华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.3.4）定理4（函数极限与数列极限的关系）

今定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果当x>x时fx)的极限存在,{xn}为fx)的定义域内任 收敛于x0的数列,且满足xn≠x(n∈N),那么相应的函数值数列 (xn)}必收敛,且 lim f(n)=lim f(x) n→0 x→>x 证明设(x)→>4(x-x则E0,380,当0∞)故对&0,N∈N,当m>M时,有 ln-xoko 由假设,x1,≠x(n∈N.故当mN时,0<xn-xk8,从而 V(n-Ak8 即 lim f(mn=lim f(x) 上页 下页

上页 返回 下页 ❖定理4(函数极限与数列极限的关系) 如果当x→x0时f(x)的极限存在 {xn }为f(x)的定义域内任一 收敛于x0的数列 且满足xnx0 (nN+ ) 那么相应的函数值数列 {f(xn )}必收敛且 lim ( ) lim ( ) 0 f x f x x x n n→ → =  设f(x)→A(x→x0 )则0 0 当0|x−x0 | 时 有 |f(x)−A|  又因为xn→x0 (n→) 故对0 NN+  当nN时 有 |xn−x0 |  由假设 xnx0 (nN+ )故当nN时 0|x n−x 0 |  从而 |f(x n )−A|  证明 lim ( ) lim ( ) 0 f x f x x x n n→ → 即 = 