§12.4一阶线性微分方程 线性方程 二、伯努利方程 自
一、线性方程 二、伯努利方程 §12.4 一阶线性微分方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃
线性方程 ◆一阶线性微分方程 形如y+Px)=Qx)的方程称为一阶线性微分方程,并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程,Qx)不恒为零时称为非齐次 线性方程 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程? (1)(x-2) dx y dx x-2 y=0,是齐次线性方程 (2)3x2+5x5y=0,→y′=3x2+5x,是非齐次线性方程 (3)y+ cost=enx,是非齐次线性方程 (4)2=10+y,不是线性方程 dx 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、线性方程 形如y+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次 线性方程 ❖一阶线性微分方程 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？ y=3x 是非齐次线性方程 2+5x 是非齐次线性方程 (2)3x 2+5x−5y=0 (3)y+ycos x=e −sin x (4) x y dx dy + =10 不是线性方程 (1) y dx dy (x−2) = 0 2 1 = − − y dx x dy (1) y 是齐次线性方程 dx dy (x−2) = 0 2 1 = − − y dx x dy (1) y 是齐次线性方程 dx dy (x−2) = 0 2 1 = − − y dx x dy 是齐次线性方程 (4) x y dx dy + =10 不是线性方程 下页
线性方程 ◆一阶线性微分方程 形如y+Px)=Qx)的方程称为一阶线性微分方程,并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程,Qx)不恒为零时称为非齐次 线性方程 今齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+Px)=0是变量可分离方程,其通解为 y=Ce- pe)dr 提示: → (x)k→hy-」P(x)+hnC|→y=CeJ 首页页返回下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、线性方程 形如y+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶线性微分方程 并且当 Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次 线性方程 ❖一阶线性微分方程 ❖齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)y=0是变量可分离方程其通解为 = − P x dx y Ce ( ) 提示 P x dx y dy =− ( ) ln | y|=− P(x)dx+ln |C| = − P x dx y Ce ( ) P x dx y dy =− ( ) ln | y|=− P(x)dx+ln |C| = − P x d x y Ce ( ) P x dx y dy =− ( ) ln | y|=− P(x)dx+ln |C| = − P x d x y Ce ( )
◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)=0的通解为y=Cexk 例1求方程x-2)<y_,的通解 dx 解原方程可变为 0 dx x-2 这是齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为 e adx-Celn(x-2)=C( 即 y=C(x-2) 首页上页返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖齐次线性方程的通解 例 1 求方程 y dx dy (x−2) = 的通解 解 原方程可变为 0 2 1 = − − y dx x dy 这是齐次线性方程 由通解公式得原方程的通解为 ( 2) 2 ln( 2) 1 = = − = − − y Ce Ce C x x dx x 即 y=C(x−2) ( 2) 2 ln( 2) 1 = = − = − − y Ce Ce C x x dx x ( 2) 2 ln( 2) 1 = = − = − − y Ce Ce C x x dx x 齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为 = − P x d x y C e ( )
◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)=0的通解为y=Cexk 非齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+Px)=Qx)的通解为 y=u(x)e P(x)dx 代入非齐次线性方程求得 u(x)=o(x)e ∫P(x)x 提示:代入后得到 u(x)e- P(xdx-u(x)e P(x)d P(x)+P(xu(x)e-P(x)dx=O(x) 首页上页返回页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示这里所用的方法称为常数变易法这种方法就是把齐次 线性方程的通解中的任意常数C换成末知函数u(x) 然后代入 非齐次线性方程并确定出函数u(x) 提示 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x e u x e P x P x u x e Q x P x d x P x d x P x d x − + = − − − 代入后得到 ❖非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 下页 ❖齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为 = − P x dx y u x e ( ) ( ) = P x dx u x Q x e ( ) ( ) ( ) 齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为 = − P x d x y C e ( )
◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)=0的通解为y=Cexk 非齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+Px)=Qx)的通解为 y=u(x)e P(x)dx 代入非齐次线性方程求得 u(x)=o(x)e P(x)dx 积分得1(x)j0x)dk+C, 于是非齐次线性方程的通解为 y=e parade Q(r)e P(x)dx dx+cl 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 于是非齐次线性方程的通解为 下页 ❖非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 ❖齐次线性方程的通解 设非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为 = − P x dx y u x e ( ) ( ) = P x dx u x Q x e ( ) ( ) ( ) 积分得 u x Q x e dx C P x d x + = ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x + = − 齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为 = − P x d x y C e ( )
◆齐次线性方程的通解 齐次线性方程y+P(x)=0的通解为y=Cexk 非齐次线性方程的通解 非齐次线性方程y+P(x)=Q(x)的通解为 y=e Pax)drfo(x)! P(x)dx ax+ 注 非齐次线性方程的通解也可为 y=Ce/ X)a e P(x)d3 QC P(x)dx x)e 上式表明,非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性 方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和. 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 注 非齐次线性方程的通解也可为 上式表明 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性 方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 下页 ❖非齐次线性方程的通解 ❖齐次线性方程的通解 非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为 [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x + = − 齐次线性方程 y+P(x)y=0 的通解为 = − P x d x y C e ( ) y Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x + = − ( ) − ( ) ( ) ( )
非齐次线性方程y+P(x)=Q(x)的通解为 P(x)dx Q(e P(x)dx y=e dx+Cl 例2求方程 b21 dx x+ (x+1)2的通解 解这里P(x) x)=(x+1)2 x+1 OC 由通解公式得 d y=ex+l[(x+)2e x+l dx+( (+(+()2+((+(++ 即y=(x+1)1(x+12+( 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 这里 1 2 ( ) + =− x P x 2 5 解 Q(x)=(x+1) 下页 由通解公式得 非齐次线性方程y+P(x)y=Q(x)的通解为 [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x + = − 例 2 求方程 2 5 ( 1) 1 2 = + + − x x y dx dy 的通解 [ ( 1) ] 1 2 2 5 1 2 y e x e dx C d x x d x x + + = + − + ( 1) [ ( 1) ( 1) ] 2 2 5 2 = x+ x+ x+ dx+C − ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 ( 1) [ ( 1) ( 1) ] = x+ x+ +C 2 2 5 2 = x+ x+ x+ dx+C − ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 = x+ x+ +C 即 ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 y = x+ x+ +C
例3有一个电路如图所示,其中电源电动势为E= E sino (En、O都是常数,电阻R和电感L都是常量.求电流( 解根据电学原理,得微分方程>〉 R di,、R:smat, ll K 初始条件为i0=0.由通解公式,得 E i(t=e m sin otel dt to FR2+O/>(Rsin ot-aLcosat)+Ce l E R 将初始条件i0=0代入通解,得C OLE R2+022 因此() OLE E e l R2+2D R2+02r2(Rsinat-OLcosa 自 返回下贝 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 将初始条件 | 0 i t=0 = 代入通解 得 R2 2 L2 LE C m + = ( ) ( sin cos ) 2 2 2 2 2 2 R t L t R L E e R L LE i t t m L R m − + + + = − t L R m R t L t Ce R L E − − + + = ( sin cos ) 2 2 2 ( ) ( sin te dt C) L E i t e dt L R dt m L R + = − t L E i L R dt di m + = sin 例3 有一个电路如图所示 其中电源电动势为E=Em sint (Em、都是常数) 电阻R和电感L都是常量 求电流i(t) 解 根据电学原理 得微分方程 >>> 初始条件为i| t=0=0 由通解公式 得 因此 首页
伯努利方程 伯努利方程 形如y+P(x)yQ(x)y(m≠0,1)的方程叫做伯努利方程 考察下列方程是否是(或能否化为)伯努利方程? )2+号y=32y,是伯努利方程 )2 y+xy5,→-y=xy5,是伯努利方程 (3)y=x+y,→y-1y=xy-,是伯努利方程 X (4)2-2xy=4x,是线性方程,不是伯努利方程 x 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、伯努利方程 ❖伯努利方程 下页 (2) 5 y x y dx dy = + 5 y x y dx dy − = 是伯努利方程 (3) x y y x y = + 1 −1 − y = x y x y 是伯努利方程 (1) 4 (1 2 ) 3 1 3 1 y x y dx dy + = − 是伯努利方程 (4) x y x dx dy −2 =4 是线性方程 不是伯努利方程 (1) 4 (1 2 ) 3 1 3 1 y x y dx dy + = − 是伯努利方程 (2) 5 y xy dx dy = + 5 y xy dx dy (2) − = 是伯努利方程 5 y x y dx dy = + 5 y x y dx dy − = 是伯努利方程 (3) x y y x y = + 1 −1 − y = x y x (3) y 是伯努利方程 x y y x y = + 1 −1 − y = x y x y 是伯努利方程 (4) x y x dx dy −2 =4 是线性方程 不是伯努利方程 形如y+P(x)y=Q(x)y n (n0 1)的方程叫做伯努利方程 考察下列方程是否是(或能否化为)伯努利方程？