§5.2微积分基本公式 、位置函数与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿一莱布尼茨公式 自
一、位置函数与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿−−莱布尼茨公式 §5.2 微积分基本公式 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、位置函数与速度函数之间的联系 设物体从某定点开始作直线运动,在时刻物体所经过的 路程为S(),速度为v=v(0)=S()0v(20),则在时间间隔[T1,内 物体所经过的路程S可表示为 S(72)S(1)及(t, 12 e v(tdt=S(t)-S(T) 上式表明,速度函数(t)在区间[7,7上的定积分等于v( 的原函数S()在区间[T,T2l上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢? 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设物体从某定点开始作直线运动, 在t时刻物体所经过的 路程为S(t), 速度为v=v(t)=S(t)(v(t)0), 则在时间间隔[T1 , T2 ]内 物体所经过的路程S可表示为 一、位置函数与速度函数之间的联系 上式表明, 速度函数v(t)在区间[T1 , T2 ]上的定积分等于v(t) 的原函数S(t)在区间[T1 , T2 ]上的增量. 这个特殊问题中得出的关系是否具有普遍意义呢？ ( ) ( ) S T2 −S T1 及 v t dt T T ( ) 2 1 , 即 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 v t dt S T S T T T = − 即 . 首页
二、积分上限的函数及其导数 今积分上限的函数 设函数f(x)在区间[a,b上连续,x∈[a,b],我们称 f(x.,或厂() 为积分上限的函数 °定理1(积分上限函数的导数 如果函数f(x)在区间ab]上连续,则函数(x)=f(xtx 在[a,b]上可导,并且 a(x) ah(O)=f(x)(a≤xb).> 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、积分上限的函数及其导数 ❖积分上限的函数 设函数f(x)在区间[a, b]上连续, x[a, b], 我们称 f x dx x a ( ) , 或 f t dt x a ( ) 为积分上限的函数. •定理1(积分上限函数的导数) 如果函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数 x f x dx x a ( ) ( ) = 在[a, b]上可导, 并且 ( ) f (t)dt f (x)(a x b) dx d x x a = = . 下页 >>>
例1设(x)在[0,+∞)内连续且(x)>0.证明函数 F(r) yf(dt Tof(dt 在(0,+∞)内为单调增加函数 证明因为 F(r)f(x) f()dt-f(xs(dt f(x(x-of(ydt (/2 f()d) 按假设,当00,(x-tf(1)>0,所以 b()d>0 (x-(>0, tf(t dt=xf(x) f(tdt=f(x) C dx Jo 自贝贝返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 例1 设f(x)在[0, +)内连续且f(x)>0.证明函数 = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0, +)内为单调增加函数. 证明 因为 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) − = x x f t dt f x x t f t dt . ( ) ( ) 0 tf t dt xf x dx d x = , ( ) ( ) 0 f t dt f x dx d x = ( ) ( ) . 0 tf t dt xf x dx d x = , ( ) ( ) 0 f t dt f x dx d x = . 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) − = x x f t dt f x x t f t dt . 按假设, 当0tx时f (t)>0, (x−t)f (t)>0, 所以 ( ) 0 0 f t dt x , ( ) ( ) 0 0 − x t f t dt x ( ) 0 , 0 f t dt x , ( ) ( ) 0 0 − x t f t dt x , 下页
例1设(x)在[0,+∞)内连续且(x)>0.证明函数 F(r) yf(dt Tof(dt 在(0,+∞)内为单调增加函数 证明因为 F(r)f(x) f()dt-f(xs(dt f(x(x-of(ydt (/2 f()d) 按假设,当00,(x-tf(1)>0,所以 /()>0,(x=0)(t>0, 从而F(x)>0(x>0),因此F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 设f(x)在[0, +)内连续且f(x)>0.证明函数 = x x f t dt tf t dt F x 0 0 ( ) ( ) ( ) 在(0, +)内为单调增加函数. 证明 因为 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) − = x x f t dt f x x t f t dt . 2 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = x x x f t dt xf x f t dt f x tf t dt F x 2 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) − = x x f t dt f x x t f t dt . 按假设, 当0tx时f (t)>0, (x−t)f (t)>0, 所以 ( ) 0 0 f t dt x , ( ) ( ) 0 0 − x t f t dt x ( ) 0 , 0 f t dt x , ( ) ( ) 0 0 − x t f t dt x , 从而F (x)>0(x>0),因此F(x)在(0, +)内为单调增加函数. 下页
例2求 i lim acore 0 解这是一个零比零型未定式,由罗必达法则 cosx e COSX x->0 0 -lime x( SInx 0 2x 提示: 设x)=edh,则 D(cosx) COSX d(cosx)=Φ(l) e- (sin x)=-sinxe-cos x x C 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 例 7 求 2 1 cos 0 2 lim x e dt x t x − → 例 . 2 解 这是一个零比零型未定式, 由罗必达法则 2 cos 1 0 2 1 cos 0 2 2 lim lim x e dt x e dt x t x x t x − → − → − = x e e x x x 2 1 2 ( sin ) lim 2 cos 0 = − − = − → . 2 cos 1 0 2 1 cos 0 2 2 lim lim x e dt x e dt x t x x t x − → − → − = x e e x x x 2 1 2 ( sin ) lim 2 cos 0 = − − = − → . 下页 设 − = x t x e dt 1 2 ( ) , 则 − = x t x e dt cos 1 2 (cos ) . u x e x x e dx du u du d x dx d 2 2 cos (cos ) ( ) ( sin ) sin − − = = − =− . u x e x x e dx du u du d x dx d 2 2 cos (cos ) ( ) ( sin ) sin − − = = − =− . u x e x x e dx du u du d x dx d 2 2 cos (cos ) ( ) ( sin ) sin − − = = − =− . u x e x x e dx du u du d x dx d 2 2 cos (cos ) ( ) ( sin ) sin − − = = − =−
今定理2 如果函数(x)在区间a,b上连续,则函数D(x)=Cf(x)x 就是(x)在a,b上的一个原函数 定理的重要意义: 方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初 步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 定理的重要意义： 一方面肯定了连续函数的原函数是存在的, 另一方面初 步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系. 就是f(x)在[a, b]上的一个原函数. 如果函数 f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数 x f x dx x a ( ) ( ) = ❖定理2 首页
三、牛顿—莱布尼茨公式 定理3(牛顿—莱布尼茨公式) 若F(x)是连续函数(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则 f(x)dx= F(b)-F(a) 证明设(x)=f(ut,则也是f(x)的原函数 因为F(x)和Φ(x)都是f(x)的原函数,所以存在常数C,使 F(x)-Φ(x)=C. 由F(a)-(a)=C及Φ(a)=0,得C=F(a),F(x)Φ(x)=F(a) 由F(b)-Φ(b)=F(a,得Φ(b)=F(b)-F(a,即 f(x)dx=F(b-F(a 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、牛顿−−莱布尼茨公式 若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则 f (x)dx F(b) F(a) b a = − . 定理3(牛顿−−莱布尼茨公式) f (x)dx F(b) F(a) b a = − . 证明 设 x f t dt x a ( ) ( ) 证明 = , 则也是 f(x)的原函数. 因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数,所以存在常数C, 使 F(x)−(x)=C. 由F(a)−(a)=C及(a)=0, 得C=F(a), F(x)−(x)=F(a). 由F(b)−(b)=F(a), 得(b)=F(b)−F(a), 即 下页
三、牛顿—莱布尼茨公式 定理3(牛顿—莱布尼茨公式) 若F(x)是连续函数(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则 Cf()dx=F(b-F(a) 为了方便起见,可把F(b)F(a记成[F(x)b,于是 f(xdx=F(1=F(b) F(a) 牛顿一莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的 原函数或不定积分之间的联系 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 牛顿−−莱布尼茨公式进一步揭示了定积分与被积函数的 原函数或不定积分之间的联系. 三、牛顿−−莱布尼茨公式 若F(x)是连续函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数, 则 f (x)dx F(b) F(a) b a = − . 定理3(牛顿−−莱布尼茨公式) 为了方便起见, 可把 F(b)−F(a)记成 b a [F(x) ] , 于是 f (x)dx [F(x)] F(b) F(a) b a b a = = − . 下页
若F(x)是(x)的原函数,则fxtx=[F(x)=F(b)-F(a) 例3计算[x2k 解2h=号=号P=30 例4计算广1x 解 C 1+r2==arctan 3-arctan( 丌丌、7 ( 412 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 若 F(x)是 f(x)的原函数, 则 f (x)dx [F(x) ] F(b) F(a) b a b a = = − . 解 解 例3 例 1 计算 1 0 2 x dx . 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2 = = − = x dx x . 例 例 2 4 计算 2 3 1 1 x dx + − . 3 2 1 3 1 [arctan ] 1 − − = + x x dx =arctan 3−arctan(−1) 12 7 ) 4 ( 3 = − − = . 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2 = = − = x dx x . 3 1 0 3 1 1 3 1 ] 3 1 [ 1 3 3 0 3 1 0 2 = = − = x dx x . 3 2 1 3 1 [arctan ] 1 − − = + x x dx =arctan 3−arctan(−1) 3 2 1 3 1 [arctan ] 1 − − = + x x dx =arctan 3−arctan(−1) 下页