设(x)在[a,b上连续,在(a,b)内具有二阶导数若在(a,b) 内f(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的; X,+X 简要证明设x1,x2∈[a,b,且x(22),所以(对)在a上的图形是凹的 上页返回 下页
上页 返回 下页 设 1 2 x , x [a b] 且 1 2 x x 记 2 1 2 0 x x x + = 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数 若在(a b) 内f (x)>0则f(x)在[a b]上的图形是凹的 简要证明 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 0 1 x x f x f x f x x f − − = − = 1 1 0 x x 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 0 2 2 0 2 x x f x f x f x x f − − = − = 0 2 2 x x 2 ( ) ( ) 2 ( ) [ ( ) ( )] 2 1 1 2 0 2 1 x x f x f x f x f f − + − = − 0 2 ( )( ) 2 1 2 1 − = − x x f 1 2 由拉格朗日中值公式得 即 ) 2 ( 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f f x f x + + 所以 f(x)在[a b]上的图形是凹的 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 0 1 x x f x f x f x x f − − = − = 1 1 0 x x 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 2 1 0 1 1 0 1 x x f x f x f x x f − − = − = 1 1 0 x x 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 0 2 2 0 2 x x f x f x f x x f − − = − = 0 2 2 x x 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 2 0 2 2 0 2 x x f x f x f x x f − − = − = 0 2 2 x x 即 ) 2 ( 2 ( ) ( ) 1 2 1 2 x x f f x f x + + 所以 f(x)在[a b]上的图形是凹的