§2.1导数概念 、引例 导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 自
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 §2.1 导数概念 首页 上页 返回 下页 结束 铃
引例 1.直线运动的速度 设物体作直线运动所经过的路程为s=f(1) 以t0为起始时刻,物体在△时间内的平均速度为 △s_f(o0+△)-f() △t △t 此平均速度可以作为物体在t时刻的速度的近似值 △越小,近似的程度就越好. 因此当Δt>0时,极限 lim v=lim s=lim f(to+△t)-f() At→>0△t->0△t△t->0 △t 就是物体在时刻的瞬时速度 首贝上贝返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 t f t t f t t s v + − = = ( ) ( ) 0 0 一、引例 设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t) 以t 0为起始时刻 物体在t时间内的平均速度为 此平均速度可以作为物体在t 0时刻的速度的近似值 t越小 近似的程度就越好 因此当t→0时 极限 1.直线运动的速度 t f t t f t t s v t t t + − = = → → → ( ) ( ) lim lim lim 0 0 0 0 0 就是物体在t 0时刻的瞬时速度 下页
2.切线问题 求曲线y=x)在点Mx02y)处的切线的斜率 在曲线上另取一点Nx+△x,y+△y),作割线MN, 设其倾角为.观察切线的形成 当Ax->0时,动点N将沿曲线趋向于定点M,从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 y- 于切线M的斜率: tana= lim tan= lim av Ay Y △x0△x CM =linf(x+△x)-f(x) DC △x>0 Do 动画演示首顶 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 求曲线y=f(x)在点M(x0 y0 )处的切线的斜率 在曲线上另取一点N(x0+x y0+y) 作割线MN 设其倾角为j 观察切线的形成 2.切线问题 当x→0时 动点N将沿曲线趋向于定点M 从而割线 MN也将随之变动而趋向于切线MT 此时割线MN的斜率趋向 于切线MT的斜率 动画演示 x y x x = = →0 →0 tan lim tanj lim x f x x f x x + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 首页
二、导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 导数的定义 设函数y=fx)在点x0的某个邻域内有定义如果极限 li f(xo+Ax)-f(xo) △x→>0△x△x→>0 △ 存在,则称函数x)在点x处可导,并称此极限值为函数 f(x)在点x处的导数,记为f(x,即 f(ro)=lim f(xo+△x)-f(x0) △x→>0△xAx→0 △x 如果上述极限不存在,则称函数(x)在点x处不可导 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 二、导数的定义 存在 则称函数f(x)在点x0处可导 并称此极限值为函数 f(x)在点x0处的导数 记为f (x0 ) 即 x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 下页 设函数y=f(x)在点 x0的某个邻域内有定义 如果极限 ❖导数的定义 1.函数在一点处的导数与导函数 如果上述极限不存在 则称函数f(x)在点x0处不可导
导数的定义式: f(x=lim Ay= lim J(=o+Ax)=f(xo) Ax->0△x△x->0 导数的其它符号 df(x) x=xo 或 dx x= dx 导数的其它定义式 f(o=lim f(xo+hlo h->0 h f(o)=lim f(x)-f(o x→) xo x-Xo 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •导数的其它符号 下页 •导数的其它定义式 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 x x f x f x f x x x − − = → 0 | x x y = 0 dx x x dy = 或 0 ( ) dx x x df x = 导数的定义式: x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0
导数的定义式: f(xa lim ay=lim /(xo+Ax)-f(o) Ax→0△xAx-÷0 f(oo)=in f(o+h)-f(ol=lim f(x)-f(o h->0 x→)x X-X 例1求函数y=x2在点x=2处的导数 f(2+△x)-f(2) 解f(2)=mAx0 lim (2+Ax 2-22 △ in(4+△x)=4 或f(2)=imn<(x)-f(2)=m2-22im(x+2)=4 x→ x-2 x2x-2x-2 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 求函数y=x 2在点x=2处的导数 解 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → x x x f x f f x x + − = + − = → → 2 2 0 0 (2 ) 2 lim (2 ) (2) (2) limlim (4 ) 4 0 = + = → x x lim( 2) 4 2 2 lim 2 ( ) (2) (2) lim 2 2 2 2 2 = + = − − = − − = → → → x x x x f x f f x x x 或 x x x f x f f x x + − = + − = → → 2 2 0 0 (2 ) 2 lim (2 ) (2) (2) lim lim( 2) 4 2 2 lim 2 ( ) (2) (2) lim 2 2 2 2 2 = + = − − = − − = → → → x x x x f x f f x x x lim( 2) 4 2 2 lim 2 ( ) (2) (2) lim 2 2 2 2 2 = + = − − = − − = → → → x x x x f x f f x x x 下页x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 导数的定义式:
导数的定义式: fco=lim by=lim 1(0+Ax)-f(xo) Ax→0△xAx-÷0 f(o=lino f(o+h)-f(oo) lim f(x-f(>o) h->0 x→)x X-X 导函数的定义 如果函数yx)在区间每一点x都对应一个导数值, 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=fx)的导函数, 简称导数,记作 y,/x,④ 或 df(x) x x 提问:导函数的定义式如何写?f(xo)与f(x)是什么关系? 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 h f x h f x f x h ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 + − = → 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − = → x f x x f x x y f x x x + − = = → → ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 导数的定义式: •导函数的定义 如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数 简称导数 记作 y f (x) dx dy 或 dx df (x) 提问: 导函数的定义式如何写? f (x0 )与f (x)是什么关系? 下页
2求导数举例 例2求函数(x)=C的导数(C为常数) A: ' (x=lim /(x+h)-(x)=lim C-C=0 h→>0 h->0 即(C)= 例3求f(x)=的导数 Hi f(r)=lim f(x+h)-f(x)=lim x+ x h→>0 h h→>0 h lim h =--llm h-oh(x+h)x h>0(x+h)x x2 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 h x h x h f x h f x f x h h 1 1 lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 − + = + − = → → 例2 求函数f(x)=C 的导数(C为常数) 解 即 (C) =0 解 f (x) h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim 0 0 = − = → h C C h 解 f (x) h f x h f x h ( ) ( ) lim 0 + − = → lim 0 0 = − = → h C C h 下页 2.求导数举例 解 例 2 求 x f x 1 例3 ( )= 的导数 2 0 0 1 ( ) 1 lim ( ) lim h x h x x h x x h h h =− + =− + − = → → 2 0 0 1 ( ) 1 lim ( ) lim h x h x x h x x h h h =− + =− + − = → → 2 0 0 1 ( ) 1 lim ( ) lim h x h x x h x x h h h =− + =− + − = → → h x h x h f x h f x f x h h 1 1 lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 − + = + − = → →
2求导数举例 (C′=0, x X 例4求f(x)=√x的导数 解f(x)=m(x+)-/(x)=mb x+h h→>0 h h→>0 h 1)0h(√x+h+√x)h0√x+h+√x2√x 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 h x h x h f x h f x f x h h + − = + − = →0 →0 lim ( ) ( ) 解 ( ) lim 例 例 3 4 求 f (x)= x 的导数 解 h x h x h f x h f x f x h h + − = + − = →0 →0 lim ( ) ( ) ( ) lim h x h x x h x x h h h 2 1 1 lim ( ) lim 0 0 = + + = + + = → → h x h x x h x x h h h 2 1 1 lim ( ) lim 0 0 = + + = + + = → → h x h x x h x x h h h 2 1 1 lim ( ) lim 0 0 = + + = + + = → → 下页 2.求导数举例 (C) =0 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = x x
2求导数举例 (C′=0, (x4)y=p·x x √x 例5求函数fx)=xn(m为正整数)在x=a处的导数 A f(a)=lim /(x)-(a=lim n-an x→a x-a x→>aX-a lim(x-1+ax/-2+.. tan-)=nan-I x→a 把以上结果中的a换成x得f(x)=nxn-1,即(x)=nxn 更一般地,有 (x)=-(其中为常数 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 (C) =0 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = (C) =0 x x 2 1 ) 1 ( x x =− x x 2 1 ( ) = 1 ( ) − = x x 2.求导数举例 解 f (a) x a f x f a x a − − = → ( ) ( ) lim x a x n an x a − − = → lim 例5 求函数f(x)=x n (n为正整数)在x=a处的导数 更一般地 有 (x ) =x −1 (其中为常数) 把以上结果中的a换成x得f (x)=nxn−1 即(x n ) =nxn−1 解 =nan−1 解 f (a) x a f x f a x a − − = → ( ) ( ) lim x a x n an x a − − = → lim (x n−1+axn−2+ +a n−1 ) x→a =lim 下页