§1.6极限存在准则两个重要极限 准则Ⅰ及第一个重要极限 二、准则Ⅱ及第二个重要极限 自
一、准则I及第一个重要极限 二、准则II及第二个重要极限 §1.6 极限存在准则 两个重要极限 首页 上页 返回 下页 结束 铃
、准则I及第一个重要极限 准则I 如果数列{xn}、{n}及{n}满足下列条件: (1)ynxn≤n(n=1,2,3,…) (2)lim y im z=a n→)00 n 那么数列{xn}的极限存在,且 lim x=a.>> n→0 今准则I 如果函数八(x)、g(x)及h(x)满足下列条件: (1)g(x)≤f(x)≤h(x), (2 )lim g(x)=A, lim h(x=a 那么imf(x)存在,且limf(x)=A 画首贝贝这回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、准则I及第一个重要极限 如果数列{xn }、{yn }及{zn }满足下列条件 (1)ynxnzn (n=1 2 3 ) ❖准则 I ❖准则I 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件 (1) g(x)f(x)h(x) (2)lim g(x)=A lim h(x)=A 那么lim f(x)存在 且lim f(x)=A (2) yn a n = → lim zn a n = → lim 下页 那么数列{xn }的极限存在 且 xn a n = → lim >>>
☆第一个重要极限 lim SInx=1 x→>0x 简要证明参看附图,设圆心角∠AOB=(00 根据准则r, lim ow=1 x→>0x 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖第一个重要极限 显然 BC AB AD ( 因此 sin x x tan x D B 1 O C A x 1 sin lim 0 = → x x x 简要证明 参看附图 设圆心角AOB=x ( 2 0 x ) 从而 1 sin cos x x x (此不等式当 x0 时也成立) 因为lim cos 1 0 = → x x 根据准则 I 1 sin lim 0 = → x x x 下页
☆第一个重要极限 lim SInx=1 x→>0x 注 在极限hmsa()中,只要以(x)是无穷小,就有 a(x) lim sina(x 这是因为,令l=a(x),则l->0,于是 lim sinar=lim sinu__1 a(x) u->0u 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 注: 这是因为 令u=a(x) 则u→0 于是 在极限 ( ) sin ( ) lim x x a a 中 只要a(x)是无穷小 就有 1 ( ) sin ( ) lim = x x a a ( ) sin ( ) lim x x a a 1 sin lim 0 = = → u u u 下页 ❖第一个重要极限 1 sin lim 0 = → x x x
lim SInx=1, lim sinaw)=1(dx)->0) x→>0x a(x) 例1求lim tanx x→>0x 解1 tanx -lim sinx -lim sinx. im- x->0x x-0 x COSx x>0 r x-0 COSX 例2求lim1=C0sx x→>0x 解 1-cOSx 2sin2 x lim -=lim m x->0x 2 x→>0X 2x->0x Sn、2 Im x-)0x 2 自 返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 1 sin lim 0 = → x x x 1 ( ) sin ( ) lim = x x a a (a(x)→0) 例 例 11 求 x x x tan lim →0 解 x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 = → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 = = → x → x x x x 解 解 x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 = → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 = = → x → x x x x 解 x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 = → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 = = → x → x x x x 解 x x x tan lim →0 x x x x cos sin 1 lim 0 = → 1 cos 1 lim sin lim 0 0 = = → x → x x x x 解 例 例 22 求 2 0 1 cos lim x x x − → 首页 2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 = = = → x x x 2 1 1 2 1 2 2 sin lim 2 1 2 2 0 = = = → x x x 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ = 2 0 1 cos lim x x x − → = 2 2 0 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 2 2sin lim x x x x x→ x→ =
二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 提问: 收敛的数列是否一定有界? 有界的数列是否一定收敛? 注 如果x≤xn+1,n∈N,就称数列{xn}是单调增加的 如果x≥xn+1,n∈N,就称数列{xn}是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 首员”上员”这回负结東
首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、准则II及第二个重要极限 注: 如果xnxn+1 nN+ 就称数列{xn }是单调增加的 如果xnxn+1 nN+ 就称数列{xn }是单调减少的 单调增加和单调减少数列统称为单调数列 下页 ❖准则II 单调有界数列必有极限 提问: 收敛的数列是否一定有界？ 有界的数列是否一定收敛？
二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 °准则Ⅱ的几何解释 以单调增加数列为例,数列的点只可能向右一个方向移 动,或者无限向右移动,或者无限趋近于某一定点A,而对有界 数列只可能后者情况发生 x1 x2x3 x455 首页上页返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 M 二、准则II及第二个重要极限 ❖准则II 单调有界数列必有极限 •准则II的几何解释 x1 x2x3 x4x5 xn A 以单调增加数列为例 数列的点只可能向右一个方向移 动 或者无限向右移动 或者无限趋近于某一定点A 而对有界 数列只可能后者情况发生
二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 ◆第二个重要极限 设xn=(+)y,可以证明(1)xn≤xn+1,neN,(2x2<3. 根据准则Ⅱ,数列{xn}必有极限,此极限用e来表示,即 m(1+ e n e是个无理数,它的值是 e=2.718281828459045 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 根据准则II 数列{xn }必有极限 此极限用e来表示 即 ❖第二个重要极限 e是个无理数 它的值是 e=2 718281828459045 e n n n + = → ) 1 lim (1 下页 二、准则II及第二个重要极限 ❖准则II 单调有界数列必有极限 可以证明 (2)x (1)x n3 nxn+1 nN+ 设 n >>> >>> n n x ) 1 =(1+
二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 ◆第二个重要极限 设xn=(+-)y,可以证明(1)xn≤xn+1,neN,(2)xn<3 根据准则Ⅱ,数列{xn}必有极限,此极限用e来表示,即 m(1+ e n 我们还可以证明 im(+-)x=e, 这就是第二个重要极限 百贝贝返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖第二个重要极限 二、准则II及第二个重要极限 ❖准则II 单调有界数列必有极限 e x x x + = → ) 1 lim (1 我们还可以证明 这就是第二个重要极限 根据准则II 数列{xn }必有极限 此极限用e来表示 即 e n n n + = → ) 1 lim (1 可以证明 (2)x (1)x n3 nxn+1 nN+ 设 n n n x ) 1 =(1+
二、准则Ⅱ及第二个重要极限 今准则Ⅱ 单调有界数列必有极限 ◆第二个重要极限 lim(+r=e x->00 X 注: 在极限imn[1+a(x)]x(x)中,只要a(x)是无穷小,就有 in[1+a(x)(x)=e.> 首页上页返回 下页 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖第二个重要极限 二、准则II及第二个重要极限 ❖准则II 单调有界数列必有极限 e x x x + = → ) 1 lim (1 注: 在极限 ( ) 1 lim[1 ( ) ] x x +a a 中 只要a(x)是无穷小 就有 x e + (x) = 1 lim[1 ( )] a a >>>