华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.5.3）定理6（复合函数的极限运算法则）

令定理6(复合函数的极限运算法则) 设函数y=g(x)是由函数y=f()与函数l=g(x)复合而成 fg(x)在点x的某去心邻域内有定义.若g(x)>u(x->x)2 f)->4(->,且在x的某去心邻域内g(x)≠2则 lim fig(x)=lim f(u)=A x-x l->l0 简要证明设在{x00,38>0,当0A(v-)4),g(x)-(x,所以 vE>0,37>0,当00, 彐81>0,当0<kx-x8时,有(x)ok<7 取8min{a,1},则当0<kx-x水洲时,0<g(x)-4o<m,从而有 flg(x]-Affu-Ake 上页 下页

上页 返回 下页 设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)→u0 (x→x0 ) f(u)→A(u→u0 ) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0  则 f g x f u A x x u u = = → → lim [ ( )] lim ( ) 0 0  ❖定理6(复合函数的极限运算法则) 要证 0 0 当0|x−x0 | 时 有|f[g(x)]−A|  因为f(u)→A(u→u0 ) g(x)→u0 (x→x0 )所以  0  0 当0|u−u0 |时 有|f(u)−A| ; 对上述 0 10 当0|x−x0 |1时 有|g(x)−u0 | 取=min{0  1 } 则当0|x−x0 |时 0<|g(x)−u0 | 从而有 |f[g(x)]−A|=|f(u)−A|  设在{x|0|x−x0 |0 }内g(x)u0 简要证明  要证 0 0 当0|x−x0 | 时 有|f[g(x)]−A|  因为f(u)→A(u→u0 ) g(x)→u0 (x→x0 )所以  0  0 当0|u−u0 |时 有|f(u)−A| ; 对上述 0 10 当0|x−x0 |1时 有|g(x)−u0 | 取=min{0  1 } 则当0|x−x0 |时 0<|g(x)−u0 | 从而有 |f[g(x)]−A|=|f(u)−A| 