇排列变为p个不同的偶排列, 因而P≤q,同理可得q≤P,因此2 例4计算n阶行列式 a1 D 000 解因为在行列式D中除了第n行外,其余的每一行只有一个非零元素,由n阶行列式 的定义可知,D只含一项a1a2an-1n:其中元素的下标(第n个数an的第一个下标)正 好是它们的行指标,已是一个标准的排列,而它们所在列的下标构成的排列为23…ml;这个
2 ( 1) ( ( 1) 21) ( 1) ( 2) 2 1 − − = − + − + + + = n n n n n n 当 n = 4k 或 n = 4k + 1 时, 2 n(n −1) 是偶数,所以排列是偶排列,当 n = 4k + 2 或 n = 4k + 3 时, 2 n(n −1) 是奇数,所以排列是奇排列. 例 2 设排列 n i i i 1 2 的逆序数为 r,试计算 1 2 1 i i i i n n− 的逆序数. 解 在排列 n i i i 1 2 中,任意取出两个数,如果前面的数小于后面的数,则称这两个数构 成一个顺序；一个排列中顺序的总数称为顺序数.由于在排列中任取两个数,它们不构成逆序, 那么它们就构成顺序；或它们不构成顺序,那么它们就构成逆序,因而有 2 1 2 1 2 ( ) n n Cn i i i + 排列i i i 的顺序数= 又因为排列 n i i i 1 2 的顺序数就等于排列 1 1 i i i n n− 的逆序数.故 i i i i C r n n− = n − 2 1 2 1 ( ) 例 3 当 n 2 时,n 个数的奇排列与偶排列的个数相等,各为 2 n! 个. 证 设 n 级排列中,奇排列共有 p 个,而偶排列共有 q 个.对这 p 个奇排列进行同一个对 换,即 i 与 j 的对换,那么根据对换改变奇偶性可知,原 p 个奇排列变为 p 个不同的偶排列, 因而 p q .同理可得 q p ,因此 2 n! p = q = . 例 4 计算 n 阶行列式 n n n nn n n a a a a a a a D 1 2 3 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − = 解 因为在行列式 Dn中除了第 n 行外,其余的每一行只有一个非零元素,由 n 阶行列式 的定义可知,Dn只含一项 a1a2 an−1an1 ；其中元素的下标（第 n 个数 n1 a 的第一个下标）正 好是它们的行指标,已是一个标准的排列,而它们所在列的下标构成的排列为 23n1 ；这个
排列的逆序数23…m1]=n-1:故 Dn=(-1)a1a2…an-1an 例5回答下列问题: (1)在一个n阶行列式中等于零的元素如果比n-n还多,那么此行列式等于零,为什 (2)如果n阶行列式中所有的元素变号,那么n阶行列式有什么变化,为什么? 解(1)由n阶行列式的展开式 D ∑ r(w2"naij 可知,D的值是n!项的代数和,而其中每一项都是n个元素的乘积,这n个元素又需要取自不 同行不同列 又n阶行列式D中一共有n2个元素,如果等于零的元素比(n2-m)还多,那么其中不等 于零的元素就一定比2-(m2-m)=n还少,也就是说,D中最多有n-1个元素不等于零,所 以D的m!项中每一项的n个元素中必有零元出现即n!项的每一项都是零,故必有Dn=0 (2)设 anI an2 在行列式D中每一个元素均变号,则得 D 因此,当n为偶数时,在D=Dn,即n阶行列式不变:当n为奇数时,有Dn=一Dn,即n阶 行列式变号
排列的逆序数 23n1 = n − 1 ；故 1 2 1 1 1 ( 1) n n n Dn a a a − a − = − 例 5 回答下列问题： （1）在一个 n 阶行列式中等于零的元素如果比 n − n 2 还多,那么此行列式等于零,为什 么？ （2）如果 n 阶行列式中所有的元素变号,那么 n 阶行列式有什么变化,为什么？ 解 （1）由 n 阶行列式的展开式 n n n j j nj j j j j j j n n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 21 22 2 11 12 1 = = (−1) 可知,Dn的值是 n!项的代数和,而其中每一项都是 n 个元素的乘积,这 n 个元素又需要取自不 同行不同列. 又 n 阶行列式 Dn中一共有 2 n 个元素,如果等于零的元素比 ( ) 2 n − n 还多,那么其中不等 于零的元素就一定比 n − (n − n) = n 2 2 还少,也就是说,Dn 中最多有 n − 1 个元素不等于零,所 以 Dn的 n!项中每一项的 n 个元素中必有零元出现.即 n!项的每一项都是零,故必有 Dn = 0 . （2）设 n n nn n n n a a a a a a a a a D 1 2 21 22 2 11 12 1 = 在行列式 Dn中每一个元素均变号,则得 n n n n n n n n n n n n n n n n D a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ( 1) ( 1) 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 = − = − − − − − − − − − − = 因此,当 n 为偶数时,在 Dn = Dn ,即 n 阶行列式不变；当 n 为奇数时,有 Dn = −Dn ,即 n 阶 行列式变号
(二)用定义与性质计算行列式的典型例题 例1计算阶行列式 Fo bb A bm X 0A0 A 0 AA A 00A 其中,,4≠0(=0,1,2,A,m) 解如果x=0,则容易计算得 如果时,考虑将化为一个上(下)三角形式的行列式,即 AA鸟 X 4 110A0 A 101A0 AAAA 100A1 A a1a21 axX 例2计算n阶行列式
( 二 )用定义与性质计算行列式的典型例题 例 1 计算 阶行列式 其中, . 解 如果χ=0 ,则容易计算得 如果 时,考虑将 化为一个上（下）三角形式的行列式,即 例 2 计算 n 阶行列式
D AAAA AAA A 其中,x≠a(=12.A 解由行列式的性质,将n阶行列式为上(下)三角形式的行列式来计算,即 X1 22 Dx=F1-X1 A?-d AAAAA 1 0 x2-42 23 (x-a)(x2-a2)A(x-an)-1 A A AA A A I(x, A AAA A X1 其中, 值得注意的是,如果一个n阶行列式能够化为形如例6的行列式,用化三角形式计算行列 式比较容易掌握,这也是计算行列式的一种常用方法.如下面各行列式都可以使用化三角形 法来计算
其中, . 解 由行列式的性质,将 n 阶行列式为上（下）三角形式的行列式来计算,即 其中, . 值得注意的是,如果一个n阶行列式能够化为形如例6的行列式,用化三角形式计算行列 式比较容易掌握,这也是计算行列式的一种常用方法.如下面各行列式都可以使用化三角形 法来计算
AAAA Dx AA A A 石A AA A x 1+a1 AAA aaA+ (3) 例3求下列n+1阶行列式 b1 1-b1b AAAAAA 0 11 A A A 11-b 解利用行列式的性质,将第一行加到第二行有 000 11-b2 AAAAA A bn- b 1-b2 再将第二行加到第三行,有 b20A0 100A , A 11-b2A0 A 0A1-b2 于加到第四行以此美推有0A-11-b 然后再将第三行加到第四行,以此类推,有
（1） （2） （3） 例 3 求下列 n+1 阶行列式 解 利用行列式的性质,将第一行加到第二行有 再将第二行加到第三行,有 然后再将第三行加到第四行,以此类推,有