华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十二章（12.11）微分方程的幂级数解法

§12.11微分方程的幂级数解法 当微分方程的解不能用初等函数或其积分表 达时,我们就要寻求其它解法.常用的有幂级数解 法和数值解法,本节我们简单地介绍微分方程的 幂级数解法 自

§12.11 微分方程的幂级数解法 首页 上页 返回 下页 结束 铃 当微分方程的解不能用初等函数或其积分表 达时 我们就要寻求其它解法 常用的有幂级数解 法和数值解法 本节我们简单地介绍微分方程的 幂级数解法

☆幂级数解法基本思想 求微分方程=f(x,y)满足初始条件y==y的特解 其中函数(x,y)是(x-x)、(y-y)的多项式 fx,y) (x-x0+ao1y-yo)+.+am(x-xo(-yo) 这时我们可以设所求特解可展开为x-x的幂级数: y=y0+a1(x-x0)+a2(x0)2+…+an(x-x0)y+ 其中a1a2…,an…,是待定的系数把所设特解代入微分 方程中,便得一恒等式,比较这恒等式两端x-x的同次幂的系 数,就可定出常数a1a2…,从而得到所求的特解 上页 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 求微分方程 f (x, y) dx dy = 满足初始条件 0 0 y| y x=x = 的特解 其中函数f(x y)是(x−x0 )、(y−y0 )的多项式 f(x y)=a00+a10(x−x0 )+a01(y−y0 )+    +aim (x−x0 ) l (y−y0 ) m 这时我们可以设所求特解可展开为x−x0的幂级数 y=y0+a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 ) 2+    +an (x−x0 ) n+     其中a1  a2      an      是待定的系数 把所设特解代入微分 方程中 便得一恒等式 比较这恒等式两端x−x0的同次幂的系 数 就可定出常数a1  a2      从而得到所求的特解 ❖幂级数解法基本思想

例1求方程y=x+y2满足y22=0的特解 解这时x=0,y=0,故设 y=a1x+a2x2+ayx3+a4x+……·, 把y及y的幂级数展开式代入原方程,得 a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5ax4+… =x+(a1x+a2x2+a3x3+a4x4+……)2 =x+a12x2+2a1a2x3+(a2+2a1a3)x4+ 由此,比较恒等式两端x的同次幂的系数,得 a1=0,a2=,a3=0,a4=0,“520 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 y=x2+x3+ 2 20 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 于是所求解的幂级数展开式的开始几项为 下页 例1 求方程y=x+y 2满足y| x=0=0的特解 这时x0=0 y0=0 故设 y=a1 x+a2 x 2+a3 x 3+a4 x 4+     把y及y的幂级数展开式代入原方程 得 a1+2a2 x+3a3 x 2+4a4 x 3+5a5 x 4+    =x+(a1 x+a2 x 2+a3 x 3+a4 x 4+    ) 2 =x+a1 2x 2+2a1 a2 x 3+(a2 2+2a1 a3 )x 4+     由此 比较恒等式两端x的同次幂的系数 得 a1=0 2 1 a2 =  a3=0 a4=0 20 1 a5 =      20 1 2 1 2 5 y= x + x +  

>定理 如果方程 y"+P(x)y+Q(x)=0 中的系数Px)与Q(x)可在-R<x<R内展开为x的幂级数,那么在 R<x<R内此方程必有形如 的解 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定理 如果方程 y+P(x)y+Q(x)y=0 中的系数P(x)与Q(x)可在−R<x<R内展开为x的幂级数 那么在 −R<x<R内此方程必有形如 n n n y a x  = = 0 的解

例2求方程y"-xy=0的满足y=0,y/l-0=-1的特解 解这里P(x)=0,Q(x)=-x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 y=aota+++art+ 由条件y=0,得a0=0;由yl=0=-1,得a1 把y及y代入方程y-x≥=0,得>> 2a2+32ayx+(43a4-1)x2+(5a5a2)x3+ +(6·5a6-a3)x4+…+{(n+2)(m+1)an2-an1]x+…=0. 提示:y=a1+2a2x+30x2+4a4x3+…+mxn4+ y=2a2x+3.2a3x+4.3a4x2+……+n(n-1)anx-2+ 首”员”返回”结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 下页 例2 求方程y−xy=0的满足y| x=0=0 y| x=0=1的特解 解 这里P(x)=0 Q(x)=−x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 y=a1+2a2 x+3a3 x 2+4a4 x 3+    +nan x n−1+     y=a0+a1 x+a2 x 2+a3 x 3+a4 x 4+     y=2a2 x+32a3 x+43a4 x 2+    +n(n−1)an x n−2+     把y及y代入方程y−xy=0得 2a2+32a3 x+(43a4−1)x 2+(54a5−a 2 )x 3+ +(65a6−a3 )x 4+    +[(n+2)(n+1)an+2−an−1 ]x n+    =0 由y| 由条件y| x=0=0 得a0=0 x=0=1 得 a1=1 >>>

例2求方程y"-xy=0的满足y=0,y/l-0=-1的特解 解这里P(x)=0,Q(x)=-x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 =otaxtaxtaxtax+ 由条件y==0,得a=0;由yl=0=1,得a1 把y及y代入方程y-xy=0,得 2a2+32ayx+(43a4-1)x2+(5a5a2)x3+ +(6·5a6a3) [(n+2)(n+1)an+2an1x2+……=0. 于是>>a2=0,a3=0,a3=0,a6=0,a2=0,a=0, a4-4.3 7.64.301010.9.7.6.4.3’ 因此特解43704×切。1 x10+ 10.9.7.64.3 贝返回

首页 上页 返回 下页 结束 铃 >>> 例2 求方程y−xy=0的满足y| x=0=0 y| x=0=1的特解 解 这里P(x)=0 Q(x)=−x在整个数轴上满足定理的条件 因此所求的解可在整个数轴上展开成x的幂级数 y=a0+a1 x+a2 x 2+a3 x 3+a4 x 4+     把y及y代入方程y−xy=0得 2a2+32a3 x+(43a4−1)x 2+(54a5−a 2 )x 3+ +(65a6−a3 )x 4+    +[(n+2)(n+1)an+2−an−1 ]x n+    =0 由y| 由条件y| x=0=0 得a0=0 x=0=1 得 a1=1 4 3 1 4  a =  7 6 4 3 1 7    a =  10 9 7 6 4 3 1 1 0      a =      于是 a2=0 a3=0 a5=0 a6=0 a8=0 a9=0 因此特解为 10 9 7 6 4 3 1 7 6 4 3 1 4 3 1 4 7 1 0+       +    +  y=x+ x x x 