线性方程组 基本概念题 例1设齐次线性方程组As3X=0仅有零解,求r(4 解方程组中未知量个数n=3,又方程组AX=0有惟 零解,所以r(A)=n,故r(A)=3 例2设n元非齐次线性方程组AX=b有解,其中A为 (n+1)×n矩阵,求A(A为A的增广矩阵) 解因为AX=b有解,故r(4)=r(4)≤n<n+1,从而|A=0
线性方程组 一 . 基本概念题 1 0 ).( 例 设齐次线性方程组 35 XA = 仅有零解，求 Ar × .3)( )( 3 0 = = = = ArnAr n AX 零解，所以 ，故 解 方程组中未知量个数 ，又方程组 有惟一 (|| )1( ). 2 矩阵，求 为 的增广矩阵 设例 元非齐次线性方程组 有解，其中 为 nn AAA n bAX A ×+ = 解 因为 = bAX 有解，故 nnArAr +<≤= ，从而 A = .0|| 1)()(
kx+y+z=0, 例3若x+ky-z=0,有非零解,求k 2x-y+z=0 解因为AX=0有非零解,所以r(A)<n=3,又 k11 A=1k-1,故有|4=0,解得k=1或k=4 2-1 例4设四元非齐次线性方程组AX=β的系数矩阵A的秩 为3,m,n2n3是它的三个特解,且m=(2,345),m2+m3 =(1,2,34),求AX=B的通解
. 2 0 ,0 ,0 3 k zyx zkyx zykx 若例 有非零解，求 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+− =−+ =++ .4 1 0|| 112 11 11 0 3)( = == ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − = − = =< k A kk k A AX nAr ，故有 ，解得 或 解 因为 有非零解，所以 ，又 . )4,3,2,1( ,,3 )5,4,3,2( 4 321 1 32 ，求 的通解 ，为 是它的三个特解，且 ， 例 设四元非齐次线性方程组 的系数矩阵 的秩 β ηηη η ηη β = = = + = AX AX A T T
解因为n=4,r(A)=3,故AX=0的基础解系含一个向量 又:=n_12+1=(2,,)或5=2n-(h 72)=(3456) 为AX=0的解,从而为AX=0的一个基础解系, 所以方程组AX=0的通解为 7+k2=(2,345)+k(,2,,3)y,k∈C 或 (2,34,5)+k(3,4,5,6),k∈C 二.求解线性方程组 1.求AX=0的通解或基础解系
解 因为 = ， Arn = ，故 AX = 0 3)(4 的基础解系含一个向量. 0 0 )6,5,4,3()(2 )3, 2 5,2, 2 3 ( 2 321 32 1 为 的解，从而为 的一个基础解系， 又 或 = = = =+−= + −= AX AX T T ηηηξ η η ηξ .,)6,5,4,3()5,4,3,2( ,)3, 2 5,2, 2 3()5,4,3,2( 0 11 1 1 k Ck k k Ck AX T T T T + ∈ =+ + ∈ = 或 所以方程组 的通解为 ξη 二. 求解线性方程组 1. 求 AX=0 的通解或基础解系
步骤: (1)写出系数矩阵A并对其作初等行变换化为行最简形式(同时得 到κ(A),这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数); (2)由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程 得; 对自由未知量赋值,求出基础解系(有几个自由未知量,就应 赋几组值,将其视为向量组,它们是线性无关的) 2.求AX=b的通解 步骤: (1)写出增广矩阵A并用初等行变换将其化为行最简形式,求出 r(4)及r(A,判断是否有解当有解时,则 (2)由行最简形式写出同解方程组,求出AX=0的基础解系及AX=b 的一个特解; (3)写出通解
步骤： (1) 写出系数矩阵 A 并对其作初等行变换化为行最简形式（同时得 到 r(A)，这样也就可以确定基础解系所含解向量的个数）； (2) 由行最简形式确定自由未知量并写出与原方程组同解的方程 组；(3) 对自由未知量赋值，求出基础解系（有几个自由未知量，就应 赋几组值，将其视为向量组，它们是线性无关的）. 2. 求 AX=b 的通解 及 ，判断是否有解 当有解时，则 写出增广矩阵 并用初等行变换将其化为行最简形式，求出 步骤： )( )( . )1( ArAr A (2) 由行最简形式写出同解方程组，求出 AX=0 的基础解系及 AX=b 的一个特解； (3) 写出通解
2x1-x2+4x2-3x1=-4 例5求解方程组x+x一x=3 3x1+x2+x3-2x4=-11 7x,+x+5x2-6x1=-23 4 4-3:-4 01-1 01-21:-2 解A= 行变换 0000:0 715-6:-23 0000:0 故r(A)=r(4)=2,方程组有无穷多解且导出组的基础解系 含4-2=2个解向量 对应的同解方程组为
⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ −=−++ −=−++ −=−+ −=−+− .23657 ,112 3 ,3 ,4342 5 4321 4321 1 43 4321 xxxx xxxx xxx xxxx 例 求解方程组 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ −− −− −− −−− = 236517 112113 31101 43412 MMMM 解 A ， － －－－ 行变换 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ 00000 00000 21210 31101 MMMM . 224 2)()( 含 个解向量 故 ，方程组有无穷多解且导出组的基础解系 =− ArAr == 对应的同解方程组为
x1 x+x X-X 2 取x3=x4=0,得特解n*=(-3,-2,0,0 取 故 ,从而导出组的 基础解系为51=(-1,2,0)y,2=(12-1,0,1) 方程组的通解为*+k1+k22k1,k2为任意常数 注:1.在求解线性方程组时,一定要将系数矩阵或增广矩阵化为 行最简形式,这样有利于求解 2.根据同解方程组(*)式写导出组的基础解系时,不要将常数 加进去
* ）（ .22 ,3 432 431 ⎩ ⎨ ⎧ −−= −+−= xxx xxx .)0,0,2,3(* 0 43 T 取 xx == ，得特解 η −−= .)1,0,1,1( ,)0,1,2,1( 1 1 2 1 1 0 0 1 1 2 2 1 4 3 T T x x x x −= −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 基础解系为 ξ ξ 取 ， ，故 ， ，从而导出组的 * ,, . 方程组的通解为 η + ξ + ξ kkkk 212211 为任意常数 注：1. 在求解线性方程组时，一定要将系数矩阵或增广矩阵化为 行最简形式，这样有利于求解. 2. 根据同解方程组（ *）式写导出组的基础解系时，不要将常数 加进去
特殊方程组的求解 例6设A=(an)n是实正交阵,且a1=1,b=(10,…0)7 求方程组AX=b的解 解由于A=(an)xn为正交阵,故r(4)=m,所以方程组 AX=b有惟一解.又an=1,由正交阵的定义知: 100 o a A 22C 2n 0 nn 方程组为:
三. 特殊方程组的求解 . )( 6 ,)0,,0,1(1 11 求方程组 的解 设例 是实正交阵，且 ， bAX aA ba T nnij = = × == L 有惟一解 又 ，由正交阵的定义知： 解 由于 为正交阵，故 ，所以方程组 1 . )( )( = = = × = n nnij bAX a aA nAr , 0 0 0001 32 2322 2 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = nn nnn aaa aaa A L MMMM LL 方程组为：
a2xX2+…+a ann a.x+…+a.x.=0 故n=(10…,0)为其全部解 例7求x1+2x2+3x3+…+mxn=0的基础解系,并求 x+2x,+3x2+…+nx,=1的全部 3解 解4=(123…n)故r(4)=1,方程组的基础解系 含n-1个解向量 因为x=-(2x2+3x3+…+mxn),取
⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ =++ =++ = .0 ,0 ,1 22 222 2 1 n nnn nn xaxa xaxa x L LL L 故 )0,,0,1( 为其全部解. L T η = 32 . 1 32 7 0 321 321 的全部解 求例 的基础解系，并求 =++++ + + + + = n n nxxxx nxxxx L L ( ) . 1 321 1)( 含 个解向量 解 ，故 ，方程组的基础解系 − = = n A L Arn 因为 1 −= + 32( 32 +L+ nxxxx n )，取
0 0 0为一个基础解系 0 显然n*=(1,0,…0)是x1+2x2+3x3+…+mxn=1的 特解,其全部解可表示为 7*+k51+…+k215n1,k∈C,i=1,2,…,n
, 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 3 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ M L M MM n x x x . 1 0 0 ,, 0 1 0 3 , 0 0 1 2 则 1 2 1 为一个基础解系 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = M L MM n ξξ ξ n- 特解，其全部解可表示为 显然 η = L T 是 32 ,0)(1,0,* 321 L nxxxx n =++++ 1的一个 * .1,,2,1,, η + ξ 11 + L + ξ −− 11 inn ∈ = L niCkkk −
1-2100 例8已知B 23-20的行向量都是齐次线性方程组 32 的解向量试求方程组的一个基础解系 0122 0000 5433 解记方程组的系数矩阵为A,并求得r(A)=2,故基础解系 含5-2=3个解向量.又r(B)=3,且第一、二、四行的向量 构成向量组的一个极大无关组,即51=(,-2,10,0),2=(1-2, 00),53=(5,-60.0,1)线性无关,又都是方程组的解
. . 0 0 0 0 13345 62210 31123 11111 10065 02321 01021 00121 8 5 4 3 2 1 的解向量 试求方程组的一个基础解系 例 已知 的行向量都是齐次线性方程组 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − − = x x x x x B 线性无关，又都是方程组的解， 构成向量组的一个极大无关组，即 含 个解向量 又 ，且第一、二、四行的向量 解 记方程组的系数矩阵为 ，并求得 ，故基础解系 )1,0,0,6,5(,)0,1,0 ,2,1(,)0,0,1,2,1( 3)( . 325 2)( 3 1 2 T T T Br A Ar −= −= −= =− = = ξ ξ ξ