华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十一章（11.4）函数展开成幂级数

§114函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 函数fx)是否能在某个区间内“展开成幂级 数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某 区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数(x).如果 能找到这样的幂级数,则称函数f(x)在该区间内能展 开成幂级数 自

一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数 §11.4 函数展开成幂级数 函数f(x)是否能在某个区间内“展开成幂级 数” , 就是说, 是否能找到这样一个幂级数, 它在某 区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果 能找到这样的幂级数, 则称函数f(x)在该区间内能展 开成幂级数. 首页 上页 返回 下页 结束 铃

一、泰勒级数 复习 根据泰勒中值定理,如果函数(x)在x0的某邻域内具有各 阶导数,则在该邻域内 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+D01(x-x)2+… f((x) (x-xon+r,(x) 其中R2(x)= (n+1) (x-x0)1(介于x与x之间) 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时,将成为幂级数, 这个幂级数就称为(x)的泰勒级数 上页 返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 ❖复习 根据泰勒中值定理, 如果函数f(x)在x0的某邻域内具有各 阶导数, 则在该邻域内 等式右端的多项式当其项数趋于无穷时, 将成为幂级数, 这个幂级数就称为f(x)的泰勒级数. ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 − +   = +  − + x x f x f x f x f x x x ( ) ( ) ! ( ) 0 0 ( ) x x R x n f x n n n + − + , 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  (介于 x 与 0 x 之间). 下页

一、泰勒级数 ◆泰勒级数 如果函数fx)在点x0的某邻域内具有各阶导数,则幂级数 f(x)+f(x)(x-4"(x) x-x)2+ x-x)3+∴ 3! 称为函数f(x)的泰勒级数 ☆麦克劳林级数 在泰勒级数中取x=0,得 f(0)+f(0)x+ f()(O x2+∴+ rn+ 2 此级数称为fx)的麦克劳林级数 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 ❖泰勒级数 如果函数f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数, 则幂级数 称为函数f(x)的泰勒级数. ❖麦克劳林级数 在泰勒级数中取x0=0,得 此级数称为f(x)的麦克劳林级数. ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 0 − +   − +  +  − + x x f x x x f x f x f x x x , +  + +   +  + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x , 下页

一、泰勒级数 ◆泰勒级数 (x)+()(-5)+2(x=x)+x x-x)3+ 必麦克劳林级数 0+)0x-"(x2+…×<(m+ 显然,当x=x时,fx)的泰勒级数收敛于f(x0) 需回答的问题是:除了x=x0外,八x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛,它是否一定收敛于fx) 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 显然, 当x=x0时, f(x)的泰勒级数收敛于f(x0 ). 需回答的问题是: 除了x=x0外, f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛, 它是否一定收敛于f(x)? +  + +   +  + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x , . ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 0 − +   − +  +  − + x x f x x x f x f x f x x x , . 下页 ❖泰勒级数 ❖麦克劳林级数

一、泰勒级数 ◆泰勒级数 (x)+r(x)-=)+(x)(x-x)+/(x)(x-x)y+ 必麦克劳林级数 0+)0x-"(x2+…×0时的极限为零,即 imR(x)=0(x∈U(x0)> n→>0 页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、泰勒级数 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0 )内具有各阶导数, 则f(x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒 公式中的余项Rn (x)当n→0时的极限为零, 即 ❖定理 lim ( ) 0 ( ( )) 0 R x x U x n n =  → . >>> 定理证明 下页 +  + +   +  + ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 n n x n f x f f f x , . ( ) 3! ( ) ( ) 2! ( ) ( ) ( ) ( ) 3 0 2 0 0 0 0 0 0 − +   − +  +  − + x x f x x x f x f x f x x x , . ❖泰勒级数 ❖麦克劳林级数

◆展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它 定与fx)的麦克劳林级数一致 这是因为,如果(x)在点x=0的某邻域(-R,R)内能展开成x 的幂级数,即 fx)=a0+a1x+a2x2+…+anx+…, 那么有a0=f(0),a(0),a2=了(0 提示:f(x)=a1+2a2x+3ayx4a4x3+5a3x4+…,f(0)=a1 f"(x)=2a2+32a3x+43a4x2+54ax3+…,f"(0)=2a2 f(m(x)=n!an+(n+1)n(n2-1)…2an+1x+……,f(m)(0)=nlan 一首负”负”返回下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它 一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为, 如果f(x)在点x0=0的某邻域(−R, R)内能展开成x 的幂级数, 即 f(x)=a0+a1 x+a2 x 2+    +an x n+    , a   , 0=f(0), a1=f (0),   . 2! (0) 2 f a  = , ! (0) ( ) n f a n n = , 提示: f (x)=2!a2+32a3 x+43a4 x 2+54a5 x 3+    , f (0)=2!a2 . f (n) (x)=n!an+(n+1)n(n−1)2an+1 x+    , f (n) (0)= n!an . 那么有 f (x)=a1+2a2 x+3a3 x 2+4a4 x 3+5a5 x 4+    , f (0)=a1 . 下页

◆展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它 定与fx)的麦克劳林级数一致 应注意的问题: 如果(x)能展开成x的幂级数,那么这个幂级数就是(x)的 麦克劳林级数 但是,如果(x)的麦克劳林级数在点x=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于风x) 因此,如果(x)在点x=0处具有各阶导数,则x)的麦克劳 林级数虽然能作出来,但这个级数是否在某个区间内收敛,以 及是否收敛于fx)却需要进一步考察 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这个幂级数就是f(x)的 麦克劳林级数. 但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x). 因此, 如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳 林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以 及是否收敛于f(x)却需要进一步考察. 应注意的问题: 首页 ❖展开式的唯一性 如果f(x)能展开成x的幂级数, 那么这种展式是唯一的, 它 一定与f(x)的麦克劳林级数一致

二、函数展开成幂级数 今函数展开成幂级数的步骤 第一步求出f(x)的各阶导数:∫(x),f"(x),…,f()(x),…; 第二步求函数及其各阶导数在x=0处的值: f(O),f'(O),f"(0),…,f()(0),…; 第三步写出幂级数 fO)+f(0)x+2(0 2x2+…+m xn+ 并求出收敛半径R; 第四步考察在区间(-R,R内时是否R,(x)→>0(n->∞) 如果R(x)>0(n->∞),则fx)在(-R,R)内有展开式 (x)=f(0+f(0x+/0x2+…+/o +…(-R<x<R) 画首贝贝这回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、函数展开成幂级数 ❖函数展开成幂级数的步骤 •第一步 求出f (x)的各阶导数: f (x), f (x),    , f (n) (x),    ; •第二步 求函数及其各阶导数在x=0处的值: f(0), f (0), f (0),    , f (n) ( 0),    ; •第三步 写出幂级数 •第四步 考察在区间(−R, R)内时是否Rn (x)→0(n→). 如果Rn (x)→0(n→), 则f(x)在(−R, R)内有展开式 ! (0) 2! (0) ( ) (0) (0) ( ) 2 +  + +   = +  + n n x n f x f f x f f x (−RxR). ! (0) 2! (0) (0) (0) ( ) 2 +  + +   +  + n n x n f x f f f x , 并求出收敛半径R; 下页

例1将函数f(x)=e展开成x的幂级数 解显然fm(x)=eY(m=1,2,……),f(n(0)=1(m=1,2,…) 于是得级数 1+x+1x2+ xn+ 它的收敛半径R=+0 对于任何有限的数x、(介于0与x之间),有 R2(x) es (n+D)x+1 ∞(n+ n→>0 ex=1+x+0x2+…-xn+…(-∞<x+∞ 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 将函数f(x)=e x展开成x的幂级数. 解 显然 f (n) (x)=e x (n=1, 2,   ), 于是得级数 f (n) (0)=1(n=1, 2,   ). + + +  +  ! 1 2! 1 1 2 n x n x x , 它的收敛半径R=+. 对于任何有限的数x、 (介于0与x之间),有 而 0 ( 1)! | | lim 1 = + + → n x n n , 所以 lim| ( )|=0 → R x n n , 从而有展开式 ! 1 2! 1 1 2 = + + +  +  x n x n e x x (−<x<+). 而 0 ( 1)! | | lim 1 = + + → n x n n , 所以 lim| ( )|=0 → R x n n 而 0 , 从而有展开式 ( 1)! | | lim 1 = + + → n x n n , 所以 lim| ( )|=0 → R x n n , 从而有展开式 ( 1)! | | | ( 1)! | ( )| | 1 1 | | +   + = + + n x x e n e R x n n x n  , ( 1)! | | | ( 1)! | ( )| | 1 1 | | +   + = + + n x x e n e R x n n x n  , ( 1)! | | | ( 1)! | ( )| | 1 1 | | +   + = + + n x x e n e R x n n x n  , 下页

例2将函数(x)=sinx展开成x的幂级数 解因为f(m(x)=si(x+n·x)(m=-1,2,…), 所以∫(0顺序循环地取0,1,0,-1,…(n=0,1,2,3,… 于是得级数x-x3+x32-.+ 2n-1 35 (2n-1) 它的收敛半径为R+∞ 对于任何有限的数x、5(介于0与x之间,有 (n+1)丌 sinl&+ R2(x) n+1 dr/n+1 (n+1)! →0(n→>∞). (n+ 因此得展开式 D-x X 2n-1 SInx=x +…(-∞<x<+∞). (2n-1 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 将函数f(x)=sin x展开成x的幂级数. 解 因为 ) 2 ( ) sin( ( )  f x = x+n n 解 (n=1, 2,   ), 所以f (n) (0)顺序循环地取0, 1, 0, −1,    (n=0, 1, 2, 3,   ), 于是得级数 +  − − + −  + − − − (2 1)! ( 1) 3! 5! 2 1 1 3 5 n x x x x n n , 对于任何有限的数x、 (介于0与x之间),有 它的收敛半径为R=+. ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 +  + + + = + + n x x n n R x n n n   →0 (n →). ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 +  + + + = + + n x x n n R x n n n   →0 (n →). ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 +  + + + = + + n x x n n R x n n n   →0 (n →). ( 1)! | | | ( 1)! ] 2 ( 1) sin[ | ( )| | 1 1 +  + + + = + + n x x n n R x n n n   →0 (n →). 因此得展开式 sin x= (2 1) ! ( 1) 3! 5! 2 1 1 3 5 +  − − + −  + − − − n x x x x n n (−<x<+). 下页