n元向量 向量组的秩及极大线性无关组的求法 1利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组 例12为何值时,向量组∝1=(,1,1,12),a2=(2,1,3,2,3), a3=(2,3,2,2,5),a4=(13,-1,1,),线性相关?秩为多少? 并求一个极大线性无关组 1133 解设A=(a,a2,a,a1)=132 235
n元向量 一 . 向量组的秩及极大线性无关组的求法 1.利用矩阵的初等变换求向量组的秩及极大无关组 例 λ 1 为何值时，向量组α1 = ，α 2 = )3 ,2 ,3 ,1 ,2()2 ,1 ,1 ,1 ,1( ， . ) ,1 ,1 ,3 ,1()5 ,2 ,2 ,3 ,2( 3 4 并求一个极大线性无关组 α = ，α = − λ ，线性相关？秩为多少？ , 532 1221 1231 3311 1221 ( ) 4321 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = = −λ 设解 A ，，， αααα
经若干次初等变换后,有A→行变换→0010 0000 故当=4时,r(012a2,a34)=r(A)=3<4,向量组线性相关, 秩为3,1,a2a3或a1,a3,a为极大线性无关组 注:用初等变换求向量组的极大无关组时,一定要将向量组按列 摆放成矩阵,并做初等行变换,简称作“列摆行变换”;或按行摆 放成矩阵,但要做列变换,即“行摆列变换”若仅仅只是求向量组 的秩,怎样摆放,作怎样的初等变换都无所谓,结果是一样的
经若干次初等变换后，有 . 0000 4000 0100 2110 1221 ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ − − →→ λ A 行变换 ,, ,, 3 . 43)(,,, 4 431321 4321 秩为 ， 或 为极大线性无关组 故当 ＝ 时， ，向量组线性相关， αααααα λ r(α ααα = Ar) = < 注：用初等变换求向量组的极大无关组时，一定要将向量组按列 摆放成矩阵，并做 初等行变换，简称作“列摆行变换”；或按行摆 放成矩阵，但要做列变换，即“行摆列变换”. 若仅仅只是求向量组 的秩，怎样摆放，作怎样的初等变换都无所谓，结果是一样的
例2设向量组a1=(1,1,3),a2=(-a,-1,2,3,ax3=(1,2a-1,3,7 a4=(-1,-1,a-1,-1)的秩为3,求a 解设A=(ax1,a2a3,O1)= 0a-12a 对A作初等行变换,有A→ 0a+22 a 03a+342 若a=1,则A化为
. 3 )1 1 1 1( 2 )7 3 12 1()3 2 1 ()3 1 1 1( 4 1 2 3 a a a a ，，， 的秩为 ，求 例 设向量组 ，，，， ，，，，，，，， −−−−= = = − − = − α α α α , 1733 1321 11211 111 ),,,( 4321 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − −−− − − = = a a a 设解 A αααα . 24330 220 02210 1 11 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + −− − − → a a a aa a 对 A作初等行变换，有A 若 = Aa 1 化为，则
0000 03 A 0321 00 200 0642 00 此时r(4)=2,不合题意,故a≠,于是 a 0120 A→ C,<>C 0a+22a 02a+2 03a+342 043a+32
. 0000 0000 1230 1111 2460 1230 0000 1111 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− A → 此时 Ar = 2)( ，不合题意，故 a ≠1 ，于是 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + −− → 24330 220 0210 1 11 a a a a A 32↔cc ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + −− 23340 220 0120 11 1 a aa a
0 00a+1 003a+12 a+1 r(01,a2,a32a4)=3<>r 3a+12 a+1 B3a 2=0 3a+1 但a≠1,因此<>a 3·故当=2 3时,r(a12a2a32a4)=3 2.利用向量组的等价求向量组的秩
. 21300 100 0120 11 1 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ ++ −− → a aa a ⇔=⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ ++ ⇔= 1 213 1 3,,, 4321 a aa r(α ααα r) ,023 213 1 2 =−−= + + aa a aa .3),,,( 32 . 32 1 但 a ≠ ，因此 a −=⇔ 故当a −= 时，r αααα 4321 = 2.利用向量组的等价求向量组的秩
例3已知向量组 (A)a12a2…,a; (B)a12a2 (C)a12a2,…,3,y 若各向量组的秩分别为r(A)=r(B)=,r(C)=S+1 求向量组a1,a2…a、2y-角的秩 解由题设知,a1,a2…,a,线性无关,而ax,a2…,an,B 线性相关,故B可由a1,a2…,an线性表示,设表示式为 B=ka+k,a,+.+ ka 则y-B=y-ka1-…-ka2,从而a1,a2…,a,y-B
例 3 已知向量组 .,,,, )( ,,,, )( ,,, )( 21 21 21 γααα βααα α α α s s s C B A L L L ； ； .,,,, ,1)(,)()( 求向量组 s21 的秩 若各向量组的秩分别为 − βγααα +=== L sCrsBrAr 线性相关，故 可由 线性表示，设表示式为 解 由题设知， 线性无关，而 ,,, ,,, ,,,, 21 21 21 s s s αααβ α α α α α α β L L L , 2211 ss β = α + α +L+ kkk α , 11 ss 则γ − β γ −= α −L− kk α ,,,, 从而α α 21 L α s γ − β
可由a1a2…,a2y线性表示 又y=B+(y-B)=ka1+k2a2+…+k,a+(y-B) 故a1,a2,…,a,y可由a1,a2…,a、,y-B线性表示,因此 a2…ay,y-β与a1a2…an,y等价,故 r(a1,a2,…ax2y-B)=r(1,2…,a32y)=S+1 例4设向量组:a…,an与向量组I:月2…,B的秩 相同,且向量组I可由向量组I线性表示,证明向量组I 与向量组等价
. ,,,, 可由 α α 21 L α s γ 线性表示 )( ),( 又 γ = β + γ − β = α + α 2211 + L + kkk α ss + γ − β 与 等价，故 故 可由 线性表示，因此 ,,,, ,,,, ,,,, ,,,, 21 21 21 21 γαααβγααα α α α γ α α α γ β s s s s L L L L − − .1),,,,(),,,,( r α α 21 L α s γ − β = r α α 21 L α s γ = s + .II II I I 4 ,,II ,,I 1 1 与向量组 等价 相同，且向量组 可由向量组 线性表示，证明向量组 例 设向量组 ： L αα m 与向量组 ： L ββ n 的秩
B1 证记A=:,B= 设r(A)=r(B)=s,an2…,an为向量组I的极大无关组, Bn…,B为向量组Ⅲ的极大无关组 由题设月12…,B可由an2…,an线性表示,设表示式为 C
. 1 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m n A B β β α α 记证 ， MM II ,, . I ,,)()( 1 1 为向量组 的极大无关组 设 ， 为向量组 的极大无关组， j js i is sBrAr ββ αα L == L 由题设 β j1 L β js 可由 αi1 L αis ,, ,, 线性表示，设表示式为 , 1 1 1 11 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ is i s ss s js j aa aa α α β β M L MM L M
设A B=:,K=(an)x,则B1=K4 由=r(B1)=r(K4)≤r(K)知:r(K)≥S,但显然有r(K)≤s 故r(K)=,即K为可逆阵,故有A1=KB,即a12…,an 可由B…B线性表示,从而an1…,a与Bn…,B等价 由极大无关组与原向量组的等价性得ax1…,an与 B2…,B等价 注:1.两向量组的秩相同,不能断言两向量组等价,但附加 定的条件后可以等价.因此,读者应注意:向量组的等价仅由 秩相等是不够的,这一点与矩阵等价不一样
. )( 11 1 1 1 A1 B ssij KABaK js j is i = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 设 = ， ， × ，则 β β α α M M )( )()()( ,)( 1 1 由 = = ≤ 知： ≥ sKrKrKArBrs ，但显然有 ≤ sKr ,, . ,, ,, )( ,, 1 1 1 1 1 1 1 可由 线性表示，从而 与 等价 故 ，即 为可逆阵，故有 ，即 j js i jis js KsKr BKA i is ββ ββαα αα L L L = = − L . ,, ,, 1 1 等价 由极大无关组与原向量组的等价性得 与 n m ββ αα L L 注：1. 两向量组的秩相同，不能断言两向量组等价，但附加一 定的条件后可以等价. 因此，读者应注意：向量组的等价仅由 秩相等是不够的，这一点与矩阵等价不一样
2.在例4中,因为m与n不一定相同,但两向量组的秩相等,故 取极大无关组来做.实际上,此题若不利用极大无关组是很难证 出来的.因此,在讨论向量组的问题时,可取其极大无关组为讨 论对象 3利用向量组解决有关矩阵的问题 例5设A为m×s矩阵,B为sXn矩阵证明 r(AB)smin(r(a), r(B) 证设A的列向量组为a12a2…,a,即A=(a12a2…a) B=(b)n,设C=AB且C的列向量组为%,y2…”则有 2n 6. b 2
2. 在例4中，因为 m 与 n 不一定相同，但两向量组的秩相等，故 取极大无关组来做. 实际上，此题若不利用极大无关组是很难证 出来的. 因此，在讨论向量组的问题时，可取其极大无关组为讨 论对象. 3.利用向量组解决有关矩阵的问题 为设例 × 矩阵， 为 × nsBsmA . 5 证明矩阵 ≤ BrArABr )}.(),(min{)( ),,,,( ,,, 设证 A的列向量组为α α 21 L αs，即 A = α α 21 L αs = ×nsij 设 = 且CABCbB .)( 的列向量组为γ γ 21 L,,, γ n，则有 ( )( ) ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = = ss snnn n s bbb bbb bbb C L MMM LL L L 21 2221 2 1211 1 21 21 ,,,,,, αααγγγ