华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十一章（11.2）常数项级数的审敛法

§11.2常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 、绝对收敛与条件收敛 自

一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 §11.2 常数项级数的审敛法 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、正项级数及其审敛法 今正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数 令定理1(正项级数收敛的充要条件) 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界 这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的,而单 调有界数列是有极限. 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、正项级数及其审敛法 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. ❖正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数. 这是因为正项级数的部分和数列{sn }是单调增加的, 而单 调有界数列是有极限. 下页 ❖定理1(正项级数收敛的充要条件)

定理2比较审敛法) 设∑n和∑vn都是正项级数,且tn≤vn(m=1,2,…) 若∑Vn收敛,则∑ln收敛;若∑ln发散,则∑vn发散 n= 推论 >> 设∑un和∑vn都是正项级数,且an≤kvn(k>0,n≥N) 若∑n收敛,则∑vn收敛;若∑vn发散,则∑发散 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理2(比较审敛法) 设   n=1 n u 和   n=1 n v 都是正项级数, 且 unvn (n=1, 2,    ). >>> •推论 设   n=1 n u 和   n=1 n v 都是正项级数, 且 unk vn(k0, nN). 若   n=1 n v 收敛, 则   n=1 n u 收敛 若   n=1 n u 发散, 则   n=1 n v 发散. 若   n=1 n v 收敛, 则   n=1 n u 收敛 若   n=1 n u 发散, 则   n=1 n v 发散. 下页

心定理2比较审敛法 设∑Lun和∑vn都是正项级数,且ln≤k>0,Vm≥N).若级数 ∑vn收敛,则级数Σun收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散 例1讨论p级数∑一(p>0)的收敛性 解当n≤1时,121,而级数∑1发散 n 所以级数∑也发散 1= 当以1时,1≤1,1 (n=2,3,…) nP p-I(n-1)p- np 而级数∑ n=2(n-1)p-1 ]收敛,所以级数∑也收敛 np n=1 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 而级数 ] >>> 1 ( 1) 1 [ 1 1 2 − −  = − −  p p n n n 收敛, 所以级数 p n n 1 1   = 也收敛. 解 下页 ❖定理2(比较审敛法) 例 1 讨论 p−级数 ( 0) 1 1    = p n p n 的收敛性. 解 当 p1 时, n n p 1 1  , 而级数   =1 1 n n 发散, 当 p1 时, ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 1 −1 −1 − − −  p p p n p n n (n=2, 3,   ), 而级数 ] 1 ( 1) 1 [ 1 1 2 − −  = − −  p p n n n 收敛, 所以级数 p n n 1 1   = 也收敛. 所以级数 p n n 1 1   = 也发散. >>> 解 当 p1 时, n n p 1 1  , 而级数   =1 1 n n 发散, 设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn (k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散

心定理2比较审敛法 设∑Lun和∑vn都是正项级数,且ln≤k>0,Vm≥N).若级数 ∑vn收敛,则级数Σun收敛;若级数∑un发散,则级数∑vn发散 p-级数的收敛性 p-级数∑一当p>1时收敛,当p≤1时发散 例2证明级数∑ 是发散的 √n+1) 证因为—1 n+ (n+1)2n+1 而级数∑1发散,故级数∑1一也发散 n=1n2+1 n1√m(n+ 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 证 因为 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 + = +  n n+ n n , 设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn (k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散. ❖p−级数的收敛性 证 下页 ❖定理2(比较审敛法) p−级数 p n n 1 1   = 当 p1 时收敛, 当 p1 时发散. 例 2 证明级数   =1 ( +1) 1 n n n 是发散的. 而级数 1 1 1 +   n= n 发散, 故级数   =1 ( +1) 1 n n n 而级数 也发散. 1 1 1 +   n= n 发散, 故级数   =1 ( +1) 1 n n n 也发散

令定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑n和∑vn都是正项级数, (1)如果lmn4=1(05+∞,且∑n收敛,则∑2收敛; (2)如果lmn血=1(00 例3判别级数∑m1的收敛性 n=1 n 解因为m=n=1,而级数之1发散 n→ 所以级数∑sn-也发散 上页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理3(比较审敛法的极限形式) 设   n=1 n u 和   n=1 n v 都是正项级数, (1)如果 l v u n n n = → lim (0l+), 且   n=1 n v 收敛, 则   n=1 n u 收敛 (2)如果 l v u n n n = → lim (0l+), 且   n=1 n v 发散, 则   n=1 n u 发散. 下页 例 3 判别级数   =1 1 sin n n 的收敛性. 解 因为 1 1 1 sin lim = → n n n , 而级数   =1 1 n n 解 发散, 所以级数   =1 1 sin n n 也发散. 解 因为 1 1 1 sin lim = → n n n , 而级数   =1 1 n n 发散

令定理3(比较审敛法的极限形式) 设∑n和∑vn都是正项级数, (1)如果lmn4=1(05+∞,且∑n收敛,则∑2收敛; (2)如果lmn血=1(00 例4判别级数∑m(1+)的收敛性 ln(1+ 解因为lmn1n2=1,布级数∑收敛 n→ 所以级数∑m(1+2)也收敛 上页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 >>> 下页 例 4 判别级数   = + 1 2 ) 1 ln(1 n n 的收敛性. 解 解 因为 1 1 ) 1 ln(1 lim 2 2 = + → n n n , 而级数 2 1 1 n n   = 解 因为 1 收敛, 1 ) 1 ln(1 lim 2 2 = + → n n n , 而级数 2 1 1 n n   = 收敛, 所以级数   = + 1 2 ) 1 ln(1 n n 也收敛. ❖定理3(比较审敛法的极限形式) 设   n=1 n u 和   n=1 n v 都是正项级数, (1)如果 l v u n n n = → lim (0l+), 且   n=1 n v 收敛, 则   n=1 n u 收敛 (2)如果 l v u n n n = → lim (0l+), 且   n=1 n v 发散, 则   n=1 n u 发散

定理4比值审敛法达朗贝尔判别法) 设∑vn为正项级数,如果mt=p,则当p00 u 收敛;当1(或ρ=+∞)时级数发散;当ρ=1时级数可能收敛也可 能发散 例5证明级数 1+2+-+ ∴ 1·21·2.3 1·2.3…(n-1) 是收敛的 解因为m2m=m1230n==lm1=0oo n 所以,根据比值审敛法可知所给级数收敛 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 因为 0 1 1 lim 1 2 3 1 2 3 ( 1) lim 1 lim = =        − = → → + → n n n u u n n n n n , 收敛 当1(或=+)时级数发散 当=1时级数可能收敛也可 能发散. 设   n=1 n u 为正项级数, 如果 =  + → n n n u u 1 lim , 则当  1时级数 ❖定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法) 解 所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 例5 证明级数 1 2 3 ( 1) 1 1 2 3 1 1 2 1 1 1 1 +     − +  +   +  + + n 是收敛的. 解 因为 0 1 1 lim 1 2 3 1 2 3 ( 1) lim 1 lim = =        − = → → + → n n n u u n n n n n 解 因为 0 1, 1 lim 1 2 3 1 2 3 ( 1) lim 1 lim = =        − = → → + → n n n u u n n n n n

定理4比值审敛法达朗贝尔判别法) 设∑vn为正项级数,如果mt=p,则当p00 u 收敛;当1(或ρ=+∞)时级数发散;当ρ=1时级数可能收敛也可 能发散 例6判别级数1+12+123+…+m+…的收敛性 10102 10 10n 解因为 =m2107 +1)!10 n+ n->∞L n+1 )_lim n!n>∞10 所以,根据比值审敛法可知所给级数发散 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 所以, 根据比值审敛法可知所给级数发散. 下页 例 6 判别级数 10 ! 10 1 2 3 10 1 2 10 1 2 3 +  + +    +  + n n 的收敛性. 解 解 因为 = +  = + = → + → + → 10 1 lim ! 10 10 ( 1)! lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n 解 因为 = , +  = + = → + → + → 10 1 lim ! 10 10 ( 1)! lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n 解 因为 = , +  = + = → + → + → 10 1 lim ! 10 10 ( 1)! lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n , 收敛 当1(或=+)时级数发散 当=1时级数可能收敛也可 能发散. 设   n=1 n u 为正项级数, 如果 =  + → n n n u u 1 lim , 则当  1时级数 ❖定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)

定理4比值审敛法达朗贝尔判别法) 设∑vn为正项级数,如果mt=p,则当p00 u 收敛;当1(或ρ=+∞)时级数发散;当ρ=1时级数可能收敛也可 能发散 解因为÷2(2n2的收敛性 例7判别级数∑ oo u n→)00 (2n+1)(2n+2) 上页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 7 判别级数   → −  n (2n 1) 2n 1 的收敛性. 提示: 1 (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim = +  + −  = → + → n n n n u u n n n n , 比值审敛法失效. 所以, 根据比值审敛法可知所给级数收敛. 1 (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim = +  + −  = → + → n n n n u u n n n n 1 , 比值审敛法失效. (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim = +  + −  = → + → n n n n u u n n n n 1, 比值审敛法失效. (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim = +  + −  = → + → n n n n u u n n n n , 比值审敛法失效. 下页 解 解 因为 2 1 (2 1) 2 1 n n n  −  , 而级数 2 1 1 n n   = 解 因为 收敛, 2 1 (2 1) 2 1 n n n  −  , 而级数 2 1 1 n n   = 解 因为 收敛, 2 1 (2 1) 2 1 n n n  −  , 而级数 2 1 1 n n   = 收敛, 收敛 当1(或=+)时级数发散 当=1时级数可能收敛也可 能发散. 设   n=1 n u 为正项级数, 如果 =  + → n n n u u 1 lim , 则当  1时级数 ❖定理4(比值审敛法, 达朗贝尔判别法)