华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第四章（4.2）换元积分法

§4.2换元积分法 、第一类换元法 二、第二类换元法 自

§4. 2 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 首页 上页 返回 下页 结束 铃

一、第一类换元法 ◆定理1(换元积分公式) 设()具有原函数,且l=ax)可导,则有换元公式 fl(x)lo()dx=[ f(udu]=p(x) 证设f()的原函数为F(n),则 f(udu= F(u)+C 又因为dF(x)}=F[ox)](x)lbx=o(x)](x)dx, 所以「10x)(x) dx= dFlp()=F(对+C [F(u)+C] = 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、第一类换元法 下页 ❖定理1(换元积分公式) 设f(u)具有原函数, 且u=j(x)可导, 则有换元公式 ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f =j   设f(u)的原函数为F(u), 则 f u du = F u +C  ( ) ( )  又因为 f x  x dx= dF x =F x +C   [j( )]j ( ) [j( )] [j( )] 证 所以 dF[j(x)]=F [j(x)]j(x)dx=f[j(x)]j(x)dx, f x  x dx= dF x =F x +C   f[j(x)]j(x)dx= dF[j(x)]=F[j(x)]+C   [j( )]j ( ) [j( )] [j( )] ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] u x u du u x F u C f = + =j =  =j  ( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] u x u du u x F u C f = + =j =  =j 

一、第一类换元法 ◆定理1(换元积分公式) 设()具有原函数,且l=ax)可导,则有换元公式 ∫/o(oy(x)k=1/)hdn= ☆换元积分过程 设(4)具有原函数f(un),则 ∫/(x(x女=10x)0()=n [F()+C]a=0(x)=F[0(x)]+C 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、第一类换元法 ❖定理1(换元积分公式) 设f(u)具有原函数, 且u=j(x)可导, 则有换元公式 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f j x dj x =  f =j  =[F(u)+C] u=j(x) = F[j(x)]+C  设f(u)具有原函数F(u),则 ❖换元积分过程 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f j x dj x =  f =j  ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f j x dj x =  f =j  =[F(u)+C] u=j(x) = F[j(x)]+C  ( ) [ ( )] ( ) [ ( ) ] u du u x  f j x j x dx =  f =j  

∫八o(x)(xk=」mx)1(x)=J()m=F()+C=F(x)+C 例1∫2cos2x=eo2x(2x)=Jcos2xd(2x) cosudu=sinu+c=sin 2x+c 例2 3+2x (3+2x)dx=2!3+2 d(3+2x) 3+2x x In Ju+C=nIn 3+2x +C 例3∫2x2k=Je(x2)ak=Jed(x2)=Jeht el +c=er+c 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃    f[j(x) ]j(x)dx= f[j(x) ]dj(x)= f (u)du=F(u)+C=F[j(x) ]+C 例 1    例1 2cos2xdx= cos2x(2x)dx= cos2xd(2x) =  cosudu =sinu+C =sin 2x+C  例 2    + + +  = + = + (3 2 ) 3 2 1 2 1 (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1 d x x x dx x dx x 例2 dx u C u = = +  ln | | 2 1 1 2 1 = ln |3+2x|+C 2 1  例 3     xe dx = e x dx = e d x = e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 例 2 2 2 3 e C e C u x = + = + 2  例 1    例 1 2cos2xdx= cos2x(2x)dx= cos2xd(2x)    2cos2xdx= cos2x(2x)dx= cos2xd(2x) =  cosudu = sinu + C =sin 2x+C   cos sin =sin 2x+C  例 2    + + +  = + = + (3 2 ) 3 2 1 2 1 (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1 d x x x dx x dx x 例 2    + + +  = + = + (3 2 ) 3 2 1 2 1 (3 2 ) 3 2 1 2 1 3 2 1 d x x x dx x dx x dx u C u = = +  ln | | 2 1 1 2 1 = ln |3+2x|+C 2 1 dx u C  u = = +  ln | | 2 1 1 2 1 = ln |3+2x|+C 2 1  例 3     xe dx = e x dx = e d x = e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 例 3     xe dx = e x dx = e d x = e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 例 3     xe dx = e x dx = e d x = e du x x x u 2 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 e C e C u x = + = + 2  下页

∫八o(x)(xk=」mx)1(x)=J()m=F()+C=F(x)+C 例4=xa=小=x(1-x)=-x(-x2 1 l2+C=-(1-x2)2+C 例5「 tanxdx= osdx d cosx COSX ∫Mm=-+C=hos+Cc 积分公式: jtanxdx=-Inlcosxl+,jcotxdx=In(sinxl+C 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 4. 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 2 2 2 2 2 x −x dx=− −x −x dx=− −x d −x    例 5.    = =− d x x dx x x xdx cos cos 1 cos sin tan 例4 du u C u =− =− +  ln | | 1 =−ln|cos x|+C  例5 =−  u du=− u +C=− −x 2 +C 3 2 2 3 2 1 (1 ) 3 1 3 1 2 1   tan xdx=−ln|cosx|+C ,  cotxdx =ln |sin x|+C  积分公式： 例 4. 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 2 2 2 2 2 x −x dx=− −x −x dx=− −x d −x    例 4. 1 (1 ) 2 1 1 (1 ) 2 1 1 2 2 2 2 2 x −x dx=− −x −x dx=− −x d −x    =−  u du=− u +C=− −x 2 +C 3 2 2 3 2 1 (1 ) 3 1 3 1 2 1 =− u du=− u +C=− −x +C   2 3 2 2 3 2 1 (1 ) 3 1 3 1 2 1  例 5.    = =− d x x dx x x xdx cos cos 1 cos sin 例 5. tan    = =− d x x dx x x xdx cos cos 1 cos sin tan du u C u =− =− +  ln | | 1 du u C =−ln|cos x|+C  u =− =− +  ln | | 1 =−ln|cos x|+C     f[j(x) ]j(x)dx= f[j(x) ]dj(x)= f (u)du=F(u)+C=F[j(x) ]+C 下页

「o(x)(xk」mx)1(x)=Fx)+C 例6 dx dx a=+x +(x)2a1+( arctan -+c 例7当a>0时, x 一 d=arcsin +C 积分公式: dx=arctan +C dx=arcsin +c a+x a a x a 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃     f[j(x)]j(x)dx= f[jf([xj)](dxj)]j(x ()x=)  dxf=(u)duf[j=(xF)](duj)+(xC)= F[fj(u(x)du)]+=CF(u)+C=F[j(x)]+C 例 例 6 6 . a x d a a x dx a a x dx a x    + = + = + 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 C a x a = arctan + 1  积分公式： 例7 当a0时,   − = − dx a a x dx a x 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 C a x a x d a x = + − =  arcsin 1 ( ) 1 2  C a x a dx a x = + +  arctan 1 1 2 2 , C a x dx a x = + −  arcsin 1 2 2  例 6. a x d a a x dx a a x dx a x    + = + = + 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1 例 6. a x d a a x dx a a x dx a x    + = + = + 2 2 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 ( ) 1 1 1   − = − dx a a x dx a x 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 C a x a x d a x = + − =  arcsin 1 ( ) 1 2    − = − dx a a x dx a x 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 C a x a x d a x = + − =  arcsin 1 ( ) 1 2    − = − dx a a x dx a x 2 2 2 1 ( ) 1 1 1 C a x a x d a x = + − =  arcsin 1 ( ) 1 2  下页

「o(x)(xk」mx)1(x)=Fx)+C 例8「1-111 W-a adx-ax+a dx--dxI ·x-a X+a d(x-a)--1d(x+a) 2aJx-a x+a =o[nx-al-nx+al+C In x+a 积分公式: odx=In 2a+a 积分表 上页 返回 结束

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例8     f[j(x)]j(x)dx= f[jf([xj)](dxj)]j(x ()x=)  dxf=(u)duf[j=(xF)](duj)+(xC)= F[fj(u(x)du)]+=CF(u)+C=F[j(x)]+C 例 9   + − − = − dx a x a x a dx x a ) 1 1 ( 2 1 1 2 2 ] 1 1 [ 2 1   + − − = dx x a dx a x a ( )] 1 ( ) 1 [ 2 1   + + − − − = d x a x a d x a a x a x a x a C a = [ln| − |−ln | + |]+ 2 1 C x a x a a + + − = ln | | 2 1  C x a x a a dx x a + + − = −  ln| | 2 1 1 2 2  例 9   + − − = − dx a x a x a dx x a ) 1 1 ( 2 1 1 2 2 积分公式： 下页

「o(x)(xk」mx)1(x)=Fx)+C 199 ch dx=alch d=ash +C 例10 dInx 1 rd(1+2nx x(1+2hx)1+2lhx21+2nx IIn 2h1+2hx|+C 3/x 例19=215= 2[a3xd3√x evx +c √x 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃     f[j(x)]j(x)dx= f[jf([xj)](dxj)]j(x ()x=)  dxf=(u)duf[j=(xF)](duj)+(xC)= F[fj(u(x)du)]+=CF(u)+C=F[j(x)]+C 例 例 7 9 C a x a a x d a x dx a a x = = +   ch ch sh  例 10    + + = + = + x d x x d x x x dx 1 2ln (1 2ln ) 2 1 1 2ln ln (1 2ln ) = ln |1+2ln x|+C 2 1  例 11 dx e d x e d x e C x e x x x x = = = +    3 3 3 3 3 2 3 3 2 2  例10 例11 例 7 C a x a a x d a x dx a a x = = +   例 7 ch ch sh C a x a a x d a x dx a a x = = +   ch ch sh  例 10    + + = + = + x d x x d x x x dx 1 2ln (1 2ln ) 2 1 1 2ln ln (1 2ln ) 例 10    + + = + = + x d x x d x x x dx 1 2ln (1 2ln ) 2 1 1 2ln ln (1 2ln ) 例 11 dx e d x e d x e C x e x x x x = = = +    3 3 3 3 3 2 3 3 2 例 11 dx 2 e d x e d x e C  x e x x x x = = = +    3 3 3 3 3 2 3 3 2 例 11 dx 2 e d x e d x e C  x e x x x x = = = +    3 3 3 3 3 2 3 3 2 2  下页

含三角函数的积分: 例12m3xdtx=smn2 xsin xdx=」(1 coS xa cosx I dcosx+ cos xdcosx=-cOSx+cos x+C 1513 sin2xcos xdx=sin2 xcos xd sinx ∫sn2x-sin2x)2 sinx (sin x-2sin#x+sinx)sinx uSinx-=sin x+=sinx+C 积分表 首页上页返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃 含三角函数的积分： 例12 例13 例 12   sin xdx = sin xsin xdx 3 2  =− (1−cos x)d cosx 2   =− d cosx+ cos xd cosx 2 =− x+ x+C 3 cos 3 1 cos  例 13   sin xcos xdx = sin xcos xd sin x 2 5 2 4  = sin x(1−sin x) d sin x 2 2 2  = (sin x−2sin x+sin x)d sin x 2 4 6 = x− x+ x+C 3 5 7 sin 7 1 sin 5 2 sin 3 1  例 12   sin xdx = sin xsin xdx 3 2  =− (1−cos x)d cosx 2 例 12   sin xdx = sin xsin xdx 3 2  =− (1−cos x)d cosx 2   =− d cosx+ cos xd cosx 2 =− x+ x+C 3 cos 3 1 cos  例 13   sin xcos xdx = sin xcos xd sin x 2 5 2 4 下页

例14js+2=(s2) i dx+ 2x=)x+Isin 2x+C 例15j121+09hk 4 ∫(+2cos2x+co2x)bx +2cos2x+cos4x)dx 4 42+Sin 2x+sin 4x)+C 3 x+sin 2x+sin 4x+c 84 32 积分表 贝返回 页结束铃

积分表 首页 上页 返回 下页 结束 铃 例14 例15 例 14 ( cos2 ) 2 1 2 1 cos2 cos2     = + + = dx dx xdx x xdx =  dx+  xd x= x+ sin 2x+C 4 1 2 1 cos2 2 4 1 2 1  例 15 xdx x dx 4 2 2 cos (cos )   =  = + x dx 2 (1 cos2 )] 2 1 [  = (1+2cos2x+cos 2x)dx 4 1 2  = + x+ cos4x)dx 2 1 2cos2 2 3 ( 4 1 = x+ x+ sin4x)+C 8 1 sin2 2 3 ( 4 1 = x+ x+ sin4x+C 32 1 sin2 4 1 8 3  例 14 ( cos2 ) 2 1 2 1 cos2 cos 2     = + + = dx dx xdx x 例 14 xdx ( cos2 ) 2 1 2 1 cos2 cos 2     = + + = dx dx xdx x xdx =  dx+  xd x= x+ sin 2x+C 4 1 2 1 cos2 2 4 1 2 1  例 15 xdx x dx 4 2 2 cos (cos )   =  = + x dx 2 (1 cos2 )] 2 1 例 15 xdx x dx [ 4 2 2 cos (cos )   =  = + x dx 2 (1 cos2 )] 2 1 [ 下页