§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 自
一、连续函数的和、积及商的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 §1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、连续函数的和、积及商的连续性 今定理1 设函数x)和g(x)在点x连续,则函数 f() f(x)+g(x),(x)8(N)(当8(x)≠0时) 在点x也连续.>> 例1因为 Sinx不cosx 都在区间(-∞,+∞)内连续, 所以tanx和cotx在它们的定义域内是连续的 三角函数sinx、cosx、secx、cscx、tanx、cotx在 其有定义的区间内都是连续的 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、连续函数的和、积及商的连续性 ❖定理1 设函数f(x)和g(x)在点x0连续 则函数 在点x0也连续 f(x)g(x) f(x)g(x) ( ) ( ) g x f x (当 g(x0 )0 时) 例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在 其有定义的区间内都是连续的 首页 >>>
二、反函数与复合函数的连续性 今定理2 如果函数(x)在区间x上单调增加(或减少)且连续,那 么它的反函数x-()在区间/={yb=f(x),x∈x}上也是单 调增加(或减少)且连续的. 例2由于y=six在区间[Z]上单调增加且连续, 所以它的反函数 y=arcsin x在区间[-1,1]上也是连续的 同样, y-arccos x在区间[-1,1上是连续的 y= arctan x在区间(-∞,+∞)内是连续的 y= arccot x在区间(-∞,+∞)内是连续的 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、反函数与复合函数的连续性 ❖定理2 如果函数f(x)在区间I x上单调增加(或减少)且连续 那 么它的反函数x=f -1 (y)在区间I y ={y|y=f(x) xI x }上也是单 调增加(或减少)且连续的 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 下页 例 例 2 2 由于 y=sin x 在区间 ] 2 , 2 [ - 上单调增加且连续 同样 y=arccos x 在区间[-1 1]上是连续的 y=arctan x 在区间(- +)内是连续的 y=arccot x 在区间(- +)内是连续的
二、反函数与复合函数的连续性 今定理2 如果函数(x)在区间x上单调增加(或减少)且连续,那 么它的反函数x-()在区间/={yb=f(x),x∈x}上也是单 调增加(或减少)且连续的. 例2由于y=six在区间[Z]上单调增加且连续, 所以它的反函数 y=arcsin x在区间[-1,1]上也是连续的 反三角函数 arcsin x、 arccos x、 arctan x、 arccot x在 它们的定义域内都是连续的 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在 它们的定义域内都是连续的 下页 二、反函数与复合函数的连续性 ❖定理2 如果函数f(x)在区间I x上单调增加(或减少)且连续 那 么它的反函数x=f -1 (y)在区间I y ={y|y=f(x) xI x }上也是单 调增加(或减少)且连续的 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[-1 1]上也是连续的 例 例 2 2 由于 y=sin x 在区间 ] 2 , 2 [ - 上单调增加且连续
今定理3 设函数y=g(x)由函数y=()与函数=g(x)复合而成, U(x)D≈g.若img(x)=l0,而函数y=f()在4连续,则 x→)x lim f[g(x)]= lim f(u=f(u).>>> x->x0 ll→ll 例3求lmnx x→) 3Vx2-9 解imx lim 3Vx2-9 V 提示: x-3 y= 是由y=V与l=3 -3 复合而成的 imx3=1,函数y=√在点n=1连续 x→>3x2 自贝 一上”返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: (1)把定理中的x→x0换成x→可得类似的定理 (2)定理的结论也可写成 lim [ ( ) ] [lim ( ) ] 0 0 f g x f g x x→x x→x = 提示: 9 3 lim 2 3 - - → x x x 6 1 = 函数 y = u 在点 6 1 u = 连续 ❖定理3 例 例 33 求 9 3 lim 2 3 - - → x x x 解 9 3 lim 2 3 - - → x x x 9 3 lim 2 3 - - = → x x x 6 1 解 = 下页 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 Df g U x ( 0 ) 若 0 lim ) 0 g x u x x ( = → 而函数 y=f(u)在 0 u 连续 则 lim [ )] lim ( ) ( )0 0 0 f g x f u f u x x u u ( = = → → 解 9 3 lim 2 3 - - → x x x 9 3 lim 2 3 - - = → x x x 6 1 解 = 9 3 lim 2 3 - - → x x x 9 3 lim 2 3 - - = → x x x 6 1 = 9 3 2 - - = x x y 是由 y = u 与 9 3 2 - - = x x u 复合而成的 >>>
今定理3 设函数y=g(x)由函数y=()与函数=g(x)复合而成, U(x)<D/g·若lmg(x)=,而函数y=f()在4连续,则 x→)x lim flg(x)]=lim f(a)=f(uo) 今定理4 设函数y=g(x)由函数y()与函数l=g(x)复合而成 Ux)D/g若函数l=g(x)在点x0连续,函数y=fan)在点 l6°8(x0)连续,则复合函数y=0x)在点x也连续 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 U(x0 )Df o g 若函数 u=g(x) 在点 x0 连续 函数 y=f(u)在点 u0=g(x0 )连续 则复合函数y=f[j(x)]在点x0也连续 下页 ❖定理4 ❖定理3 设函数y=f[g(x)]由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成 Df g U x ( 0 ) 若 0 lim ) 0 g x u x x ( = → 而函数 y=f(u)在 0 u 连续 则 lim [ )] lim ( ) ( )0 0 0 f g x f u f u x x u u ( = = → →
例4讨论函数y=smn1的连续性 解函数y=sm1是由y=sim及=1复合而成的 sinu当-∞×l<+∞时是连续的, 1当-0<x0和0x+∞时是连续的, X 根据定理4,函数sin1在无限区间(-∞,0)和0,+∞) 内是连续的 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 sin u 当-<u<+时是连续的 例 例 4 4 讨论函数 x y 1 =sin 的连续性 解 函数 x y 1 =sin 是由 y=sin u 及 x u 1 = 复合而成的 x 1 当-<x<0 和 0<x<+时是连续的 首页 解 内是连续的 根据定理 4 函数 x 1 sin 在无限区间(- 0)和( 0 +)
三、初等函数的连续性 今结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 切初等函数在其定义区间内都是连续的 所谓定义区间,就是包含在定义域内的区间 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 三、初等函数的连续性 ❖结论 基本初等函数在它们的定义域内都是连续的 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 注: 所谓定义区间 就是包含在定义域内的区间 下页
今利用连续性求极限举例 例5求m√+x2-1 x→ 0 解1imy1+x 2 x +x2+ Im x→>0 0x(√1+x2+1) X 0 Im 0 x>0√1+x2+12 例6求lm log (+x x→>0x 解lim log (+x) lim log (+x)x=log,e 0 XX 0 In a 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 8 求 x x a x log (1 ) lim 0 + → 例6 例 例 7 5 求 x x x 1 1 lim 2 0 + - → 解 x x x 1 1 lim 2 0 + - → ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 2 2 2 0 + + + - + + = → x x x x x 0 2 0 1 1 lim 0 2 = = + + = → x x x 解 x x a x log (1 ) lim 0 + → x a x x 1 0 = lim log (1+ ) → a ea ln 1 =log = 解 解 解 x x x 1 1 lim 2 0 + - → ( 1 1) ( 1 1)( 1 1) lim 2 2 2 0 + + + - + + = → x x x x x 0 2 0 1 1 lim 0 2 = = + + = → x x x 解 x x a x log (1 ) lim 0 + → x a x x 1 0 = lim log (1+ ) → a ea ln 1 解 =log = x x a x log (1 ) lim 0 + → x a x x 1 0 = lim log (1+ ) → a ea ln 1 =log = 下页 ❖利用连续性求极限举例
今利用连续性求极限举例 例7求mnx-1 x-0 X 解令ax-1=,则x=og(1+1,x>0时t>0,于是 m In x>0x1>0loga(1+) 例顾>> 首页上页返回 下页结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 例 例 9 7 求 x ax x 1 lim 0 - → 令a x 解 -1=t x ax x 1 lim 0 - → = a t t a t ln log (1 ) lim 0 = → + x ax x 1 lim 0 - → = a t t a t ln log (1 ) lim 0 = → + x ax x 1 lim 0 - → = a t t a t ln log (1 ) lim 0 = → + 则x=log a (1+t) x→0时t→0 于是 结束 ❖利用连续性求极限举例 例题>>>