“我想我就在这里结束 即使埃斯库罗斯Φ被人们遗忘了,阿基米德仍会 被人们记住,因为语言文字会消亡而数学概念却不会。 不朽”可能是个缺乏理智的用词,但是或许数学家最 有机会享用它,无论它意味着什么。 —GH·哈代② 1993年6月23日,剑桥 这 是本世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家被惊呆 了。他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上密密麻麻 的希腊字母和代数式所表达的意思。其余的人来这儿纯粹是为 了见证他们所期待的也许会成为一个真正具有历史意义的时 刻 早些日子已有谣传。国际互联网上的电子邮件已经暗示人 们这次讲座将会以解决费马大定理这个最有名的数学问题而达 到高潮。此类闲话并不罕见。关于费马大定理的话题在茶会上 常有所闻,数学家们会猜测某人可能正在做某种研究。有时候, 大学高年级教师的公共休息室里关于数学的议论会使这种猜测 成为某种突破的谣传,但是这种突破还从未成为现实。 这一次的谣传则完全不同。一位剑桥研究生是如此地确信
它是真的,以至他马上到赌注登记经纪人那里用10英饼打赌费 马大定理在一周内将被解决。然而,经纪人感到事情不妙,拒绝 接受他的赌注。这已是那天到这个经纪人处洽谈的第五个学生 了,他们都要求打同一个赌。费马大定理已经困惑了这个星球 上最具才智的人们长达三个世纪以上,可是现在甚至赌注登记 经纪人也开始觉得它已经到了被证明的边缘。 现在,三块黑板上已经写满了演算式,讲演者停顿了一下。 第一块黑板被擦掉了,再写上去的是代数式。每一行数学式子 似乎都是走向最终解答的微小的一步。但是30分钟之后,讲演 者仍然没有宜布证明。教授们坐满了前排的坐位,焦急地等待 着结论。站在后面的学生们则向他们的老师寻求可能会有何种 结论的暗示。他们是正在看费马大定理的完整的证明呢,还是 讲演者仅仅在概要地叙述一个不完整的虎头蛇尾的论证? 讲演者是安德鲁·怀尔斯( Andrew wiles),一个缄默寡言的 英国人。他在80年代移民到美国,在普林斯顿大学任教授。在 普林斯顿,他享有很好的声誉,被认为是他这一代人中最有天才 的数学家之一。然而,近几年来,他几乎从每年举行的各种数学 会议和研讨会中消失了,同事们开始认为怀尔斯已经到尽头了。 杰出的年轻学者过早地智衰才尽的例子并不少见,数学家艾尔 弗雷德·阿德勒( Alfred Ader)曾经指出过这一点:;“数学家的数 学生命是短暂的,25岁或30岁以后很少有更好的工作成果出 现。如果到那个年龄还几乎没有什么成就,那就不再会有什么 D埃斯库罗斯( Aeschylus,公元前约525—前456),古希腊三大悲剧作家之 译者 ②哈代(GH.Hady,1877-1947),英国数学家。—译者
成就了。” “年轻人应该证明定理,而老年人则应该写书。”GH·哈代 在他的《一个数学家的自白( A Mathematician’ s Apology)一书 中说道,“任何数学家都永远不要忘记:数学,较之别的艺术或科 学,更是年轻人的游戏。举一个简单的例子,在英国皇家学会会 员中,数学家的平均当选年龄是最低的。”他自己最杰出的学生 斯里尼瓦萨·拉马努金( Srinivasa Ramanujan)当选为英国皇家学 会会员时年仅31岁,却已在年轻时做出了一系列卓越的突破性 工作。尽管在南印度的库巴康纳姆他的家乡小镇上只受过很少 的正规教育,拉马努金却能够创立一些西方数学家都被难倒的 定理和解法。在数学中,随着年齡而增长的经验似乎不如年轻 人的勇气和直觉来得重要。当拉马努金将他的结果邮寄给哈代 时,这位剑桥的教授深为感动,并邀请他放弃在南印度的低级职 员的职业来三一学院工作;在三一学院他将能与一些世界上第 流的数论专家互相切磋。令人伤心的是拉马努金忍受不了东 英吉利严酷的冬天,他患上了肺结核病,在33岁时英年早逝。 另外有些数学家也同样有辉煌但短促的生涯。19世纪挪 威的尼尔斯·亨里克·阿贝尔( Niels henrik abe)在19岁时就作 出了他对数学的最伟大的贡献,但由于贫困,8年后就去世了 也是死于肺结核。查尔斯·埃尔米特( Charles hermite)①这样评 价他:“他留下的思想可供数学家们工作500年。”确实,阿贝尔 的发现对今天的数论学者仍有深远的影响。与阿贝尔同样有天 赋、同时代的埃瓦里斯特·伽罗瓦( Evariste Galois),也是在十几 岁时作出了突破性的工作,而去世时年仅21岁。 ①埃尔米特(1822-1901),法国数学家。一译者
这些例子并不是用来表明数学家会过早地、悲剧性地离开 人间,而是要说明他们的最深刻的思想通常在他们年轻时就已 形成,正如哈代曾经说过的,“我从未听说过数学方面由年过五 十的人开创的重大进展的例子。”中年数学家常常退居二线,把 他们以后的岁月用于教学或行政工作,而不是用于研究。安德 鲁·怀尔斯的情形则截然相反。虽然已经到达40岁的壮年,他 却将最近的7年光阴十分保密地花在研究工作中,试图解决这 独一无二的最伟大的数学问题。当别人猜想他也许已经才能枯 竭时,怀尔斯却正在取得极大的进展,创造了新的方法和工具, 这些正是他现在准备向世人公布的。怀尔斯决定绝对地孤军奋 战是一种高风险的策略,这种策略在数学界中前所未闻。 任何大学里的数学系在所有的系中都是保密程度最低的, 因为那里没有属于专利的发明。数学界为自己能坦率和自由地 交流思想而感到自豪。喝茶休息时间已经演变成一种日常程 序,在这段时间里人们不仅享用饼干咖啡,更重要的是分享和探 讨种种想法。其结果,由几个作者或一组数学家共同发表的论 文越来越常见,荣誉也随之而被平等地分享。然而,如果怀尔斯 教授已真正发现了费马大定理的完整和正确的证明,那么数学 中这个最为人渴望的奖赏就属于他的了,并且只属于他一个人。 为了保密,他必须付出的代价是在此之前不能与数学同行讨论 或检验他的任何想法,因而他就有相当大的可能犯某种根本性 错误。 按理想的做法,怀尔斯本希望能花更多的时间审查他的工 作,以便全面地核对他最后的手稿。然而,当时出现了难得的在 剑桥的牛顿研究所宣布他的发现的机会,他放松了戒心。牛顿 研究所存在的唯一目的是将世界上一些最优秀的学者聚集在
起,呆上几个星期,举办由他们所选择的前沿性研究课题的研讨 会。大楼位于大学的边缘,远离学生和其他分心的事,为了促进 科学家们集中精力进行合作和献策攻关,大楼建筑设计也是特 殊的。大楼里没有可以藏身的有尽头的走廊,每个办公室都朝 向一个位于中央供讨论用的厅堂,数学家们可以在这个空间切 磋研究,办公室的门是不允许一直关上的。在研究所内走动时 的合作也受到鼓励——甚至电梯(它只上下三层楼面)中也有 块黑板。事实上,大楼的每个房间(包括浴室)都至少有一块黑 板。这一次,牛顿研究所举行的研讨会的题目是“L-函数和算 术”。全世界最优秀的数论家聚集在一起讨论纯粹数学中这个 非常专门的领域中有关的问题,但是只有怀尔斯意识到L一函 数可能握有解决费马大定理的钥匙 虽然他被有机会向这样一群杰出的听众宣布他的工作这 点所吸引,但要在牛顿研究所宣布的主要原因还在于这个研究 所位于他的家乡剑桥。这里是怀尔斯出生的地方,正是在这里 他长大成人,形成了他对数的强烈爱好,也正是在创桥他偶然碰 到了那个注定会支配他以后生活的数学问题。 大问题 在1963年,当时10岁的安德鲁·怀尔斯已经着迷于数学 了。“在学校里我喜欢做题目,我把它们带回家,编写成我自己 的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们的地区图书 馆发现的。” 天,当他从学校漫步回家时,小怀尔斯决定到弥尔顿路上 的图书馆去。与大学里的图书馆相比,这里的图书相当匮乏,但
它却藏有大量智力测验的书籍,正是这些书籍常常引起安德鲁 的注意。这些书中含有各种难解的科学难题和数学之谜,而每 个问题的解答可能会扼要地展示在最后几页的某个地方。但是 这一次安德鲁被一本书吸引住了,这本书只有一个问题而没有 解答。 这本书就是埃里克·坦普尔·贝尔( Eric Temple bel)写的 大问题)( The Last problem),它叙述了一个数学问题的历史, 这个问题的根子在古希腊,但是达到成熟是在17世纪。正是在 那个时候,伟大的法国数学家皮埃尔·德·费马( Pierre de fer mat)于无意之中使它成了此后岁月中的一个挑战性问题。费马 遗留下来的这个难题使一个又一个大数学家望而生畏,长达 300多年还没有人能解决它。数学中还有许多别的未解决的问 题,但是费马问题表面上的那种简明易懂使它成为一个非常独 特的问题。在与第一次读贝尔的描写相距30年之后的今天,怀 尔斯告诉我他在被引向费马大定理的那个时刻的感受:“它看上 去如此简单,但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正 摆着一个我一一个10岁的孩子—一能理解的问题,从那个时 刻起,我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。” 这个问题看上去如此简易,因为它立足于人人都能记住的 段数学术语—毕达哥拉斯( Pythagoras)定理o: 在一个直角三角形中,斜边的平方等于两直角边的平 方之和。 ①亦称勾股定理、商高定理。—译者
作为这段毕氏歌谣的结果,这个定理已深深刻印在不说是上亿 人也有数以百万计的人的脑海中。它是每个天真无邪的学童必 须要学的基本定理。但是尽管它确实能被10岁的孩子所理解, 毕达哥拉斯的创造却启示了一个问题,这个问题曾经挫败了历 来最伟大的数学智者们。 萨摩斯岛( Samos)的毕达哥拉斯是数学史上最具影响但又 是最神亵的人物之一。由于没有关于他的生活和工作的第一手 资料,他被笼罩在神秘和传说之中,使得历史学家们难以分清事 实与虚构。似乎可以肯定的一件事是毕达哥拉斯发展了关于数 字的逻辑的思想,并且对数学发展的第一个黄金时期功不可没 由于他的天才,数不再是仅仅用来记帐和计算,其本身的价值受 到了重视。他研究了一些特殊的数的性质、它们之间的关系以 及它们的组成方式。他认识到数独立于有形世界而存在,因而 他们的研究不会因感觉的差错而受影响。这意味着他能够发现 独立于人们的印象或者说偏见的真理,这种真理比以前的任何 知识更为绝对无疑。 生活在公元前6世纪,毕达哥拉斯的数学技能得益于他走 遍了整个古代世界。某些传说使我们相信他的足迹曾远及印度 和英国,但更为可靠的是他从埃及人和巴比伦人那里学到了许 多数学技能和工具。这两个古老的民族当时已经超越了简单计 数的范围而能够进行复杂的计算,这使他们能建立复杂的记帐 系统和建造独具匠心的建筑物。事实上,他们将数学看成仅仅 是解决实际问题的一种工具;在发现几何学的某些基本规则的 背后,其动机是为了能重建田地的边界,这些边界在尼罗河每年 泛滥时常被毁掉。几何学这个词本身意指“测量土地”。 毕达哥拉斯注意到,埃及人和巴比伦人按照一种无需思索
就能仿效的方法进行计算。这种可能已经沿袭了许多代人的方 法总能给出正确的答案,因而没有人会费神去怀疑这种方法,或 者去寻求隐藏在这些式子背后的逻辑。对这些文明古国来说, 重要的是计算有效—至于它为什么有效则是无关紧要的。 经历20年的周游后,毕达哥拉斯已经吸收了他所知的那个 世界中所有的数学法则。他扬帆起航回到他的家乡爱琴海中的 萨摩斯岛,打算建立一所学校致力于哲学研究,特别是研究他新 近获得的一些数学法则。他想要理解数字,而不是仅仅使用它 们。他希望找到一大群思想无拘束的、能帮助他发展本质上全 新的哲学的学生,但是在他外出期间,僭王波利克拉特斯(Poly crates)已经把曾经是自由的萨摩斯岛变成了一个不容异说的保 守的社会。波利克拉特斯邀请毕达哥拉斯加入他的宫廷,但是 哲学家意识到这是一种策略,目的是使他保持沉默,于是拒绝了 这份荣耀。相反,他离开了城市,选择了该岛边远地区的一个山 洞,在那里他可以冥思苦想而不用害怕受迫害。 毕达哥拉斯并不喜欢孤独,最终他花钱使一个小男孩成为 他的第一名学生。这个男孩的身份不甚清楚,但有些历史学家 认为他的名字可能也叫毕达哥拉斯。这名学生后来是第一个建 议运动员应该吃肉以增强自己体质的人,并因此而出名。老师 毕达哥拉斯要为他的学生出席的每一节课付给他3个小银币。 几个星期过去后,毕达哥拉斯注意到该男孩最初的对学习的勉 强已转变成对知识的热情。为了试探他的学生,毕达哥拉斯佯 装他不再有能力支付学生金钱,因而只能停止上课。这时候,男 孩表示宁可付钱受教育也不愿就此结束。这个学生已经成为他 的信徒。遗憾的是,这是毕达哥拉斯在萨摩斯仅有的一次使人 成功皈依。他的确曾经短暂地办过一所学校,称为毕达哥拉斯 8
半圆,但是他关于社会改革的观点不受欢迎,哲学家被迫与他的 母亲和唯一的信徒一起逃离这块殖民地。 毕达哥拉斯动身去意大利南部(当时那里是希腊的属地), 并定居于克罗敦( Groton)。在那里他幸运地得到了米洛(Milo) 的理想的赞助,米洛是克罗敦最富有的人,也是历史上最强壮的 人之一。虽然毕达哥拉斯作为萨摩斯的哲人已经闻名全希腊, 但米洛的声望更高。米洛有着大力神赫丘利( Herculean)般的 身材,曾经是奥林匹亚竞技会和皮托竞技会有12次记录的冠 军。除了练习运动外,米洛还喜欢研究哲学和数学。他留出他 家的一部分房子,供给毕达哥拉斯足够的房间来建立学校。于 是,最有创造性的头脑和最有力量的身躯结成了伙伴关系 安置好他的新家后,毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯兄弟会 一个有600名迫随者的帮会,这些人不仅有能力理解他的 讲课,而且还能补充某些新的想法和证明。一旦参加兄弟会后, 每个成员就必须将他们尘世间的一切财产捐献绐公共基金。任 何成员如果离开该会,那么他们可收到相当于他们最初捐献的 两倍的财产,并为他们竖立一块碑以志纪念。兄弟会是一个 奉行平等主义的学派,吸收了几名姐妹参加。毕达哥拉斯最喜 欢的学生是米洛的女儿,美丽的西诺( Theano)。尽管年龄相差 不少,他们最终还是结婚了。 建立兄弟会后不久,毕达哥拉斯撰造了一个名词“哲学家” ( philosopher),与此同时规定了他的学派的目标。在一次出席 奥林匹亚竞技会时,弗利尤斯(Phus)的利昂(Leon)王子问毕达 哥拉斯他会如何描述他自己,毕达哥拉斯回答道:“我是一个哲 学家。”但是利昂以前没有听说过这个词,因而请他解释
利昂王子,生活正好比这些公开的竟技会。在这里聚 集的一大群人中,有些人受奖励物的诱惑而来,另一些人则 因对名誉和荣耀的企求和受野心的驱使而来,但他们中间 也有少数人来这里是为了观察和理解这里发生的一切。 生活同样如此。有些人因爱好财富而被左右,另一些 人因热衷于权力和支配而盲从,但是最优秀的一类人则献 身于发现生活本身的意义和目的。他设法揭示自然的奥 秘。这就是我称之为哲学家的人。虽然没有一个人在各方 面都是很有智慧的,但是他能热爱知识,视其为揭开自然界 奥秘的钥匙。 虽然许多人知道毕达哥拉斯的抱负,但兄弟会圈外的人都 不知道他成功的详情和程度。该学派的每个成员被迫宣誓永不 向外界泄露他们的任何数学发现。甚至在毕达哥拉斯死后,还 有一个兄弟会成员因为背弃了誓言而被淹死——他公开宣布发 现了一种由12个正五边形构成的新的规则立体:正十二面体。 毕达哥拉斯兄弟会的高度秘密性质是为何一些神话故事围绕着 他们可能举行过的奇异仪式来展开情节的部分原因;同样,这也 是为什么关于他们的数学成就的可靠记载如此之少的原因。 可以确认的是毕达哥拉斯缔造了一种社会精神,它改变了 数学的进程。兄弟会实际上是一个宗教性社团组织。他们崇拜 的偶像之一是数,他们相信,通过了解数与数之间的关系,他们 能够揭示宇宙的神圣的秘密,使他们自己更接近神。特别是,兄 弟会将注意力集中于“计数数”(1,2,3,…)和分数的研究。计数 数有时也叫“整数”,它们与分数(整数之间的比)一起可称之为 有理数”。在这无穷多个数中间,兄弟会寻找那些有特殊重要 10