华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第十章（10.3.4）连续偏导数

设P(x,y)及Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数, 则P(x,y)x+Qx,y)y在G内为某一函数(x,y)的全微分的充分 必要条件是等式=2在G内恒成立 OX 简要证明先证必要性 假设存在某一函数(x,y),使得dl=Px,y)dx+Q(x,y)dy,则 aP 0au、O Ox oxy’ OxOx ay ayo 因为 au aP a2u 00 连续,所以 axay ay ayax ax 上页 返回

上页 返回 下页 简要证明 先证必要性. 设P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dx+Q(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分 必要条件是等式 x Q y P   =   在 G 内恒成立. 假设存在某一函数u(x y) 使得du=P(x y)dx+Q(x y)dy则 x y u x u y y P    =     =   2 ( )  y x u y u x x Q    =     =   2 ( ) . 因为 y P x y u   =    2 、 x Q y x u   =    2 连续 所以 y x u x y u    =    2 2  即 x Q y P   =   . 下页

设P(x,y)及Q(x,y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数, 则P(x,y)x+Qx,y)y在G内为某一函数(x,y)的全微分的充分 必要条件是等式=2在G内恒成立 OX 简要证明再证充分性 因为在G内=2,所以积分Pxy+xy在 L G内与路径无关在G内从点(xo,y0)到点(x,y)的曲线积分可表 示为 u(x, y)=2 P(,y)dx+@(x, y)dy (xo, yo) 可以证明dla(x,y)=P(x,y)dx+(x,y)dy.> 上页 下页

上页 返回 下页 简要证明 再证充分性. 设P(x y)及Q(x y)在单连通域G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dx+Q(x y)dy在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分 必要条件是等式 x Q y P   =   在 G 内恒成立. 因为在 G 内 x Q y P   =    所以积分 + L P(x, y)dx Q(x, y)dy 在 G内与路径无关. 在G内从点(x0  y0 )到点(x y)的曲线积分可表 示为 u(x y)  = + ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( , ) x y x y P x y dx Q x y dy . 可以证明du(x y)=P(x y)dx+Q(x y)dy. >>> 返回