华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第一章（1.1）映射与函数

§1.1映射与函数 、集合 二、映射 三、函数 自

一、集合 二、映射 三、函数 §1.1 映射与函数 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、集合 1.集合 心集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体 集合可用大写的字母A,B,C,D等标识 元素 组成集合的事物称为集合的元素 集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标 a是集合M的元素记为a∈M,读作a属于M a不是集合M的元素记为agM,读作a不属于M. 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 1.集合 ❖集合 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 集合可用大写的字母A, B, C, D 等标识. ❖元素 组成集合的事物称为集合的元素. 集合的元素可用小写的字母a, b, c, d 等标识. a是集合M的元素记为aM, 读作a属于M. a不是集合M的元素记为aM, 读作a不属于M. 一、集合 下页

集合的表示 ●列举法 把集合的全体元素一一列举出来 例如A={a,b,c,d,e,f,g} °描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成,则M可表示为 M={x|x具有性质P} 例如M={(x,y)x,y为实数,x2+y2=1} 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖集合的表示 •列举法 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A={a, b, c, d, e, f, g}. •描述法 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所 组成, 则M可表示为 M={x | x具有性质P }. 例如M={(x, y)| x, y为实数, x 2+y 2=1}. 下页

◆几个数集 所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集 所有实数构成的集合记为R,称为实数集 所有整数构成的集合记为Z,称为整数集 所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集 子集 如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子 集,记为AcB读作A包含于B) AcB>若x∈A,则x∈B 显然,NcZ,ZQ,QR 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖几个数集 所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集. 所有实数构成的集合记为R, 称为实数集. 所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集. 所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理集. ❖子集 如果集合A的元素都是集合B的元素, 则称A是B的子 集, 记为AB(读作A包含于B). AB若xA, 则xB. 显然, NZ, ZQ, QR. 下页

2.集合的运算 设A、B是两个集合,则 A∪B={xx∈A或x∈B}称为A与B的并集(简称并) A∩B={xx∈A且x∈B}称为A与B的交集(简称交) AB={xxeA且xgB}称为A与B的差集(简称差) AC=M={xxgA}为称4的余集或补集,其中/为全集 如果研究某个问题限定在一个大的集合冲进行,所 研究的其他集合A都是的子集.则称集合为全集或基本 集 上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 2.集合的运算 设A、B是两个集合, 则 AB={x|xA或xB}称为A与B的并集(简称并). AB={x|xA且xB}称为A与B的交集(简称交). A\B={x|xA且xB}称为A与B的差集(简称差). AC=I\A={x|xA}为称A的余集或补集, 其中I为全集. 提示: 如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所 研究的其他集合A都是I的子集. 则称集合I为全集或基本 集. 下页

☆集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合,则有 (1)交换律A∪B=B∪A AoB=BoA (2)结合律(ABC=A∪(B∪C ABC=An(B∩C (3)分配律(4BC=(AC(B∩C), (AnBUC=(AUC)n(BUC) (4)对偶律(AB)F=AC⌒BC,(A∩B)C=AC∪BC (A∪BC=4C∩BC的证明 x∈(4B)xABx∈A且xgB→X∈AC且x∈BC 台x∈ ACOBC,所以(ABC=AC∩BC 首页返回页结東

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖集合运算的法则 设A、B、C为任意三个集合, 则有 (1)交换律 AB=BA, AB=BA; (2)结合律 (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC); (3)分配律 (AB)C=(AC)(BC), (AB)C=(AC)(BC); (4)对偶律 (AB) C=ACBC , (AB) C=ACBC. •(AB) C=ACBC的证明 下页 所以(AB) C=ACBC xA . CBC ,  xAC且xBC x(AB) C xABxA且xB

令直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合,则有序对集合 AxB={(x,y)x∈A且y∈B} 称为集合A与集合B的直积 例如,R×R={(x,y)x∈R且y∈R}即为xOy面上全体点 的集合,RxR常记作R2 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB={(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR={(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点 的集合, RR常记作R2 . 下页

3.区间和邻域 有限区间 数集{xa<x<b}称为开区间, (a,b) 记为(a,b),即(a,b)={xa<x<b} O a,b}{xa≤x≤b}闭区间 [a,b] a,b)={xa≤x<b}-半开区间, (,(b一半开区间「 b x 上述区间都是有限区间,其中 (a,b] a和b称为区间的端点,b-a称为区o 间的长度 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)={x|a<x<b}. [a, b]={x|axb}——闭区间. [a, b)={x|ax<b}——半开区间, (a, b]={x|a<xb}——半开区间. ❖有限区间 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度. 下页 3.区间和邻域

3.区间和邻域 ◆无限区间 a,+∞){xla≤x}, [a,+∞) (( ∞,b]={xx≤b}, o a (-∞,b] a. +oo )={xa<x} O (-∞,b)={xx<b} (-∞,+∞)={xx<+∞} O q b -0.b) b x 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 (-, b]={ x|xb}, (-, +)={ x| |x|<+}. [a, +)={ x|ax}, ❖无限区间 (-, b)={ x|x<b}, (a, +)={ x|a<x}, 下页 3.区间和邻域

◆邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a) 设&>0,则称 U(a,o)=(a-0,a+)={xpx-a<} 为点a的δ域,其中点a称为邻域的中心,δ称为邻域的半 径 V(a, d o a-8 a+x 令去心邻域 Ua, d=xO<r-akO o a-8 aa+8x 自 返回 下页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖邻域 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a). 设>0, 则称 U(a, )=(a-, a+)={x| |x-a|<} 为点a的邻域, 其中点a称为邻域的中心,  称为邻域的半 径. ❖去心邻域 U(a, )={x|0<|x-a|<}. 。 首页