§10.1对弧长的曲线积分 、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 自
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算 §10.1 对弧长的曲线积分 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、对弧长的曲线积分的概念与性质 ◆曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x,y)处的线密度为(x,y) :把曲线弧L分成n个小段:△s1,△s2,…,As(△As也表示弧长); 任取(5,m)∈Δs,得第小段质量的近似值(2,n)s B 1,71 A △s △S2 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn (si也表示弧长) 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 ❖曲线形构件的质量 下页 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) •任取(i i )si 得第i小段质量的近似值(i i )si
、对弧长的曲线积分的概念与性质 ◆曲线形构件的质量 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上, 已知曲线形构件在点(x,y)处的线密度为(x,y) :把曲线弧L分成n个小段:△s1,△s2,…,As(△As也表示弧长); 任取(5,m)∈Δs,得第小段质量的近似值(2,n)s 整个曲线形构件的质量近似为M≈∑(51m)As 令A=max{△s12△s2,…,Asn}->0,则整个曲线形构件的质量为 M=lm∑(51h)s ->0 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •令=max{s1 s2 sn }→0则整个曲线形构件的质量为 i i i n i M s = ( , ) 1 •整个曲线形构件的质量近似为 下页 一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) i i i n i M = s → = lim ( , ) 1 0 ❖曲线形构件的质量 •把曲线弧L分成n个小段 s1 s2 sn (si也表示弧长) •任取(i i )si 得第i小段质量的近似值(i i )si
今对弧长的曲线积分 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数(x,y)在L上有界 将L任意分成n个小弧段: >>>光滑曲 △S1,△ △(As表示第个小弧段的长度) 在每个小弧段△上任取一点(,m,作和 ∑f(,m)△s 如果当=max{△s1,△s2,……,Asn}→>0时,这和的极限总存在,则 称此极限为函数fx,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分,记作 f(x,y)ds,即 /xy)d=m2/(,m)A, 其中(x,y)叫做被积函数,L叫做积分弧段 首”负”返回”结東
首页 上页 返回 下页 结束 铃 将L任意分成n个小弧段 s1 s2 sn (si也表示第i个小弧段的长度) 在每个小弧段si上任取一点(i i ) 作和 ❖对弧长的曲线积分 下页 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界 i i i n i f s = ( , ) 1 i i i n i L f x y ds = f s → = ( , ) lim ( , ) 1 0 如果当=max{s1 s2 sn }→0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作 f x y ds L ( , ) 即 其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段 >>>光滑曲线
今对弧长的曲线积分 ∫,(xy)ks=lm2/5,nA 说明: 对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 当函数fx,y)在光滑曲线弧L上连续时,函数f(x,y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定fx,y)在L上 是连续的 曲线形构件的质量就是曲线积分(xyk的值 类似地可以定义函数x,y,2)在空间曲线弧r上对弧长的曲线 积分 (xy)=m/5,)△ 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i n i L f x y ds = f s → = ( , ) lim ( , ) 1 0 ❖对弧长的曲线积分 说明 •当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上 是连续的 •对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 •曲线形构件的质量就是曲线积分 x y ds 的值 L ( , ) i i i i n i f x y z ds = f s → = ( , , ) lim ( , , ) 1 0 •类似地可以定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线 积分
今对弧长的曲线积分 ∫,(xy)ks=lm2/5,nA 说明: 如果L(或冂)是分段光滑的,则规定函数在I(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如,设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定 f(x,y)ds= f(r, y)ds+ f(x, y)ds L1+L2 函数(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作5,f(xy)ds L 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 i i i n i L f x y ds = f s → = ( , ) lim ( , ) 1 0 ❖对弧长的曲线积分 •如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定 f x y ds f x y ds f x y ds L L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 = + + •函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 x y ds f L ( , ) 说明
今对弧长的曲线积分的性质 性质1设c1、c2为常数,则 [ef(r,y)+C28(x, y)lds=cl, f(, y)ds+C2, g(x, y)ds 性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则 f(x, y)ds= f(x, y)ds+ f(x, y)ds 性质3设在L上f(x,y)≤g{(x,y),则 l(,y)ds<.g(r v)ds 特别地,有 U, /(x, y)dsk,If(,D)Ids 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖对弧长的曲线积分的性质 •性质1设c1、c2为常数 则 c f x y c g x y ds c f x y ds c g x y ds L L L [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) 1 2 1 2 + = + •性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则 f x y ds f x y ds f x y ds L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 = + •性质3设在L上f(x y)g(x y) 则 L L f (x, y)ds g(x, y)ds 特别地 有 L L | f (x, y)ds| | f (x, y)|ds
二、对弧长的曲线积分的计算 根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密 度为(x,y),则曲线形构件L的质量为 f(, y)ds 另一方面,如果曲线L是光滑的,其参数方程为 x=((),y=y(1)(∝≤B) 则曲线形构件L的质量为 B f(o(,y()y2(t)+y/2(od. 提示:曲线形构件L的质量元素为 f(xy)ks=mo(O,y()o2()+y/2(t 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 二、对弧长的曲线积分的计算 下页 根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L的线密 度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为 L f (x, y)ds 另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为 x=(t) y= (t) (t) 则曲线形构件L的质量为 曲线形构件L的质量元素为 f (x, y)ds f[ (t), (t)] (t) (t)dt 2 2 = + + f[(t),(t)] (t) (t)dt 2 2
二、对弧长的曲线积分的计算 根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密 度为(x,y),则曲线形构件L的质量为 f(, y)ds 另一方面,如果曲线L是光滑的,其参数方程为 x=((),y=y(1)(∝≤B) 则曲线形构件L的质量为 B f(o(,y()y2(t)+y/2(od. 于是 B f(, y)ds=f[o(t),v(Olvo2(0)+(dt 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、对弧长的曲线积分的计算 根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L的线密 度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为 L f (x, y)ds + f[(t),(t)] (t) (t)dt 2 2 于是 = + f x y ds f t t t t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2 下页 另一方面 如果曲线L是光滑的 其参数方程为 x=(t) y= (t) (t) 则曲线形构件L的质量为
二、对弧长的曲线积分的计算 今定理 设(x,y)在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为 x=0(0),y=(0)(≤1≤B 其中o()、v()在[a,B上具有一阶连续导数,且2()+y/2(1)≠0, 则曲线积分[,f(xy)s存在,并且 f(x,y)ds= fIo(t), v(Olo(t+/2(t)dt(aK<B) 应注意的问题定积分的下限a一定要小于上限B 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 则曲线积分 f x y ds L ( , ) 存在 并且 f x y ds f t t t t dt L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) 2 2 = + () 二、对弧长的曲线积分的计算 ❖定理 下页 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 x=(t) y=(t) (t) 其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数且 2 (t)+ 2 (t)0 应注意的问题定积分的下限一定要小于上限