矩阵的特征值与特征向量 特征值与特征向量的求法 利用定义求特征值与特征向量 步骤: (1)由A-EF=0求出A; (2)对2求(4-E)X=0的非零解 例求A=-2-24的特征值与特征向量 24-2
矩阵的特征值与特征向量 一 . 特征值与特征向量的求法 1.利用定义求特征值与特征向量 . 0)( )2( 0|| )1( 求对 的非零解 由 求出 ； 步骤： =− =− XEA EA λλ λ λ . 242 422 221 求例 1 的特征值与特征向量 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − A =
解|A-E|=-2-2-24 4 =(1-)(+2)2-16-16+4(4+2)+4(2+2)+16(-1) -32+24元-28=-(2-)(7+), 故41=几2=2,42=-7为A的特征值 对A=2=2 1-22 A-2E=-2-44000 000 所以(A-2E)X=0的同解方程为x1=-2x2+2x,故
),7()2(28243 )116()24()2(41616)2)((1 242 422 221 || 23 2 2 λλλ λλ λλ λλ λ λ λ λ +−−=−+−−= −+++++−−+−= −− −−− −− 解 λEA =− . 7,2 故 λ = λ21 = λ3 = − 为 A的特征值 , 000 000 221 442 442 221 2 ,2 21 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− −− =− == EA 对 λλ 所以 − XEA = 0)2( 的同解方程为 1 = − + 22 xxx 32 ，故
k1(-2,1,0)+k2(2,0,1)(k,k2不全为零)为A的属于特征值2 的特征向量 同理,4的属于特征值7的特征向量为k(,2,-2)(k≠0) 5-13 例2设A=-15-3r(A)=2,求C及A的特征值 3-3 解因为4|=-15-3=24c-72, 3-3 又r(A)=2,所以A=0,故c=3
. 1 2 21 ) ,()1,0,2()0,1,2( 2 的特征向量 k T +− T kkk 不全为零 为 A的属于特征值 A 7 kk ≠− ).0()2,2,1( 同理， 的属于特征值 的特征向量为 T . 2)(, 33 351 315 设例 2 ，求 及 AcAr 的特征值 c A = ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − = 解 因为 7224 ， 33 351 315 || −= − −− − = c c A 又 Ar = ，所以 = ，故 cA = .3 0|| 2)(
5-13 此时A= 5-3,由A-E=0,得A的特征值 3-33 1=0,2=4,3=9 0100 1000 例3设A= ,若3是A的一个特征值,求:y 00y 00 2 及A的其他特征值
.9,4,0 0|| 333 351 315 1 2 3 === =− ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ − −− − = λλλ 此时 A ，由 λEA ，得 A的特征值 . 3 2100 100 0001 0010 3 及 的其他特征值 设例 ，若 是 的一个特征值，求： A A y y A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ =
11 1-0 0 解设|A-E| 00 11 00 12- =(-1)[(y-)(2-x)-1 =(-1)(+1)[x2-(y+2)+2y-1] 因为3是A的一个特征值,所以3必为2-(y+2)+2y-1=0 的根,由此求得y=2及x2-(y+2)2+2y-1=0的另一根1 故A的全部特征值为-1,1,1,3 注:用定义求特征值与特征向量,最重要的是求出特征值.为 此,首先求出矩阵的特征多项式,并将它按降幂排列,然后通过 试根或因式分解将其化为一次式的乘积,从而求出特征值.求特 征向量即求齐次方程组(A-E=0的基础解系
].12)2()[1)(1( ]1)2)()[(1( 2100 00 1 1 00 001 || 2 2 −++−+−= −−−−= − − − − =− yy y y EA λλλ λ λ λλ λ λ λ λ 设解 λ 1,1,1,3. 1 012)2( 2 3 012)2( 3 2 2 − =−++−= =−++− 故 的全部特征值为 的根，由此求得 及 的另一根 ， 因为 是 的一个特征值，所以 必为 A y yy A yy λ λ λ λ 注：用定义求特征值与特征向量，最重要的是求出特征值. 为 此，首先求出矩阵的特征多项式，并将它按降幂排列，然后通过 试根或因式分解将其化为一次式的乘积，从而求出特征值. 求特 征向量即求齐次方程组 (A - λE)X=0 的基础解系
2利用公式求特征值与特征向量 设λ为n阶方阵A的特征值,a为A的对应于特征值x的 特征向量,i=1,2,…,n则 (1)f(4)的特征值为f(2),对应于f(4)的特征向量为a i=1,2,…,n,其中f(x)为x的多项式 (2)设A可逆,则A的特征值为x,对应于2的特征向 量为a,i=1,2,…,n A (3)设A可逆,则A*的特征值为,对应于的特征 向量为an=1,2,…,n (4)A的特征值为λ,=1,2,…,n
2.利用公式求特征值与特征向量 特征向量 则 阶方阵为设 的特征值， 为 的对应于特征值 的 ,n,,i .21, i An i A i = L λ α λ . )( ,,2,1 )( )1( )( )( ，其中 为 的多项式 的特征值为 ，对应于 的特征向量为 xxfni Af f f , i i i = L λ λ α .,,2,1 )2( 1 1 1 n,i A A i i i = L − − − α λ λ 量为 设 可逆，则 的特征值为 ，对应于 的特征向 .,,2,1 || || * )3( n,i A A A A i i i α = L λ λ 向量为 设 可逆，则 的特征值为 ，对应于 的特征 A )4( ni .,,2,1, i T 的特征值为λ = L
(5)若B=PAP,则B的特征值为λ,对应于的特征向量 为P n 例4设A=24-2|与B=020相似,求:a,b 3-3a 及矩阵A的特征值与特征向量. 解因为A~B,故A与B有相同的特征值.又B的特征值 为2,2,b,所以A的特征值也为2,2,b 1-A-11 由于|A-EF=24--2 3a- (4-2)[2-(a+3)2+3(a-1)
.,,2,1, )5( 1 1 niP BAPPB i i i = L = − − α λ λ 为 若 ，则 的特征值为 ，对应于 的特征向量 . , 00 020 002 33 242 111 4 及矩阵 的特征值与特征向量 设例 与 相似，求： A ba b B a A ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ = ⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎝⎛ −− − − = ,2,2 .,2,2 ~ . Ab b BABA B 为 ，所以 的特征值也为 解 因为 ，故 与 有相同的特征值 又 的特征值 )],1(3)3()[2( 33 242 111 || 2 −++−−−= −−− −− −− =− a a a EA λλλ λ λ λ 由于 λ
所以2是2-(a+3)2+3(a-1)=0的根,将2代入,得a=5, 并求得x-(a+3)+3(a-1)=0的另一根为6,即A的特征值 为2,2,6,故b=6 当41=2=2时 A-2E=222-000 3-33 000 线性无关的特征向量为a1=(10,1)及a2=(0,1,1) 当3=6时 5-1130-1 A-6E=2-2-2032 3-3-1)(000
.6 6,2,2 0)1(3)3( 6 5, 2 0)1(3)3( 2 2 2 = =−++− =−++− = b a a A a a a 为 ，故 并求得 的另一根为 ，即 的特征值 所以 是 的根，将 代入，得 λλ λλ , 000 000 111 333 222 111 2 2 21 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − −− =− == EA 当 λλ 时 .)1 ,1 ,0( )1 ,0 ,1( 1 2 T T 线性无关的特征向量为 α = 及 α = , 000 230 103 133 222 115 6 6 3 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− −− −− =− = EA λ 时当
特征向量为a3=(-2,3) 例5已知三阶方阵A的三个特征值为,-2,-3,求:|4及 A,A*,A2+2A+E的特征值 解|A|=1·(-2)·(-3)=6; A的特征值为 A*的特征值为:6,-3,-2, A2+2A+E的特征值为:2+21+1,(-2)2+2.(-2)+1 (-3)2+2(-3)+1,即4,1,4
.)3 ,2 ,1( 3 T 特征向量为α −= . 2*,, 5 || 3 2 1 1 2 的特征值 例 已知三阶方阵 的三个特征值为 ，，， 求： 及 EAAAA A A ++ −− − 解 A −⋅= ⋅ − = ;6)3()2(1|| ; 3 1 , 2 1 ,1 1 −− A− 的特征值为： A *的特征值为：− − ;2,3,6 .4 ,1 ,4 1)3(2)3( 2 ,1)2(22)( ,1121 2 2 2 2 ，即 的特征值为： +−⋅+− ++ EAA +−⋅+−+⋅+
例6设三阶方阵A的特征值为1,-1,2,B=A3-5A2,求B的 特征值及|A-5E 解B的特征值为:=4,-6,-12 因为A-5E的特征值为:-4,-6,-3,所以 A-5E=(-4)(-6)·(-3)=-72 例7设2=2是A的特征值,求:4-A3|的一个特征值 4 解2A-A3的一个特征值为 4 2·2 2 4
解 B的特征值为：− − −12.6,4, .72)3()6()4(|5| 5 3 6 4 −=−⋅−⋅−=− − −−− EA 因为 EA 的特征值为： ，，， 所以 .|5| 6 5,2,1,1 23 EA A BAAB − −=− 特征值及 例 设三阶方阵 的特征值为 ，求 的 . 4 1 2 7 2 1 是设例 的特征值，求： 3 的一个特征值 − ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ λ = A − AA . 2 7 2 4 1 22 4 1 2 1 3 1 3 ⎟ = ⎠⎞ ⎜⎝⎛ ⋅−⋅ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − − − 解 AA 的一个特征值为