§4.4有理函数的积分 、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 自
§4.4 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、有理函数的积分 有理函数的形式 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有 如下形式的函数: P(x ox"+air"++am-x+a O(x)borm+b,xm-I++bm-x+b 当n<m时,称这有理函数是真分式;而当n≥m时,称这有理函数 是假分式 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式 例如 x3+x+1x(x2+1)+ x2+1 x2+1 x2+1 上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、有理函数的积分 •有理函数的形式 当nm时, 称这有理函数是真分式; 而当nm时, 称这有理函数 是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数,即具有 如下形式的函数: 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式. 例如 m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + ++ + + ++ + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) , 下页 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x . 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x . 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x
分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式 分解,然后化成部分分式再积分 例1求256 解 x+3 dx x+3 6 dx 2-5x+6 5 dx (x-2)(x-3)x-3x-2 dx 5 dx=6x-3|-5lnx-2|+C x-3 x-2 x+ A,B_(A+B)x+(-2A-3B) (x-2)x-3)x-3x-2(x-2)(x-3) A+B=1,-2A-3B=3,.A=6,B=-5. 上页 返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： − − − = dx x dx x 2 5 3 6 =6ln|x−3|−5ln|x−2|+C. 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解, 则先因式 分解, 然后化成部分分式再积分. 解 例 例 1 1 求 − + + dx x x x 5 6 3 2 . 解 − + + dx x x x 5 6 3 2 − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3 − − − = dx x x ) 2 5 3 6 解 ( − + + dx x x x 5 6 3 2 − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3 − − − = dx x x ) 2 5 3 6 解 ( − + + dx x x x 5 6 3 2 − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3 − − − = dx x x ) 2 5 3 6 ( •分母可因式分解的真分式的不定积分 下页 − − − = dx x dx x 2 5 3 6 =6ln|x−3|−5ln|x−2|+C. A+B=1, −2A−3B=3, ( 2)( 3) ( ) ( 2 3 ) ( 2)( 3) 3 2 3 − − + + − − = − + − = − − + x x A B x A B x B x A x x x , A=6, B=−5. ( 2)( 3) ( ) ( 2 3 ) ( 2)( 3) 3 2 3 − − + + − − = − + − = − − + x x A B x A B x B x A x x x , ( 2)( 3) ( ) ( 2 3 ) ( 2)( 3) 3 2 3 − − + + − − = − + − = − − + x x A B x A B x B x A x x x
分母可因式分解的真分式的不定积分 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解,则先因式 分解,然后化成部分分式再积分 例2求!xx dx 解}xx- x xx dx dx+ dx=In x-1 (x-1) X -x+x x(x-1)2x(x-1)2x(x-1)(x-1)2 x+x x(x-1)(x-1)2xx-1(x-1) 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 解 例 例 3 2 求 − dx x x 2 ( 1) 1 . 解 − + − = − − dx x x x dx x x ] ( 1) 1 1 1 1 [ ( 1) 1 2 2 解 − + − = − − dx x x x dx x x ] ( 1) 1 1 1 1 [ ( 1) 1 2 2 下页 求真分式的不定积分时,如果分母可因式分解, 则先因式 分解, 然后化成部分分式再积分. •分母可因式分解的真分式的不定积分 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − =− − − + = − x x x x x x x x x 2 2 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − = − − + − − + =− x x x x x x x x . − + − = − dx x dx x dx x 2 ( 1) 1 1 1 1 C x x x + − = − − − 1 1 ln| | ln| 1| . − + − = − dx x dx x dx x 2 ( 1) 1 1 1 1 C x x x + − = − − − 1 1 ln| | ln| 1| . 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − =− − − + = − x x x x x x x x x 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − =− − − + = − x x x x x x x x x 2 2 ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 1 ( 1) 1 − + − = − − + − − + =− x x x x x x x x
°分母是二次质因式的真分式的不定积分 例3求∫ x-2 x2+2x+3 解 dx 2x+2 )ab x2+2x+3 2x2+2x+3x2+2x+3 2x+2 dx 2Jx2+2x+3 x2+2x+3 1rd(x2+2x+3) 3门a(x+ 2x2+2x+3(x+1)2+(√2) n(x2+2x+3) arctan x+上+ C √2 2 (2x+2)-3 x-2 x2+2x+3x2+2x+32x2+2x+3 +2x+3 自 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 解 例 例 2 3 求 + + − dx x x x 2 3 2 2 . 解 + + − dx x x x 2 3 2 2 dx x x x x x ) 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 ( 2 2 + + − + + + = dx x x dx x x x + + − + + + = 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 2 2 + + + − + + + + = 2 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 3 2 3 ( 2 3) 2 1 x d x x x d x x C x x x + + = + + − 2 1 arctan 2 3 ln( 2 3) 2 1 2 . 解 + + − dx x x x 2 3 2 2 dx x x x x x ) 2 3 1 3 2 3 2 2 2 1 ( 2 2 + + − + + + = •分母是二次质因式的真分式的不定积分 首页 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 + + − + + − = + + + − = + + − x x x x x x x x x x x . 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 + + − + + − = + + + − = + + − x x x x x x x x x x x . 2 3 1 3 2 3 2 2 1 2 3 (2 2) 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 + + − + + − = + + + − = + + − x x x x x x x x x x x
二、可化为有理函数的积分举例 三角函数有理式的积分 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数 用于三角函数有理式积分的变量代换 设u=tamx,则有 2 2 tan 2 tan 2_2 sinx=2sin--cOS 22 sec2 x 1+tan2 x 1+u 1-tan 2_1-l2 COSX=COS 1+l2 sec 2 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、可化为有理函数的积分举例 三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则 运算所构成的函数. •用于三角函数有理式积分的变量代换 •三角函数有理式的积分 设 2 tan x u= , 则有 下页 2 2 2 1 2 2 1 tan 2 2tan 2 sec 2 2tan 2 cos 2 sin 2sin u u x x x x x x x + = + = = = , 2 2 2 1 2 2 1 tan 2 2tan 2 sec 2 2tan 2 cos 2 sin 2sin u u x x x x x x x + = + = = = , 2 2 2 1 2 2 1 tan 2 2tan 2 sec 2 2tan 2 cos 2 sin 2sin u u x x x x x x x + = + = = = , 2 2 2 1 2 2 1 tan 2 2tan 2 sec 2 2tan 2 cos 2 sin 2sin u u x x x x x x x + = + = = = , 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sec 2 1 tan 2 sin 2 cos cos u u x x x x x + − = − = − = . 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sec 2 1 tan 2 sin 2 cos cos u u x x x x x + − = − = − = . 2 2 2 2 2 2 1 1 2 sec 2 1 tan 2 sin 2 cos cos u u x x x x x + − = − = − =
令 u=tan x,则sinx 2a COSX 2 1+l2 1+l 例4求 1+sinx dx sin x(+cosx) 解令l=tanx,则 2 + 1+sin x dx 1+l 2 sinx(l+cosx 1+2(1+n2、1+2q 2a 1+ (l+2+-)dh (2 22 +2u+n4)+C 小: x=2arctanu, dx 2 1+l 自贝贝返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 提示： 解 令 2 tan x u= , 则 2 1 2 sin u u x + = , 2 2 1 1 cos u u x + − = . 例 例 4 4 求 + + dx x x x sin (1 cos ) 1 sin . 解 令 2 tan x u= , 则 x=2arctanu , du u dx 2 1 2 + = . + + − + + + + = + + du u u u u u u u dx x x x 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 1 2 ) 1 2 (1 sin (1 cos ) 1 sin u u C u du u = u+ + = + + + 2 ln| |) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 x=2arctanu , du u dx 2 1 2 + = . + + − + + + + = + + du u u u u u u u dx x x x 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 1 2 ) 1 2 (1 sin (1 cos ) 1 sin u u C u du u = u+ + = + + + 2 ln| |) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 下页
令 2a u=tan x,则sinx COSX 2 1+l2 1+l 例4求 1+sinx dx sin x(+cosx) 解令l=tanx,则 Qu 1+sin x dx= +u 2 sinx(l+cosx 2a 1-2、1+ (1+1) 1+ 1+ 1(x+2+1=1(2+2+h)+ tan2+tan +In tan l+C 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 令 2 tan x u= , 则 2 1 2 sin u u x + = , 2 2 1 1 cos u u x + − = . 例 例 4 4 求 + + dx x x x sin (1 cos ) 1 sin . 解 令 2 tan x u= , 则 + + − + + + + = + + du u u u u u u u dx x x x 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 1 2 ) 1 2 (1 sin (1 cos ) 1 sin u u C u du u = u+ + = + + + 2 ln| |) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 + + − + + + + = + + du u u u u u u u dx x x x 2 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 (1 1 2 ) 1 2 (1 sin (1 cos ) 1 sin u u C u du u = u+ + = + + + 2 ln| |) 2 ( 2 1 ) 1 ( 2 2 1 2 C x x x = + + |+ 2 ln|tan 2 1 2 tan 2 tan 4 1 2 . 下页
令 2a u=tan x,则sinx COSX 2 1+l2 1+l 说明: 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化 为有理函数的积分.因为这种代换不一定是最简捷的代换 请看如下积分: COSX dx=l d(+sin x)=In(l+sin x)+C I+sin x I+sinx 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 说明： 并非所有的三角函数有理式的积分都要通过上述代换化 为有理函数的积分. 因为这种代换不一定是最简捷的代换. 请看如下积分: 令 2 tan x u= , 则 2 1 2 sin u u x + = , 2 2 1 1 cos u u x + − = . + = + + + = + d x x C x dx x x (1 sin ) ln(1 sin ) 1 sin 1 1 sin cos . + = + + + = + d x x C x dx x x (1 sin ) ln(1 sin ) 1 sin 1 1 sin cos . + = + + + = + d x x C x dx x x (1 sin ) ln(1 sin ) 1 sin 1 1 sin cos . 下页
简单无理函数的积分 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 例5求x-1d 解设x-1=,即x=n2+1,则 dudu= J2+1 L2+1 1+72)du=2(u-arctanu)+C 2x-1-arctan x-1)+C 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 无理函数的积分一般采用第二类换元法把根号消去. 解 •简单无理函数的积分 例 例 5 5 求 − dx x x 1 . 解 设 x−1=u , 即 1 2 x=u + , 则 du u u udu u u dx x x + = + = − 1 2 2 1 1 2 2 2 du u u C u = − + + = − ) 2( arctan ) 1 1 2 (1 2 =2( x−1−arctan x−1)+C . 解 设 x−1=u , 即 1 2 x=u + , 则 du u u udu u u dx x x + = + = − 1 2 2 1 1 2 2 2 du u u udu u u dx x x + = + = − 1 2 2 1 1 2 2 2 du u u C u = − + + = − ) 2( arctan ) 1 1 2 (1 2 下页