华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第三章（3.5.2）定理3（第二充分条件）

☆定理3(第二充分条件)设函数(x)在点x处具有二阶导数且 f(xo)=0,f"(x0)≠0,那么 (1)当"(x)0时,函数f(x)在x处取得极小值 简要证明只证情形(1) 由于f"(xo)x0x-x 根据函数极限的局部保号性,在x的某一去心邻域内有 f"(x) 0;当x>x0时,f(x)<0 因此,∫x)在点x处取得极大值 上页 下页

上页 返回 下页 只证情形(1). 由于f (x0 )0 f (x0 )=0 按二阶导数的定义有 简要证明 0 ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0  −  = −  −   = → → x x f x x x f x f x f x x x x x . 根据函数极限的局部保号性在x0的某一去心邻域内有 0 ( ) 0  −  x x f x . 从而在该邻域内 当xx0时 f (x)0 当xx0时 f (x)0. 因此 f(x)在点x0处取得极大值. 返回 ❖定理3(第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处具有二阶导数且 f (x0 )=0 f (x0 )0 那么 (1)当f (x0 )0时 函数f(x)在x0处取得极大值 (2)当f (x0 )0时 函数f(x)在x0处取得极小值. 0 ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0  −  = −  −   = → → x x f x x x f x f x f x x x x x