§12.1微分方程的基本概念 在许多问题中,往往不能直接找出所需要的函 数关系,但是根据问题所提供的情况,有时可以列出 含有要找的函数及其导数的关系式.这样的关系就 是所谓微分方程.微分方程建立以后,对它进行研究, 找出未知函数来,这就是解微分方程. 本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基 本概念. 自
§12.1 微分方程的基本概念 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函 数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出 含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就 是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基 本概念. 首页 上页 返回 下页 结束 铃
例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点Mx,y)处的 切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线的方程为y=y(x),则 2x 上式两端积分,得 y=2xd,即y=x2+C其中C是任意常数 因为曲线通过点(1,2),即当x=1时,y2,所以 2=12+C,C=1 因此,所求曲线方程为y=x2+1. 说明: x=1时,y=2可简记为y=1=2 上页 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设所求曲线的方程为y=y(x), 则 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的 切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解 下页 x dx dy =2 . 上式两端积分, 得 因为曲线通过点(1, 2), 即当x=1时, y=2, 所以 2=1 2+C, C=1. 因此, 所求曲线方程为y=x 2+1. y= 2xdx, 即 y=x 2 +C(其中 C 是任意常数). y= 2xdx, 即 y=x 2 +C(其中 C 是任意常数). 说明 当x=1时, y=2可简记为y| x=1=2
例2列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列 车获得加速度-0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解设列车在开始制动后秒时行驶了s米,则 s"=0.4,s=0-=0,s=0=20. 把等式s"′=-0.4两端积分一次,得s'=0.4t+C 再积分一次,得=0.2+Ct+C2(C,C2都是任意常数) 由s'o=20得20=C1,故s'=-0.4t+20 由s0=-0得0=C2,故s=0.2+20. 令s′=0,得1=50(s)于是列车在制动阶段行驶的路程为 S=0.2×502+20×50=500n) 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶; 当制动时列 车获得加速度−0.4m/s2 . 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 下页 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米,则 s=−0.4, s| s| t=0=20. t=0=0, 把等式s=−0.4两端积分一次, 得s=−0.4t+C1 , 再积分一次, 得s=−0.2t 2 +C1 t +C2 (C1 , C2都是任意常数). 由s| t=0=20得20=C1 , 由s| t=0=0得0=C2 , 故s=−0.2t 2+20t. 故s=−0.4t +20; s=−0.2502+2050=500(m). 令s=0, 得t=50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程为
今几个基本概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的 方程,叫微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫 微分方程的阶 般n阶微分方程的形式为 F(x,y,y,…,y)=0或yn=f(x,y,y,…,y1) 说明: 阶的三阶的 在例1和例2中,如=2和s"=04都是(常)微分方程 首上”返回页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函 数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 说明 在例 1 和例 2 中, x dx dy =2 和 s =−0.4 都是(常)微分方程. ❖几个基本概念 下页 •微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的 方程, 叫微分方程. •微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫 微分方程的阶. 一般n阶微分方程的形式为 F(x, y, y, , y (n) )=0或 y (n)=f(x, y, y, , y (n−1) ). 一阶的 二阶的
微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解 确切地说,设函数y=0(x)在区间/上有n阶连续导数,如果 在区间Ⅰ上, Fx,(x),(x),…,0n)(x)=0, 那么函数y=x)就叫做微分方程F(x,y,y,…,y)=0在区间 上的解. 说明 在例1中,y=x2+C和y=x2+1都方程迎=2x的解 在例2中,方程s"=-0.4的解有 s=0.212+C+C2、s=0.212+20+C2和s=-022+20t 首”员”返回”结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明 •微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y=(x)在区间I上有n阶连续导数, 如果 在区间I上, F[x, (x), (x), , (n) (x)]=0, 那么函数y=(x)就叫做微分方程F(x, y, y, , y (n) )=0在区间I 上的解. 在例 1 中, y=x 2 +C 和 y=x 2 +1 都方程 x dx dy =2 的解. 在例2中, 方程 s=−0.4的解有 s=−0.2t 2+C1 t+C2、s=−0.2t 2+20t+C2和s=−0.2t 2+20t. 下页
微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数 与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解. 特解 确定了通解中的仼意常数以后,就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解叫特解. 通解 特解 说明在例1中,=+C和y=x+1都方程4=2x的解 在例2通解s"=0.什么解? 特解 s=0.22+C1t+C2、s=0.22+201+C2和s=0.22+20t 首”员”返回”结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明 •微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解. 在例 1 中, y=x 2 +C 和 y=x 2 +1 都方程 x dx dy =2 的解. 在例2中, 方程 s=−0.4的解有 s=−0.2t 2+C1 t+C2、s=−0.2t 2+20t+C2和s=−0.2t 2+20t. •通解 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数 与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解. •特解 确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解叫特解. 通解 通解 特解 什么解？ 特解 下页
初始条件 用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件 对于一阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是 当x=x时,y=y0,或写成计=x=1 对于二阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是 当x=x0时,y=y,y=y, 或写成y=x=1,y1x==y 说明 例1是求方程y=2x满足初始条件y=1=2的解 例2是求方程s"=-0.4满足初始条件s=a=0,s=0=20的解 首”员”返回”结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明 对于一阶微分方程, 通常用于确定任意常数的条件是 对于二阶微分方程, 通常用于确定任意常数的条件是 当 0 x=x 时, 0 y= y , 或写成 0 0 y y x=x = . 当 0 x=x 时, 0 y= y , 0 y = y , 或写成 0 0 y y x=x = , 0 0 y y x x = = . 当 0 x=x 时, 0 y= y , 或写成 0 0 y y x=x = . 当 0 x=x 时, 0 y= y , 0 y = y , 或写成 0 0 y y x=x = , 0 0 y y x x = = . 例1是求方程y=2x满足初始条件y| x=1=2的解. 例2是求方程s =−0.4满足初始条件s| t=0=0, s| t=0=20的解. 下页 •初始条件 用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件
初始条件 用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分 曲线 说明: 例2归结为求初值间题{=04 lsl=0=0.sl=2=20 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •初始条件 用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件. 说明 例 1 归结为求初值问题 = = = | 2 2 x 1 y y x 例 2 归结为求初值问题 ; = = =− = = | 0, | 20 0.4 t 0 t 2 s s s . 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. •初值问题 微分方程的解的图形是一条曲线,叫做微分方程的积分 曲线. •积分曲线
例3验证:函数x= C cos kt+C2sink是微分方程 +k2x=0 的解 解求所给函数的导数: -kC sin kt+kC2 cost d2x--k2C coskt-k2C2 sin kt=-k2C cost+C2 Sin kt) 将及x的表达式代入所给方程,得 -k(C cos kt+C sin kt)+k(C cos kt+Csin kt =0 这表明函数x= c, cos ki+C2sink满足所给方程,因此所给函数 是所给方程的解 首贝上贝返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例3 验证 函数 x=C1 cos kt+C2 sin kt是微分方程 2 0 2 2 +k x= dt d x 的解. 解 求所给函数的导数 k C k t k C k t dt dx sin cos =− 1 + 2 , cos sin ( cos sin ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 k C k t k C k t k C k t C k t dt d x =− − =− + . 将 2 2 dt d x 及 x 的表达式代入所给方程, 得 −k 2 (C1 cos kt+C2 sin kt)+k 2 (C1 cos kt+C2 sin kt)0. 这表明函数x=C1 cos kt+C2 sin kt 满足所给方程, 因此所给函数 是所给方程的解. cos sin ( cos sin ) 1 2 2 2 2 1 2 2 2 k C k t k C k t k C k t C k t dt d x =− − =− + . 下页
例4已知函数x=C1cosk+C2sink(k≠0)是微分方程 +k2x=0 dt 的通解求满足初始条件x=A,xl=0的特解 解将条件x=A代入x= C, cos kt+C2 sin kt,得 C1=4 将条件x"0=0代入x(=kC1 sin kt-+kC2 cos kt,得 把C1、C2的值代入x= C, cos kt+C2 sin kt!中,就得所求的特解为 x=Acos kt 首页上页返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例4 已知函数 x=C1 cos kt+C2 sin kt(k0)是微分方程 2 0 2 2 +k x= dt d x 的通解. 求满足初始条件 x| t=0=A, x| t=0=0的特解. 将条件x| t=0=A代入x=C1 cos kt+C2 解 sin kt, 得 C1=A. 将条件x| t=0=0代入x(t)=−kC1 sin kt+kC2 cos kt, 得 把C1、C2的值代入x=C1 cos kt+C2 sin kt中, 就得所求的特解为 x=Acos kt. C2=0. 结束