§5.1定积分概念与性质 、定积分问题举例 定积分定义 三、定积分的性质 自
§5.1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数y(x)在区间[a,b上非负、连续.由直线x=a、x=b、 0及曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称 为曲边 y=(x) x=a b O b 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、定积分问题举例 •曲边梯形 设函数y=f(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线x=a、x=b、 y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称 为曲边. 1.曲边梯形的面积 下页
°观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积? y=(x) x=a x=b O b 画演示 页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？ 动画演示 下页
求曲边梯形的面积 (1)分割:a=x0<x1<x2<…<xn1<xn2=b,△x=x-x1 (2)近似代替:小曲边梯形的面积近似为()Ax1(x15<x) (3)求和:曲边梯形的面积近似为∑f(5)Ax i=1 (4)取极限:设=max{Ax1,△x2…,△xn},曲边梯形的面积为 A=im∑f(1)Ax f(r) O a 1 1 xn. 1 b 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 → = = n i i i A f x 1 0 lim ( ) . •求曲边梯形的面积 (1)分割: a=x0< x1< x2< < xn−1< xn =b, xi=xi−xi−1 ; 小曲边梯形的面积近似为f(i )xi (xi−1<i<xi (2)近似代替: ); (4)取极限: 设=max{x1 , x2 ,, xn }, 曲边梯形的面积为 (3)求和: 曲边梯形的面积近似为 ; → = = n i i i A f x 1 0 lim ( ) . 下页
2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v=v()是时间t的连续函数,且 ()20,计算物体在时间段[T1,72]内所经过的路程S (1)分割:1=100 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度v=v(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1 , T2 ]内所经过的路程S. (1)分割: T1=t 0<t 1<t 2< <t n−1<t n =T2 , t i=t i−t i−1 ; (2)近似代替: 物体在时间段[t i−1 , t i ]内所经过的路程近似为 Siv(i )t i ( t i−1< i<t i ); 物体在时间段[T1 , T2 (3)求和: ]内所经过的路程近似为 (4)取极限: 记=max{t 1 , t 2 ,, t n }, 物体所经过的路程为 = n i i i S v t 1 ( ) ; → = = n i i i S v t 1 0 lim ( ) . 首页
二、定积分定义 今定积分的定义 设函数f(x)在区间[a,b上有界 在区间[a,b内插入分点:a=x00时,上述和式的极限存在,且极限值与区间[a,b] 的分法和ξ的取法无关,则称此极限为函数(x)在区间a,b]上 的定积分,记为/(x)d女,即 ,f(x)x=lm∑f(5x 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、定积分定义 ❖定积分的定义 •在小区间[xi−1 , xi ]上任取一点i (i=1, 2,, n), = n i i i f x 1 作和 ( ) ; =max{x1 , x2 ,,xn 记x }; i=xi−xi−1 (i=1, 2,, n), a=x0<x1<x2< <xn−1<x •在区间[a, b]内插入分点: n =b; 设函数f(x)在区间[a, b]上有界. •如果当→0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与区间[a, b] 的分法和i的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上 b a 的定积分 f (x)dx , , 记为 → = = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) . 即 下页
二、定积分定义 今定积分的定义 f(x)dx=lm∑f()△x A)0 °定积分各部分的名称 积分符号,∑f()x 积分和 f(x) 被积函数, fx)dx—被积表达式, 积分变量, 1积分下限, b 积分上限, [a,b]积分区间, 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •定积分各部分的名称 ————积分符号, f(x) ———被积函数, f(x)dx ——被积表达式, x ————积分变量, a ————积分下限, b ————积分上限, [a, b]———积分区间， ❖定积分的定义 → = = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) . 二、定积分定义 = n i i i f x 1 ( ) ———积分和. 下页
二、定积分定义 今定积分的定义 f(x)dx=lm∑f()△x A)0 根据定积分的定义,曲边梯形的面积为A=f(x)dx. 变速直线运动的路程为S=[vod 说明: 定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变 量的记法无关,即 f(x)dx=f(dt=f( 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖定积分的定义 → = = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) . 二、定积分定义 根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为 = b a A f (x)dx . 变速直线运动的路程为S v t dt T T ( ) 2 1 = . = = b a b a b a f (x)dx f (t)dt f (u)du . 说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变 量的记法无关, 即 下页
二、定积分定义 今定积分的定义 f(x)dx=lm∑f()△x A)0 今函数的可积性 如果函数f(x)在区间[a,b上的定积分存在,则称(x)在区 间[a,b]上可积 °定理1 如果函数x)在区间[a,b上连续,则函数fx)在区间[a,b 上可积 ●定理2 如果函数f(x)在区间[a,b上有界,且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间[a,b上可积 百贝贝返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖函数的可积性 如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x)在区 间[a, b]上可积. •定理1 如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b] 上可积. •定理2 如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点, 则函数f(x)在区间[a, b]上可积. ❖定积分的定义 → = = n i i i b a f x dx f x 1 0 ( ) lim ( ) . 二、定积分定义 下页
°定积分的几何意义 当(x)20时,f(x)在[a,b]上的定积分表示由曲线y=x)、直 线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积 当(x)≤0时,(x)在{a,b上的定积分表示曲边梯形面积的 负值 这是因为 /(xk=m∑/()x=-m2[+f(5)Ax=1-f(x)h b y=f(x) f(xdx f()ldx y=/(x) 0 a b 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 •定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线y=f(x)、直 线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的 负值. 这是因为 = =− − =− − → = → = b a n i i i n i i i b a f (x)dx lim f ( ) x lim [ f ( )] x [ f (x)]dx 1 0 1 0 . = =− − =− − → = → = b a n i i i n i i i b a f (x)dx lim f ( ) x lim [ f ( )] x [ f (x)]dx 1 0 1 0 . = =− − =− − → = → = b a n i i i n i i i b a f (x)dx lim f ( ) x lim [ f ( )] x [ f (x)]dx 1 0 1 0 . = =− − =− − → = → = b a n i i i n i i i b a f (x)dx lim f ( ) x lim [ f ( )] x [ f (x)]dx 1 0 1 0 . 下页