矩阵的相似对角 矩阵与对角阵相似的条件 设4与对角阵A相似,→存在一个m阶可逆阵P,使A=PAP 设P=(B,P2…,Pn),A= A=PAP→AP=PA→ AP=(AB,AP2,…,APn)=(B12P2…,Pn →APt=12i=1,2,…,n An (P是否为特征向量?) (1B1,12P2,…,nPn)
矩阵的相似对角化 一、矩阵与对角阵相似的条件： 设 A与对角阵 Λ相似， n P APP− 1 ⇒ 存在一个 阶可逆阵 ，使 =Λ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = =Λ n PPPP n λ λ λ O L 2 1 21 设 ),,,( ， P AP − 1 =Λ ),,,( A P = 21 L APAPAP n ),,,( = λ λ 2211 L λ PPP nn niPAP .,,2,1, ⇒ = λ iii = L （ Pi是否为特征向量？） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n PPP n λ λ λ O L 2 1 21 ),,,( ⇒ = PAP Λ ⇒ =
小P≠0:B,,…P为非零向量。线性无关。) →A,12…n是特征值;→P1,P2,…Pn是特征向量。 反之设1,2,…,2是4的特征值,对应的特征向量为 n 设P=(B,P2…,Pn),A= ,则有: AP=(AB,AP2,…,APn)=(1B12A2P2,…,nPn) 由此可得什么结论? A~A分P可逆分 P2…,P线性无关 E PA
Q P ≠ 0 ∴ 21 L ,,, PPP n为非零向量。 ⇒ λ λ21 L ,,, λn是特征值； ⇒ 21 L ,,, PPP n是特征向量。 反之设 λ λ21 L ,,, λn 是A的特征值,对应的特征向量为 .,,, 21 L PPP n 设 ),,,( ， 2 ,则有： 1 21 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = =Λ n PPPP n λ λ λ O L ),,,( = 21 L APAPAPAP n ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n PPP n λ λ λ O L 2 1 21 ),,,( ),,,( = λ λ 2211 L λ PPP nn PΛ= 由此可得什么结论？ 线性无关。 可逆 PPP n PA ,,, ~ 21 L Λ ⇔ ⇔ （且线性无关。）
定理:n阶矩阵与对角阵相似的充要条件为A有n个线性 无关的特征向量。 推论:若A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似;但反之不对。 矩阵能否与对角阵相似,取决于矩阵能否有n个线性无 关的特征向量。 若矩阵A的特征值互异,则矩阵能与对角阵相似,问题已经解 决;若矩阵A有重特征值,则不能马上断言。这时要看特征向量了。 实际上,只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量就行了。 设为k重特征值,只要r(4-E)=n-k,则 A-E)X=O就有k个线性无关的解向量,即4有k个线 性无关的特征向量。综上,有: 定理2:设A的相异特征值为A,A2 ,…,m其重数分别为 ;,1∴…、下,n: 1251m,2 =n,则A~A分r(A-,E)=n-r
定理1：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件为A有n个线性 无关的特征向量。 推论：若A有n个互异的特征值，则A与对角阵相似；但反之不对。 思考：矩阵能否与对角阵相似，取决于矩阵能否有n个线性无 关的特征向量。 若矩阵A的特征值互异，则矩阵能与对角阵相似，问题已经解 决；若矩阵A有重特征值，则不能马上断言。这时要看特征向量了。 实际上，只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量就行了。 性无关的特征向量。 就有 个线性无关的解向量， 有即 个线 为设 重特征值，只要 则 kOXEA kA k knEAr =− −=− )( ,)( λ λ λ 综上，有： i i m i im ∑ = −=−⇔Λ rnEArAnrrrr = )(~,,,,, 1 21 L 则 λ 定理2：设 , A的相异特征值为λ λ21 L，，， λm 其重数分别为
二、矩阵相似对角化的方法: 200 例:判断A=13-1能否与对角阵相似,并在相似时求 可逆阵P,使P1AP=A为对角阵。 2-0 解: A-E|=13-2-11=(1-2)2-)(3-4) →A1=1,A2=2,3=3→A~A P=(51,2,3) 对=1,求得特征向量为51=(0,1,2), 0 对A2=2,求得特征向量为52=(0=101 对A3=3,求得特征向量为23=(01.0)
可逆阵 ，使 为对角阵。 例：判断 能否与对角阵相似，并在相似时求 Λ= ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −= − APPP A 1 101 131 002 解： λ λ λ λ − −− − =− 101 131 002 EA ⇒ λ = λ = λ321 = 3,2,1 ⇒ A ~ Λ 1 ,)2,1,0( 1 1 T 对λ = ，求得特征向量为ξ = ),,( P = ξ ξ ξ 321 二、矩阵相似对角化的方法： 3 .)0,1,0( 3 3 T 对λ = ，求得特征向量为ξ = T 2 )1,0,1( 对λ2 = ，求得特征向量为ξ 2 = = − λ − λ − λ)3)(2)(1( ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ = 012 101 010
P=AP=A=020 矩阵相似对角化的步骤: (1)求出A的所有特征值1,2,…,列2,若A12,…2互异, A与对角阵相似;若A1,22…,22中互异的为1,2,…,mn 每个4的重数为r,当n(A-E)=n-时,=1,2,…,m 定与对角阵相似;否则A不与对角阵相似
⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ =Λ=∴ − 300 020 001 1APP 矩阵相似对角化的步骤： 一定与对角阵相似；否则 不与对角阵相似。 每个 的重数为 ，当 时 则 与对角阵相似；若 中互异的为 求出 的所有特征值 ，若 互异， A AmirnEArr A Ai i i i i n m n n ,,,2,1,)( ,,, ,,,, )( ,,,,,, 21 21 21 21 L L L L L λ λ =−=− λλλ λλ λλλλλλ
(i)当A与对角阵相似时,求出A的n个线性无关的特征 向量12…,n并令P=(5122…,E),则有 P AP=A= 12
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =Λ= = − n n n APP P Aii nA λ λ λ ξξξ ξξξ O L L 2 1 1 21 21 ,,, ),,,( )( 向量 ，并令 ，则有 当 与对角阵相似时，求出 的 个线性无关的特征