华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十二章（12.9）二阶常系数非齐次线性微分方程

§12.9二阶常系数非齐次线性微分方程 f(x)=Pn(x)e型 二、x)=e[P(x)osam+P(x) sina]型 方程y"+py+q=fx)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程,其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个 特解y=y*(x)之和 Y(x)+y*(x) 首页 页 返回 结束

§12.9 二阶常系数非齐次线性微分方程 一、 f(x)=Pm (x)e x型 二、f(x)=e x [Pl (x)coswx+Pn (x)sinwx]型 首页 上页 返回 下页 结束 铃 方程y+py+qy=f(x)称为二阶常系数非齐次线性 微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应 的齐次方程的通解y=Y(x)与非齐次方程本身的一个 特解y=y*(x)之和 y=Y(x)+y*(x)

f(x)=Pn(x)e型 设方程y"+py+q=Pn(x)e特解形式为*=O(x)e,则得 Q(x)+(24+)Q(x)+(2+p+q)Q(x)=Pn(x)-(大) 提示 y*+py*+qy*-[Q(x)e]+[Qx)eay+qQ(x)e Q"(x)+2Q(x)+2Q(x)]ex+pQ(x)+x)ex+qQ(x)ex [Q"(x)+(2A+p)g(x)+(+p+q)Q(x)]lx 首页上页返回下 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、 f(x)=Pm (x)e x 型 提示 =[Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)]e x  =[Q(x)+2Q(x)+ 2Q(x)]e x+p[Q(x)+Q(x)]e x+qQ(x)e x y*=Q(x)e x 设方程y+py+qy=P  m (x)e x 特解形式为 下页 Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)=Pm (x) ——(＊) 则得 =[Q(x)e x ]+[Q(x)e x ]+q[Q(x)e x y*+py*+qy* ]

f(x=P (x)e型 设方程y"+py+q=Pn(x)e特解形式为*=O(x)e,则得 Q(x)+(24+p)Q(x)+(02+p+q)Q(x)=Pn(x) (大) (1)如果不是特征方程尸2+p+q=0的根,则y*=Qn(x)e 提示 此时2+p2+g≠0 要使()式成立,Q(x)应设为m次多项式: 2m(x)=borm+b rm-l+.+bm-jx+b 首页 上页 返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 此时 2+p+q0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m次多项式 Qm (x)=b0 x m+b1 x m−1+    +bm−1 x+bm  (1)如果不是特征方程r 2+pr+q=0的根则y*=Qm (x)e x  下页 y*=Q(x)e x 设方程y+py+qy=P  m (x)e x 特解形式为 Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)=Pm (x) ——(＊) 则得 一、 f(x)=Pm (x)e x 型

fx)=Pn(x)e型 设方程y"+py+q=Pn(x)e特解形式为*=O(x)e,则得 Q(x)+(24+p)Q(x)+(02+p+q)Q(x)=Pn(x) (大) (1)如果不是特征方程尸2+p+q=0的根,则y*=Qn(x)e (2)如果是特征方程产2+p+q=0的单根,则y*=xQn(x)e 提示 此时2+p4+q=0,但22+p≠0 要使(*)式成立,Qx)应设为m+1次多项式:Q(x)=xQn(x) 其中Q(x)b+bxm-4+…+bmx+bm 厂首页页 返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、 f(x)=Pm (x)e x 型 提示 此时 2+p+q=0但2+p0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+1次多项式 Q(x)=xQm (x) 其中Qm (x)=b0 x m +b1 x m−1+    +bm−1 x+bm  (2)如果是特征方程r 2+pr+q=0的单根 则y*=xQm (x)e x  下页 (1)如果不是特征方程r 2+pr+q=0的根则y*=Qm (x)e x  y*=Q(x)e x 设方程y+py+qy=P  m (x)e x 特解形式为 Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)=Pm (x) ——(＊) 则得

fx)=Pn(x)e型 设方程y"+py+q=Pn(x)e特解形式为*=O(x)e,则得 Q(x)+(24+p)Q(x)+(02+p+q)Q(x)=Pn(x) (大) (1)如果不是特征方程尸2+p+q=0的根,则y*=Qn(x)e (2)如果是特征方程产2+p+q=0的单根,则y*=xQn(x)e (3)如果是特征方程产2+p+q=0的重根,则y*=x2Qn(x)e 提示 此时2+p4+q=0,22+p=0 要使(*)式成立,Q(x)应设为m+2次多项式:Q(x)=x2n(x) 其中Q(x)bn+b1xm-1+…+bnx+bn 首页上页返回 页结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、 f(x)=Pm (x)e x 型 提示 此时 2+p+q=0 2+p=0 要使(＊)式成立 Q(x)应设为m+2次多项式 Q(x)=x 2Qm (x) 其中Qm (x)=b0 x m+b1 x m−1+    +bm−1 x+bm  (3)如果是特征方程r 2+pr+q=0的重根 则y*=x 2Qm (x)e x  下页 (2)如果是特征方程r 2+pr+q=0的单根 则y*=xQm (x)e x  (1)如果不是特征方程r 2+pr+q=0的根则y*=Qm (x)e x  y*=Q(x)e x 设方程y+py+qy=P  m (x)e x 特解形式为 Q(x)+(2+p)Q(x)+( 2+p+q)Q(x)=Pm (x) ——(＊) 则得

☆结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py'+qy=Pm(x)e/lr 有形如 *=xem(r)e 的特解,其中Qn(x)是与Pn(x)同次的多项式,而k按不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2 首页 上页 返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖结论 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=Pm (x)e x 有形如 y*=x kQm (x)e x 的特解 其中Qm (x)是与Pm (x)同次的多项式 而k按不是特征 方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取 为0、1或2 下页

例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解 解齐次方程y-2y-3y=0的特征方程为r2-2r-3=0 因为(x)=Pn(x)e=3x+1,=0不是特征方程的根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=box+b 把它代入所给方程,得 3b0x-2b0-3b1=3x+1. 比较两端x同次幂的系数得b=1,4= 因此所给方程的特解为y*=-x+1 提示:-3b=3, 2b-3b1=1. 特解形式首页上页 返回 下页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示 因为f(x)=Pm (x)e x=3x+1 =0不是特征方程的根 所以非齐次方程的特解应设为 y*=b0 x+b1  把它代入所给方程 得 例1 求微分方程y−2y−3y=3x+1的一个特解 解 齐次方程y−2y−3y=0的特征方程为r 2−2r−3=0 比较两端 x 同次幂的系数 得 b0=−1 3 1 b1 =  因此所给方程的特解为 3 1 y*=−x+  [b0 x+b1 ]−2[b0 x+b1 ]−3[b0 x+b1 ] =−3b0 x−2b0−3b1  =−2b0−3b0 x−3b1 −3b0 x−2b0−3b1=3x+1 提示 −3b0=3 −2b0−3b1=1 比较两端 x 同次幂的系数 得 b0=−1 3 1 b1 =  特解形式

例2求微分方程y"-5y+6=xe的通解 解齐次方程y-5y+6y=0的特征方程为r2-5+6=0, 其根为r1=2,r2=3 因为f(x)=Pn(x)e=xe2,A=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(box+bv)e 把它代入所给方程,得>》 260x+26-6=x 比较系数,得=1,b=-1,故、=水2-12 示:-2b0=1, 2ba-b1=0 特解形式首页上页 返回 下页 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 求微分方程y−5y+6y=xe2x的通解 解 齐次方程y−5y+6y=0的特征方程为r 2−5r+6=0 其根为r1=2 r2=3 提示 齐次方程y−5y+6y=0的通解为Y=C1 e 2x+C2 e 3x  因为f(x)=Pm (x)e x=xe2x  =2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0 x+b1 )e 2x  把它代入所给方程 得 −2b0 x+2b0−b1=x 比较系数 得 2 1 b0 =−  b1=−1 故 x y x x e 2 1) 2 1 比较系数 得 *= (− −  2 1 b0 =−  b1=−1 故 x y x x e 2 1) 2 1 比较系数 得 *= (− −  2 1 b0 =−  b1=−1 故 x y x x e 2 1) 2 1 *= (− −  提示 −2b0=1 2b0−b1=0 >>> 特解形式

例2求微分方程y"-5y+6=xe的通解 解齐次方程y-5y+6y=0的特征方程为r2-5+6=0, 其根为r1=2,r2=3 因为f(x)=Pn(x)e=xe2,A=2是特征方程的单根, 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(box+bv)e 把它代入所给方程,得 260x+26-6=x 比较系数,得=1,b=-1,故、=水2-12 因此所给方程的通解为 y=Celx+Ce3x-(x2+2xje 自 上页 返回 下页 结束 铃

首页首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 求微分方程y−5y+6y=xe2x的通解 解 齐次方程y−5y+6y=0的特征方程为r 2−5r+6=0 其根为r1=2 r2=3 −2b0 x+2b0−b1=x 比较系数 得 2 1 b0 =−  b1=−1 故 x y x x e 2 1) 2 1 比较系数 得 *= (− −  2 1 b0 =−  b1=−1 故 x y x x e 2 1) 2 1 *= (− −  因此所给方程的通解为 x x x y C e C e x x e 3 2 2 2 2 1 ( 2 ) 2 1 = + − +  因为f(x)=Pm (x)e x=xe2x  =2是特征方程的单根 所以非齐次方程的特解应设为 y*=x(b0 x+b1 )e 2x  把它代入所给方程 得 特解形式

二、fx)=e[P(x) COSwX+Pn(x)sinx型 令结论 阶常系数非齐次线性微分方程 y+py'+qy=eIPIx)cosox+P,()sina 有形如 y*=xkelx[rom(x)coax+r(2)m(r)sinox] 的特解,其中R(Dn(x)、R2)m(x)是m次多项式,m=max{,n},而k 按λ+o或-io)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1.>>> 首页 上页 返回 结束 铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、f(x)=e x [Pl (x)coswx+Pn (x)sinwx]型 二阶常系数非齐次线性微分方程 y+py+qy=e x [Pl (x)coswx+Pn (x)sinwx] 有形如 y*=x ke x [R(1) m (x)coswx+R(2) m (x)sinwx] 的特解 其中R(1) m (x)、R(2) m (x)是m次多项式 m=max{l n} 而k 按+iw(或−iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次 取0或1 下页 >>> ❖结论