§3.7曲率 、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 曲线的弯曲线程度与 哪些因素有关.怎样度量 曲线的弯曲程度? 自
一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 §3.7 曲率 曲线的弯曲线程度与 哪些因素有关. 怎样度量 曲线的弯曲程度？ 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、弧微分 曲线的基点与正向 设函数(x)在区间(a,b)内具有连续导数在曲线y=(x) 上取固定点M(xoyo)作为度量弧长的基点,并规定依x增 大的方向作为曲线的正向 ro 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、弧微分 •曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有连续导数 在曲线y=f(x) 上取固定点M0 (x0 y0 )作为度量弧长的基点 并规定依 x 增 大的方向作为曲线的正向 下页
一、弧微分 有向弧段M0M的值 对曲线上任一点M(x,y),规定有向弧段的值s(简称 弧)如下:s的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段MM 的方向与曲线的正向一致时S>0,相反时s0 O co 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 s0 •有向弧段 M0M 的值 ( 对曲线上任一点 M(x y) 规定有向弧段的值 s (简称 弧)如下 s 的绝对值等于这弧段的长度 当有向弧段M0M ( 的方向与曲线的正向一致时s>0 相反时s<0 显然 弧 s 是 x 的单调增加函数 s=s(x) 下页 一、弧微分
今弧微分公式 设M和N为曲线y=f(x)a0时,AS~MN,又Ax与As同号,所以 √Ax)2+(4y)2 △ Im =lim1+()2 dx△x0△xAx △x △ 2 由此得弧微分公式 △ ds=1+v 2 dx Mo do x+△ 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖弧微分公式 设M和N为曲线y=f(x)(a<x<b)上的两点 其横坐标分 别为x和x+Dx 并设Ds=s(x+Dx)−s(x) 因为当Dx→0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D = + D D + D = D D = D → D → D → 1 2 = + y ds y dx 1 2 = + 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D = + D D + D = D D = D → D → D → 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D = + D D + D = D D = D → D → D → 首页
二、曲率及其计算公式 观察与思考 观察曲线的弯曲程度与哪些因素有关.怎样衡量曲 线的弯曲程度? 提示 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度. M2 M3 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、曲率及其计算公式 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧 段的平均弯曲程度 下页 观察与思考： 观察曲线的弯曲程度与哪些因素有关 怎样衡量曲 线的弯曲程度？
今曲率及其计算公式 设M和N是光滑曲线C上的 两点,M和N分别应于弧s和s+As △a 以M和N为切点的切线的倾角分 别为c和a+△a )aa+△a x 记K=(,称尺为弧段MN的平均曲率 △s 记K=lim △ a,称K为曲线C在点M处的曲率 △s→0△S 在 li△a-da 存在的条件下,K Ida △→>0△sds ds 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 记 s K s D D = D → 0 lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 记 s K D D = 称 K 为弧段 MN 的平均曲率 设M和N是光滑曲线C上的 两点 M和N分别应于弧s和s+Ds 以M和N为切点的切线的倾角分 别为和+D 在 0 lim Ds→ Ds D = ds d 存在的条件下 ds d K = ❖曲率及其计算公式
今曲率及其计算公式 记K=lim △C 称K为曲线C在点M处的曲率 △s->0△S 在imA=存在的条件下,K=( △s→>0 设曲线C的方程为yf(x),且八(x)具有二阶导数 因为tana=y,所以sec2ala=y da dx x x sec al 1+tana 1+y 又知ds=+y2ax,从而得曲率的计算公式 kdal s(1+y2)2 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 记 s K s D D = D → 0 lim 称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率 在 0 lim Ds→ Ds D = ds d 存在的条件下 ds d K = ❖曲率及其计算公式 设曲线C的方程为y=f(x) 且f(x)具有二阶导数 又知 ds= 1 2 + y dx 从而得曲率的计算公式 2 3 2 (1 ) | | y y ds d K + = = dx y y dx y dx y d 2 2 1 2 sec 1 tan + = + = = dx y y dx y dx y d 2 2 1 2 sec 1 tan + = + = = dx y y dx y dx y d 2 2 1 2 sec 1 tan + = + = = 所以sec 因为tan=y 2d=ydx 下页
曲率的计算公式:K ds(1+y2)y2 例1计算等边双曲线x=1在点(1,1)处的曲率 解由y=1,得 X XX 因此y/l1=1,ylk1=2.曲线在点(1,1)处的曲率为 K 2 (+y2)2(+(-1)y2√2 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 3 2 (1 ) | | y y ds d K + = = 例1 计算等边双曲线xy=1在点(1 1)处的曲率 曲率的计算公式： 因此y| x=1=−1 y| x=1=2 曲线在点(1 1)处的曲率为 解 由 x y 1 = 得 2 1 x y =− 3 2 x y = 2 3 2 (1 ) | | y y K + = 2 3 2 (1 ( 1) ) 2 + − = 2 2 2 1 = = 解 2 1 x y =− 3 2 x y = 2 3 2 (1 ) | | y y K + = 2 3 2 (1 ( 1) ) 2 + − = 2 2 2 1 = = 2 3 2 (1 ) | | y y K + = 2 3 2 (1 ( 1) ) 2 + − = 2 2 2 1 = = 下页
曲率的计算公式:K ds(1+y2)y2 例2抛物线≠=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大? 解由yax2+bx+c,得 y=2ax+b, y=2a, 代入曲率公式,得 12a K +(2ax+b)22 显然,当2ax+b=0时曲率最大 曲率最大时,x0,对应的点为抛物线的顶点 2a 因此,抛物线在顶点处的曲率最大,此处K=2a 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 抛物线y=ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大？ 解 由y=ax2+bx+c 得 y=2ax+b y=2a 代入曲率公式 得 显然 当2ax+b=0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K=|2a| 2 3 2 [1 (2 ) ] |2 | ax b a K + + = 曲率最大时 x=− a b 2 对应的点为抛物线的顶点 下页 2 3 2 (1 ) | | y y ds d K + = = 曲率的计算公式：
讨论 1.直线y=ax+b上任一点的曲率是什么? 2.若曲线的参数方程为x=0(1,==v(1),那么曲率如何 计算? 3.半径为R的圆上任一点的曲率是什么? 提示 1.设直线方程为y=ax+b,则y=a,y=0.于是K=0 2.k-(ty(-(ty(t 2(t)+y2()2 3.圆的参数方程为x= Rcos t,y= Rsin t 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 讨论： 3 半径为R的圆上任一点的曲率是什么？ 1 直线y=ax+b上任一点的曲率是什么？ 2 若曲线的参数方程为x=j(t) y=y(t) 那么曲率如何 计算？ 提示： 1 设直线方程为y=ax+b 则y =a y =0 于是K=0 3 圆的参数方程为x=Rcos t y=Rsin t 2 2 3/2 [ ( ) ( )] | ( ) ( ) ( ) ( )| t t t t t t K j y j y j y + − 2 = 首页