§12.5全微分方程 如果P(x,y)dx+Q(x,y)dhy恰好是某一个 函数l=l(x,y)的全微分: du(r,y)=P(, y)dx+o(, y)dy, 那么方程P(x,y)ax+Q(x,y)ldy=0就叫做全微 分方程. 自
§12.5 全微分方程 如果 P(x, y)dx+Q(x, y)dy恰好是某一个 函数u=u(x, y)的全微分: du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 那么方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0就叫做全微 分方程. 首页 上页 返回 下页 结束 铃
◆全微分方程 如果P(x,y)dx+Q(x,y)ly是某个函数v=(x,y)的全微分: du(x,y)=p(, y)dx+Q(, y)dy, 那么方程P(x,y)dx+gx,y)dy=0就叫做全微分方程 今全微分方程的判定 若P(x,y)、Q(x,y)在单连通域G内具有 阶连续偏导数,且 aP oO 则方程P(x,y)dx+gx,y)dy=0是全微分方程 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖全微分方程 ❖全微分方程的判定 下页 如果P(x, y)dx+Q(x, y)dy是某个函数u=u(x, y)的全微分: du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 那么方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0就叫做全微分方程. 若P(x, y)、Q(x, y)在单连通域G内具有一 阶连续偏导数, 且 x Q y P = , 则方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程.
◆全微分方程的通解 若方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是全微分方程,且 du(x,y)=p(x, y)dx+o(x, y)dy, 则(x,y)=C就是方程的通解 ◆全微分方程的通解公式 若方程P(x,y)dx+g(x,y)dy=0是全微分方程,则其通解为 T P(yo)dx+ O(x, ydy=C 或 P(x, y)dx+ O(o, y)dy=C 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖全微分方程的通解 下页 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程,则其通解为 若方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0是全微分方程,且 du(x, y)=P(x, y)dx+Q(x, y)dy, 则u(x, y)=C就是方程的通解. ❖全微分方程的通解公式 P x y dx Q x y dy C y y x x + = 0 0 ( , ) ( , ) 0 , 或 P x y dx Q x y dy C y y x x + = 0 0 ( , ) ( , ) 0
例1求解(5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)hy=0 解这里P=5x413xy2-y3,Q=3x2y-3xy2+y2,且 aP OO 6xy-3 B(x, v) 所以这是全微分方程,其通解为 5x4dx+(3x2y-3xy2+y)dy=C x5+2x2y2-xy+y=C O A(x, 0)x 提示:(5x dx+3x y-3xy+y)dy=x +3x2 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示: 例1 求解(5x 4+3xy2-y 3 )dx+(3x 2y-3xy2+y 2 )dy=0. 解 这里P=5x 4+3xy2-y 3 , Q=3x 2y-3xy2+y 2 ,且 x Q xy y y P = - = 6 3 2 , 所以这是全微分方程, 其通解为 下页 x dx x y x y y dy C x y + - + = 0 2 2 2 0 4 5 (3 3 ) , 即 x + x y -x y + y =C 5 2 2 3 3 3 1 2 3 . 5 2 2 3 3 0 2 2 2 0 4 3 1 2 3 5x dx (3x y 3x y y )dy x x y x y y x y + - + = + - + . 5 2 2 3 3 0 2 2 2 0 4 3 1 2 3 5x dx (3x y 3x y y )dy x x y x y y x y + - + = + - +
◆积分因子 若存在一函数=(x,y)((x,y)≠0),使方程 u(,yp(x, y)dx+u(x, yo(, y)dy=0 是全微分方程,则函数(x,y)叫做方程P(x,y)x+Q(x,y)ay=0的 积分因子 例2求方程yx-xh=0的积因为 分因子并求其通解 dx-xd1 d(-) 解因为 vax-Xe 故所给方程的通解为 所以1是所给方程的积分因子 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖积分因子 例2 求方程ydx-xdy=0的积 分因子并求其通解. 解 因为 因为 2 ( ) y ydx xdy y x d - = , 下页 若存在一函数=(x, y) ((x, y)0), 使方程 (x, y)P(x, y)dx+(x, y)Q(x, y)dy=0 是全微分方程, 则函数(x, y)叫做方程P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0的 积分因子. 所以 2 1 y 是所给方程的积分因子. 因为 2 ( ) y ydx xdy y x d - = , 故所给方程的通解为 C y x =
例3求方程 (1+xy)x+(1-xy)xy=0 的积分因子并求其通解. 解将方程的各项重新合用积分因子乘以方程,方 并,得 变为 (dx+xdy)+xyodx-xdy)=0, (xy), dx dy 再把它改写成 Xy 积分得通解 d(xy)+x2y20 )=0 +hn C 可见为方程的积分因子 (xy) e 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 求方程 (1+xy)ydx+(1-xy)xdy=0 的积分因子并求其通解. 解 ( )+ 2 2 ( - )=0 y dy x dx d xy x y , 积分得通解 将方程的各项重新合 并, 得 (ydx+xdy)+xy(ydx-xdy)=0, 再把它改写成 用积分因子乘以方程, 方 变为 下页 可见 2 ( ) 1 x y 为方程的积分因子. 0 ( ) ( ) 2 + - = y dy x dx x y d x y , C y x x y ln | | ln 1 - + = , 即 xy Ce y x 1 =
今一阶线性方程的积分因子 可以验证 1(x) P(xdx 是一阶线性方程y+Px)=Q(x)的一个积分因子 在一阶线性方程的两边乘以1x)得 P(xdx yP()e P(x)a y Q(x)e 即 P(x)db re]pax)da =Q(x) 两边积分,便得通解 ye! P(xxx -jo(x)el Pejd ax+C 或 -e- P(x)dxrlotriej P(xdx y=e QC e dx+CI 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖一阶线性方程的积分因子 可以验证 = P x dx x e ( ) ( ) 是一阶线性方程y+P(x)y=Q(x)的一个积分因子. 在一阶线性方程的两边乘以(x)得 两边积分, 便得通解 = + P x d x P x d x P x d x y e yP x e Q x e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 即 = P x d x P x d x ye Q x e ( ) ( ) [ ] ( ) . ye Q x e dx C P x d x P x d x + = ( ) ( ) ( ) , 或 [ ( ) ] ( ) ( ) y e Q x e dx C P x d x P x d x + = - . 下页
例4用积分因子求+2xy=4x的通解 x 解方程的积分因子为 (x)=e/2h 方程两边乘以ex得 +2xey=4xe", Bp(exy)'=4xex 于是c2y=4xedk=2e2+C. 因此方程的通解为 4xe dx=2+Ce 首页上页返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 4 用积分因子求 x y x dx dy +2 =4 的通解. 解 方程的积分因子为 2 2 ( ) x xdx x e =e = . 方程两边乘以 2 x e 得 2 2 2 2 4 x x x y e + x e y = x e , 即 2 2 ( ) 4 x x e y = x e , 2 2 2 2 4 x x x y e + x e y = x e , 即 2 2 ( ) 4 x x e y = x e , 于是 e y x e dx e C x x x = = + 2 2 2 4 2 . 因此方程的通解为 2 2 4 2 x x y x e dx Ce- = = + . 于是 e y xe dx e C x x x = = + 2 2 2 4 2 . 结束