§3.2洛必达法则 未定式 在函数商的极限中,如果分子和分母同是无穷小或 同是无穷大,那么极限可能存在,也可能不存在,这种极 限称为未定式,记为①或 0 还有其它类型的未定式:0.∞、∞0-∞0、0、1、∞ 定式举例首页
§3.2 洛必达法则 还有其它类型的未定式 0、−、0 0 、1 、0 在函数商的极限中 如果分子和分母同是无穷小或 同是无穷大 那么极限可能存在 也可能不存在 这种极 0 0 －或 限称为未定式 记为 － 未定式举例 首页 上页 返回 下页 结束 铃 •未定式
令定理(洛必达法则) 如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1)fx)和g(x)都是当x-xa时的无穷小(或无穷大); (2)x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0; (3)lim f(x) 存在(或为无穷大) x→ag(x 那么lm(x)=lm x→a g(x) x→a g 说明: 把定理中的“x>a”换成“x→>∞”,把条件(2)换成 “当>N时八x)和g(x)都可导且g(x)≠03),结论仍然成立 是定理证明”首负”上”返回”下结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果函数f(x)和g(x)满足如下条件 (1) f(x)和g(x)都是当x→a时的无穷小(或无穷大) (2) f(x)和g(x)在点a的某去心邻域内都可导且g(x)0 定理证明 说明： 把定理中的“ x→a ”换成“ x→ ” 把条件(2)换成 “当|x|>N时f(x)和g(x)都可导且g(x)0” 结论仍然成立 ❖定理(洛必达法则) (3) ( ) ( ) lim g x f x x a → 存在(或为无穷大) 那么 ( ) ( ) lim g x f x x→a ( ) ( ) lim g x f x x a = → 下页
☆“零比零”型未定式的定值法 例1求ma(b≠0 解 im sin ax=im(smax lim acosax a x>osin bx x-o(sin bx) x>0 bcosbx b 例2求m-3-3x+2 x1x3-x2-x+1 解 Ⅷ3-3x+2(x3-3x+2) x→1x3-x2-x+1x-1(x3-x2-x+1) 3x2-3 lin 6x3 x13x2-2x-1x16x-22 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖“零比零”型未定式的定值法 解 解 例 例 1 1．求 bx ax x sin sin lim →0 (b 0) 解 b a b bx a ax bx ax bx ax x x x = = = → → → cos cos lim (sin ) (sin ) lim sin sin lim 0 0 0 例 例 2． 2 求 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 解 ( 1) ( 3 2) lim 1 3 2 lim 3 2 3 1 3 2 3 1 − − + − + = − − + − + → → x x x x x x x x x x x x 2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 2 2 1 = − = − − − = → → x x x x x x x 解 b a b bx a ax bx ax bx ax x x x = = = → → → cos cos lim (sin ) (sin ) lim sin sin lim 0 0 0 解 b a b bx a ax bx ax bx ax x x x = = = → → → cos cos lim (sin ) (sin ) lim sin sin lim 0 0 0 解 b a b bx a ax bx ax bx ax x x x = = = → → → cos cos lim (sin ) (sin ) lim sin sin lim 0 0 0 解 ( 1) ( 3 2) lim 1 3 2 lim 3 2 3 1 3 2 3 1 − − + − + = − − + − + → → x x x x x x x x x x x x 2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 2 2 1 = − = − − − = → → x x x x x x x 2 3 6 2 6 lim 3 2 1 3 3 lim 1 2 2 1 = − = − − − = → → x x x x x x x 下页
☆“零比零”型未定式的定值法 例3求 lim im 解 lim x-sinx 1-cOSx SInx ->0 X x>03x2x-06x6 arctan 例4求lim 解 lm arctan lm、1+x lim t2 y→)+00 1+x 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 解 例 例 3 3 求 3 0 sin lim x x x x − → 解 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 = 例 例 4 4 求 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 解 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x 解 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 解 = 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 解 = 3 0 sin lim x x x x − → 2 0 3 1 cos lim x x x − = → x x x 6 sin lim →0 = 6 1 = 解 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x 解 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x 解 x x x 1 arctan 2 lim − →+ 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 1 1 lim 2 2 = + = →+ x x x 下页 ❖“零比零”型未定式的定值法
☆“无穷比无穷”型未定式的定值法 例5求imhx(n>0) x→)+∞X 解imhx=im_x=lim1=0 x→>+00X x-)+∞xn-1 x→>+∞X 例6求im(n为正整数,x>0) 解1imx lum nrn-1 - lin n-1)x x→>+∞ ax x→>+0e x→>+00 22 0 ane 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖“无穷比无穷”型未定式的定值法 解 解 例 例 5 5 求 n x x ln x lim →+ (n>0) 解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 例 例 6 6 求 x n x e x →+ lim (n 为正整数 >0) 解 x n x e x →+ lim x n x e nx 1 lim − →+ = x n x e n n x 2 2 ( 1) lim − →+ − = = 0 ! = lim = →+ n x x e n 解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 解 n x x ln x lim →+ 1 1 lim − →+ = n x nx x 0 1 = lim = →+ n x nx 解 x n x e x →+ lim x n x e nx 1 lim − →+ = x n x e n n x 2 2 ( 1) lim − →+ − 解 = = x n x e x →+ lim x n x e nx 1 lim − →+ = x n x e n n x 2 2 ( 1) lim − →+ − 解 = = x n x e x →+ lim x n x e nx 1 lim − →+ = x n x e n n x 2 2 ( 1) lim − →+ − = = 0 ! = lim = →+ n x x e n 下页
今其它类型未定式的定值法 未定式0·∞、∞-0、00、1、∞都可以转化为“零 比零”型或“无穷比无穷”型未定式 例7求 lim xnInx(m>0 x->+0 A lim rnInx= lim nx=lim x= lim =Xn=0 x-)+0 x→)+0x-nx-++0-nx-n-1x-40n 例8求 lim xx x→+0 解imxx= lim exIne=e0=1(根据例7 x→+0 x->+0 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖其它类型未定式的定值法 未定式0、−、0 0 、1 、0都可以转化为 “零 比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式 解 解 例 例 7 7 求 x x n x lim ln →+0 (n>0) 解 x x n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x 解 x x n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x 解 x x n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x 解 x x n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x 解 x x n x lim ln →+0 n x x x − →+ = ln lim 0 1 0 1 lim − − →+ − = n x nx x lim 0 0 = − = →+ n x n x 例 例 8 8 求 x x x 0 lim →+ 解 x x x 0 lim →+ lim ln 0 1 0 = = = →+ e e x x x 解 (根据例 7) x x x 0 lim →+ lim ln 0 1 0 = = = →+ e e x x x 解 (根据例 7) x x x 0 lim →+ lim ln 0 1 0 = = = →+ e e x x x (根据例 7) 下页
今其它类型未定式的定值法 未定式0·∞、∞-0、00、1、∞都可以转化为“零 比零”型或“无穷比无穷”型未定式 例9求lm(secx-tanx) 解 lim (secx-tan x)=lim SInx m -COSx=0 x→ I cOSX→zSx 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 例 例 9 9 求 lim (sec tan ) 2 x x x − → 解 lim (sec tan ) 2 x x x − → x x x cos 1 sin lim 2 − = → 0 sin cos lim 2 = − = → x x x 未定式0、−、0 0 、1 、0都可以转化为 “零 比零” 型或 “无穷比无穷” 型未定式 解 lim (sec tan ) 2 x x x − → x x x cos 1 sin lim 2 − = → 0 sin cos lim 2 = − = → x x x 解 lim (sec tan ) 2 x x x − → x x x cos 1 sin lim 2 − = → 0 sin cos lim 2 = − = → x x x 解 lim (sec tan ) 2 x x x − → x x x cos 1 sin lim 2 − = → 0 sin cos lim 2 = − = → x x x 下页 ❖其它类型未定式的定值法
应注意的问题 1.洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但最好 能与其它求极限的方法结合使用.例如能化简时应尽可 能先化简,可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽 可能应用,这样可以使运算简捷 例10求 lim tanx-xr x->sinx 解lin tanx-x. tanx-x lim secx x→>0x2 SInx x->0x3 x-)03x lim 2sec2xtanx -lim sec2 x tanx 1 x→>0 6x 3x->0 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 1 洛必达法则是求未定式的一种有效方法 但最好 能与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可 能先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽 可能应用 这样可以使运算简捷 •应注意的问题 解 例 例 10 10 求 x x x x x sin tan lim 2 0 − → 解 x x x x x sin tan lim 2 0 − → 3 0 tan lim x x x x − = → 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 3 tan 1 limsec 3 1 2 0 = = → x x x x 解 x x x x x sin tan lim 2 0 − → 3 0 tan lim x x x x − = → 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → 解 x x x x x sin tan lim 2 0 − → 3 0 tan lim x x x x − = → 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 3 tan 1 limsec 3 1 2 0 = = → x x x x x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 3 tan 1 limsec 3 1 2 0 = = → x x x x 下页
应注意的问题 2.本节定理给出的是求未定式的一种方法.当定理 条件满足时,所求的极限当然存在(或为∞),但定理条件 不满足时,所求极限却不一定不存在 例11求 lim xtsnx 解因为极限lim (x+sin x) - lim 1+cosx不存在, 所以不能用洛必达法则.但其极限是存在的: lim xtsinx=lim(1+snx= x→)+∞x x→)+ 首页上页返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 本节定理给出的是求未定式的一种方法 当定理 条件满足时 所求的极限当然存在(或为) 但定理条件 不满足时 所求极限却不一定不存在 所以不能用洛必达法则 但其极限是存在的 解 例 例 11 11 求 x x x x sin lim + →+ 解 因为极限 ( ) ( sin ) lim + →+ x x x x 1 1 cos lim x x + = →+ 不存在 x x x x sin lim + →+ ) 1 sin = lim (1+ = →+ x x x 解 因为极限 ( ) ( sin ) lim + →+ x x x x 1 1 cos lim x x + = →+ 解 因为极限 不存在 ( ) ( sin ) lim + →+ x x x x 1 1 cos lim x x + = →+ 不存在 x x x x sin lim + →+ ) 1 sin = lim (1+ = →+ x x x x x x x sin lim + →+ ) 1 sin = lim (1+ = →+ x x x 结束 •应注意的问题