华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.5）极限运算法则

§1.5极限运算法则 无穷小的性质 ☆极限的四则运算法则 自

❖无穷小的性质 ❖极限的四则运算法则 §1.5 极限运算法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃

无穷小的性质 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 证明仅就两个x>x时的无穷小情形证明. 设a及B是当x>x时的两个无穷小,则E>0, 81>0,当00,当04xx0k2时,有/x0时的无穷小 举例:当x→>0时,x与sinx都是无穷小,所以x+sinx也是当 x→>0时的无穷小 百贝贝返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证明 设及是当x→x0时的两个无穷小 则 0 10 当0|x−x0 |1 时 有||  20 当0|x−x0 |2 时 有||  取 =min{1  2 } 则当0|x−x0 |时 有 这说明+ 也是当x→x0时的无穷小 |+|||+||2  •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 仅就两个x→x0时的无穷小情形证明 举例: 当x→0时 x与sin x都是无穷小 所以x+sin x也是当 x→0时的无穷小 下页

◆无穷小的性质 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明设函数在x0的某一去心邻域{x(0x时的无穷小,即∨>0,存在2>0,使当 0x时的无穷小 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数u在x0的某一去心邻域{x|0|x−x0 | 1 }内 有界 即M0 使当0|x−x0 |1时 有|u|M 又设是当x→x0时的无穷小 即0 存在20 使当 0|x−x0 |2时 有||  取=min{1  2 } 则当0|x−x0 | 时 有 |u|=|u|||M  这说明u 也是当x→x0时的无穷小 证明 •定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 下页

◆无穷小的性质 定理1有限个无穷小的和也是无穷小 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小 举例:当x∞时,1是无穷小, arctan x是有界函数, 所以 arctan x也是无穷小 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 举例 : 当 x→时 x 1 是无穷小 arctan x 是有界函数 所以 x 1 arctan x 也是无穷小 •推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小 •定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 •定理1 有限个无穷小的和也是无穷小 ❖无穷小的性质 •推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 首页

◆极限的四则运算法则 ●定理3 如果 lim f(x)=A,lmg(x)=B,那么 (1)im[(x)+g(x)=lmf(x)±img(x)=A±B.>> (2 )lim f(x) g(x)=lim f(x). lim g(x=A. B (3)lm f(x) lim f(xA n(B≠0) g(x) lim g(x) b e推论1如果 lim fox)存在,而c为常数,则 limc f(x)=climf(x) 推论2如果imf(x)存在,而n是正整数,则 lieff()]n=[imf(m 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 (2)lim f(x)g(x)=lim f(x)lim g(x)=AB •推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim[cf(x)]=climf(x) •推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n  •定理3 如果 lim f(x)=A lim g(x)=B 那么 下页 ❖极限的四则运算法则 (3) B A g x f x g x f x = = lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim (B0) (1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB >>>

☆数列极限的四则运算法则 ●定理4设有数列{xn}和{yn}.如果 Im B 那么 (1)lm(xn+yn)=A±B; n→)0 (2)lim(n yn)=A. B; n→ (3)当yn≠0(n=1,2,…)且B≠0时 m B 令不等式 定理5如果(x)v(x),而limx)=a,lim(x)=b,那么a>b 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖数列极限的四则运算法则 •定理5 如果j(x)y(x) 而limj(x)=a limy(x)=b 那么ab ❖不等式 (1) xn yn A B n  =  → lim ( )  (2) xn yn A B n  =  → lim ( )  (3)当 0 n y (n=1 2   )且 B0 时 B A y x n n n = → lim  •定理4 设有数列{xn }和{yn } 如果 xn A n = → lim  yn B n = → lim  那么 下页

今求极限举例 例1求im(2x-1) x→)1 解lm(2x-1)=im2x-lim1=2lmx-1=21-1=1 讨论若Px)=ax+a1x1+…+an1x+an,则imP(x)=? x→x 提示imYP(x)=P(x) x→)x 例2求lim x→2x2-5x+3 im(x3-1) 解im-x 2 23-1 x→)2x2-5x+3lim(x2-5x+3)22-10+33 x→>2 提间首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖求极限举例 •讨论 •提示 例 1 求 lim (2 1) 1 − → x x 例1  解 下页 若 n n P(x)=a0 x n +a1 x n−1 +  +a −1 x+a  则 lim ( ) ? 0 = → P x x x lim ( ) ( )0 0 P x P x x x = → >>>  解 lim( 5 3) lim( 1) 5 3 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 − + − = − + − → → → x x x x x x x x x 3 7 2 10 3 2 1 2 3 =− − + − =  例 2 求 5 3 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 例2  解 解  lim( 5 3) lim( 1) 5 3 1 lim 2 2 3 2 2 3 2 − + − = − + − → → → x x x x x x x x x 3 7 2 10 3 2 1 2 3 =− − + − =  提问 lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x lim (2 1) lim 2 lim 1 2 lim 1 2 1 1 1 1 1 1 1 − = − = − =  − = → → → → x x x x x x x 

例3求lmx 9 解 x-3 x-3 x→3x2-9x→3(x-3)(x+3)x3x+3 lim(x+3)6 x→>3 例4求 2x-3 1x2-5x+4 解因为lmnx2-5x+4=12-51+4 2x-3 21-3 根据无穷大与无穷小的关系得 2x-3 x2-5x+4 提间首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 例 3 3 求 9 3 lim 2 3 − − → x x x  解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 6 1 lim ( 3) lim 1 3 3 = + = → → x x x  解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 解 3 1 lim ( 3)( 3) 3 lim 9 3 lim 3 3 2 3 + = − + − = − − → → x x → x x x x x x x 6 1 lim ( 3) lim 1 3 3 = + = → → x x x  解 例 例 4 4 求 5 4 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x  解 0 2 1 3 1 5 1 4 2 3 5 4 lim 2 2 1 =  − −  + = − − + → x x x x  5 4 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x = 根据无穷大与无穷小的关系得 解 0 2 1 3 1 5 1 4 2 3 5 4 lim 2 2 1 =  − −  + = − − + → x x x x  下页 因为 提问

讨论 有理函数的极限lm P(x)=? x→>xQ(x) 提示 当Q(x0)≠0时,lm P(x) P(xo) x→>xQ(x)Q(x) 当Q(x1)=0且P(x)≠0时,Im2=∞ x→>xQ(x) 当Q(x)=P(x0)=0时,约去分子分母的公因式(x-x0) 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 有理函数的极限 ? ( ) ( ) lim 0 = → Q x P x x x •讨论 •提示 当Q(x0 )=P(x0 )=0时 约去分子分母的公因式(x−x0 )  当 ( ) 0 Q x0  时 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 Q x P x Q x P x x x = →  当Q(x0 ) = 0 且 P(x0 )  0 时 = → ( ) ( ) lim 0 Q x P x x x  下页

例5求lm 3x3+4x2+2 x>∞7x3+5x2-3 解先用x3去除分子及分母,然后取极限: 42 3+-+- n3x+4x2+2 Im XX x→07x3+5x2-3 7+ 53-7 XX 例6求lm 3x2-2x-1 x→2x3-x2+5 解:先用x3去除分子及分母,然后取极限: lim 3x2-2x-=lim x R/ 32 0 x→>02x3-x2+5 x→00 1.52 2-+ X X 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 先用x 3去除分子及分母 然后取极限 解 先用x 3去除分子及分母 然后取极限 例 例 5 5 求 7 5 3 3 4 2 lim 3 2 3 2 + − + + → x x x x x  解: 7 3 5 3 7 4 2 3 lim 7 5 3 3 4 2 lim 3 3 3 2 3 2 = + − + + = + − + + → → x x x x x x x x x x  7 3 5 3 7 4 2 3 lim 7 5 3 3 4 2 lim 3 3 3 2 3 2 = + − + + = + − + + → → x x x x x x x x x x  7 3 5 3 7 4 2 3 lim 7 5 3 3 4 2 lim 3 3 3 2 3 2 = + − + + = + − + + → → x x x x x x x x x x  例 例 6 6 求 2 5 3 2 1 lim 3 2 2 − + − − → x x x x x  0 2 0 1 5 2 3 2 1 lim 2 5 3 2 1 lim 3 2 3 3 2 2 = = − + − − = − + − − → → x x x x x x x x x x x 0  2 0 1 5 2 3 2 1 lim 2 5 3 2 1 lim 3 2 3 3 2 2 = = − + − − = − + − − → → x x x x x x x x x x x 0  2 0 1 5 2 3 2 1 lim 2 5 3 2 1 lim 3 2 3 3 2 2 = = − + − − = − + − − → → x x x x x x x x x x x  下页