华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十二章（12.7）高阶线性微分方程

§12.7高阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程举例 二、线性微分方程的解的结构 自

一、二阶线性微分方程举例 二、线性微分方程的解的结构 §12.7 高阶线性微分方程 首页 上页 返回 下页 结束 铃

二阶线性微分方程举例 ◆二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为 y+P(x)y'+o(y-fe) 若方程右端fx)=0时,方程称为齐次的,否则称为非齐次的. 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、二阶线性微分方程举例 ❖二阶线性微分方程 下页 二阶线性微分方程的一般形式为 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的

例1设有一个弹性系数为c的弹簧,上端固定,下端挂一 质量为m的物体.给物体一个初始速度v后,物体在平衡位置 附近作上下振动,物体受到的阻力的大小与运动速度成正比, 比例系数为μ.取x轴铅直向下,并取物体的平衡位置为坐标原 点,物体的位置x是t的函数x().则x()所满足的微分方程为 x +2n+k2x=0 其中2n=2,k2=C 如果物体还受到铅直扰力F=Hinp的作用, O中 +2n -+k2x=hsin pt 其中h= H 例详解首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 2 0 2 2 + +k x= dt dx n dt d x  其中 m n  2 =  m c k 2 =  如果物体还受到铅直扰力F=Hsinpt的作用 其中 m H h=  k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 则 + + =  例1详解 下页 例1 设有一个弹性系数为c的弹簧 上端固定 下端挂一个 质量为m的物体 给物体一个初始速度v0后 物体在平衡位置 附近作上下振动 物体受到的阻力的大小与运动速度成正比 比例系数为 取x轴铅直向下 并取物体的平衡位置为坐标原 点 物体的位置x是t的函数x(t)  则x(t)所满足的微分方程为

例2设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成 的电路,其中R、L、及C为常数,电源电动势是时间的函数 E= E Sino,这里En及也是常数 设时刻电容器两极板间的电压为u,则v满足微分方程 的+2du +oru sin at LC R 其中B R 2L LC 如果电容器经充电后撤去外电L E 源(E=0),则上述方程成为 d21 +q-g K +2B-+c062=0 2详解 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 设时刻t电容器两极板间的电压为uc 则uc满足微分方程 t LC E u dt du dt d u m c c c 2 0 2 sin 2 2 + + =  其中 L R 2  =  LC 1 0 =  如果电容器经充电后撤去外电 源(E=0) 则上述方程成为 2 0 2 0 2 2 + + c = c c u dt du dt d u    例2详解 首页 例2 设有一个由电阻R、自感L、电容C和电源E串联组成 的电路 其中R、L、及C为常数 电源电动势是时间t的函数: E=Em sint 这里Em及也是常数

二、线性微分方程的解的结构 令定理1(齐次方程的解的叠加原理) 如果函数y(x)与y2(x)是方程y+Px)y+Q(x)=0的两个解, 那么y=Cv(x)+C2y2(x)也是方程的解,其中C1、C2是任意常数 简要证明这是因为 (Cu1+C22)"+P(x)(Cu1+C22)+Q(xCw1+C2y2) =(Cuy1′+C2y2")+P(x)(C1+C2y2)+Q(x)(Cu1+C2y2) CIv +P()y1+Q(x)y+C2Dv2 +P(x)y2+2()y2l 0+0=0. 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、线性微分方程的解的结构 简要证明 这是因为 ❖定理1(齐次方程的解的叠加原理) 下页 如果函数y1 (x)与y2 (x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个解 那么y=C1 y1 (x)+C2 y2 (x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 (C1 y1+C2 y2 )+P(x)(C1 y1+C2 y2 )+Q(x)(C1 y1+C2 y2 ) =C1 [y1 +P(x)y1 +Q(x)y1 ]+C2 [y2 +P(x)y2 +Q(x)y2 ] =0+0=0 =(C1 y1 +C2 y2 )+P(x)(C1 y1 +C2 y2 )+Q(x)(C1 y1+C2 y2 )

二、线性微分方程的解的结构 令定理1(齐次方程的解的叠加原理) 如果函数y(x)与y2(x)是方程y+Px)y+Q(x)=0的两个解, 那么y=Cv(x)+C2y2(x)也是方程的解,其中C1、C2是任意常数 今函数的线性相关与线性无关 设yv(x),y2(x),…,yn(x)为定义在区间/上的n个函数.如果 存在n个不全为零的常数k1,k2……,k,使得当x∈/时有恒等式 ky(x)+k2y2(x)+……+knn(x)三=0, 那么称这n个函数在区间上线性相关;否则称为线性无关 举例 (2)函数1,x,x2在任何区间(a,b)内是线性无关的 这是因为对任意k1,k2,k2k1+k2x+k2x2不可能恒为零 首员”上员”这回下页结東

首页 上页 返回 下页 结束 铃 举例: (1)函数1 cos2x sin2x在整个数轴上是线性相关的 这是因为1-cos2x-sin2x 0 举例: (2)函数1 x x 2在任何区间(a b)内是线性无关的 这是因为对任意k1  k2  k3  k1+k2 x+k2 x 2不可能恒为零 二、线性微分方程的解的结构 ❖函数的线性相关与线性无关 下页 ❖定理1(齐次方程的解的叠加原理) 如果函数y1 (x)与y2 (x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个解 那么y=C1 y1 (x)+C2 y2 (x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 设y1 (x) y2 (x)     yn (x)为定义在区间I上的n个函数 如果 存在n个不全为零的常数k1  k2      kn  使得当xI 时有恒等式 k1 y1 (x)+k2 y2 (x)+    + kn yn (x)0 那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关

二、线性微分方程的解的结构 令定理1(齐次方程的解的叠加原理) 如果函数y(x)与y2(x)是方程y+Px)y+Q(x)=0的两个解, 那么y=Cv(x)+C2y2(x)也是方程的解,其中C1、C2是任意常数 今函数的线性相关与线性无关 设yv(x),y2(x),…,yn(x)为定义在区间/上的n个函数.如果 存在n个不全为零的常数k1,k2……,k,使得当x∈/时有恒等式 ky(x)+k2y2(x)+……+knn(x)三=0, 那么称这n个函数在区间上线性相关;否则称为线性无关 判别两个函数线性相关性的方法 对于两个函数,如果它们的比恒为常数,那么它们就线性 相关,否则就线性无关 上页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 对于两个函数 如果它们的比恒为常数 那么它们就线性 相关 否则就线性无关 •判别两个函数线性相关性的方法 二、线性微分方程的解的结构 下页 ❖函数的线性相关与线性无关 ❖定理1(齐次方程的解的叠加原理) 如果函数y1 (x)与y2 (x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个解 那么y=C1 y1 (x)+C2 y2 (x)也是方程的解 其中C1、C2是任意常数 设y1 (x) y2 (x)     yn (x)为定义在区间I上的n个函数 如果 存在n个不全为零的常数k1  k2      kn  使得当xI 时有恒等式 k1 y1 (x)+k2 y2 (x)+    + kn yn (x)0 那么称这n个函数在区间I上线性相关否则称为线性无关

令定理2(齐次方程的通解的结构) 如果函数y(x)与y2(x)是方程y"+P(x)y+Q(x)=的两个线 性无关的解,那么 y=C,(x)+C2y2(x) 是方程的通解,其中C1、C2是任意常数 举例 已知y1=x与y2=e都是方程(x-1)y-xy+y=0的解 因为比值ex不恒为常数, 所以y=x与y2=e在(-∞,+∞)内是线性无关的 因此y1=x与y2=e是方程(x-1)-x+≠=0的线性无关解 方程的通解为y=Cx+C2ex 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 举例: 已知cos x与sin x都是方程y+y=0的解 因为比值 cos x/sin x=cot x不恒为零 所以cos x与sin x在(- +)内是线性无关的 因此cos x与sin x是方程y+y=0的线性无关解 方程的通解为 y=C1 cos x+C2 sin x 举例: 已知y1=x与y2=e x都是方程(x-1)y-xy+y=0的解 因为比值e x /x不恒为常数 所以y1=x与y2=e x在(- +)内是线性无关的 因此y1=x与y2=e x是方程(x-1)y-xy+y=0的线性无关解 方程的通解为 y=C1 x+C2 e x  如果函数y1 (x)与y2 (x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线 性无关的解 那么 y=C1 y1 (x)+C2 y2 (x) 是方程的通解 其中C1、C2是任意常数 ❖定理2(齐次方程的通解的结构) 下页

令定理2(齐次方程的通解的结构) 如果函数y(x)与y2(x)是方程y"+P(x)y+Q(x)=的两个线 性无关的解,那么 y=C,(x)+C2y2(x) 是方程的通解,其中C1、C2是任意常数 推论 如果v(x),y2(x),,yn(x)是方程 y)+a1(x)m1)+…+an-1(x)y+an(x)y=0 的n个线性无关的解,那么,此方程的通解为 y=CV(x)+C222(x)..+Cryn(x) 其中C1,C2,…,Cn为任意常数 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果函数y1 (x)与y2 (x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线 性无关的解 那么 y=C1 y1 (x)+C2 y2 (x) 是方程的通解 其中C1、C2是任意常数 ❖定理2(齐次方程的通解的结构) 如果y1 (x) y2 (x)    yn (x)是方程 y (n)+a1 (x)y (n-1)+    +an-1 (x)y+ an (x)y=0 的n个线性无关的解那么 此方程的通解为 y=C1 y1 (x)+C2 y2 (x)+   + Cn yn (x) 其中C1  C2     Cn为任意常数 •推论 下页

令定理3(非齐次方程的通解的结构) 设y+(x)是方程y"+Px)y+Q(x)=x)的一个特解,Y(x)是方 程y"+P(x)y+Q(x)y=0的通解,那么 ≥=Y(x)+y*(x) 是方程y"+P(x)y+gx)=f(x)的通解 举例 已知Y=C1 COS x+c2sinx是齐次方程y"+y=0的通解, y*=x2-2是非齐次方程y"+y=x2的一个特解,因此 V=C,COS x+C sin x+x2-2 是非齐次方程y+y=x2的通解 上页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: 我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程 y+P(x)y+Q(x)y=f(x) 对应的齐次方程 证明提示: [Y(x)+y*(x)]+P(x)[Y(x)+y*(x)]+Q(x)[Y(x)+y*(x)] = [Y +P(x)Y+Q(x)Y]+[y*+P(x)y*+Q(x)y*] =0+f(x)=f(x) 举例: 已知Y=C1 cos x+C2 sin x是齐次方程y+y=0的通解 y*=x 2-2是非齐次方程y+y=x 2的一个特解因此 y=C1 cos x+C2 sin x+x 2-2 是非齐次方程y+y=x 2的通解 ❖定理3(非齐次方程的通解的结构) 下页 设y*(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解 Y(x)是方 程y+P(x)y+Q(x)y=0的通解 那么 y=Y(x)+y*(x) 是方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的通解