华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十章（10.3.2）闭曲线

Ph+与路径无关一P在+的=0-=2 简要证明先证充分性 若 ap 00 u oo ap 0 由格林公式,对任意闭曲线L,有 Y Pdx+ody=oo aP ydxdy=0 上页 返回

上页 返回 下页 简要证明 由格林公式 对任意闭曲线L 有 先证充分性 0 . x Q y P Pdx Qdy Pdx Qdy L L   =    +  + =  与路径无关  若 x Q y P   =    则 =0   −   y P x Q  有   =   −   + = D L dxdy y P x Q Pdx Qdy ( ) 0  下页

Ph+与路径无关一P在+的=0-=2 简要证明再证必要性 假设存在一点M∈G,使 oo aP a=n0,不妨设n0 则由axb的连续性,存在M的一个6邻域(M62 使在此邻域内有 0_P>n.于是沿邻域U(M,O边界的闭 ax ay 2 曲线积分 Pdx+ody ao aP dxdy22to2>0 U(MO, O) 这与闭曲线积分为零相矛盾 上页 下页

上页 返回 下页 再证必要性 这与闭曲线积分为零相矛盾 0 . x Q y P Pdx Qdy Pdx Qdy L L   =    +  + =  与路径无关  简要证明 假设存在一点 M0G 使 = 0   −    y P x Q  不妨设 >0 则由 y P x Q   −   的连续性 存在 M0 的一个  邻域 U(M0, ) 使在此邻域内有 2     −   y P x Q  曲线积分 0 2 ( ) 2 ( , ) 0      −   + =      U M  l dxdy y P x Q Pdx Qdy  于是沿邻域U(M0 , )边界l的闭 返回