2相关性的判定定理 定理3:在一个向量组中,若有一个部分向量组线性相关, 则整个向量组也必定线性相关。 推论:一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。 定理4:m个n维向量a;=(an1,a12,…,an)(=1,2;…m)线性 相关的充要条件是由a1(=12,…m构成的矩阵 11a12 aIn A 2 21 22 2n m1 am2 的秩r(4)<m
2.相关性的判定定理 定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。 推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。 .)( ),2,1( 4 ),2,1(),,,( 21 2221 2 1211 1 2 1 21 mAr aaa aaa aaa A mi nm miaaa mm mn n n m i iniii < ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ =⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = = = = 的秩 相关的充要条件是由 构成的矩阵 定理 个： 维向量 线性 L MLMM L L M L L L α α α α α
例:讨论a1=(1,2,-1),a2=(2,-31)2a3=(442-1)相关性 解: 2 2-310-73 0-73 4 0-73 000 r(4)=2<3→a1,2,x3线性相关 例2:为何值时,向量组a1=(1,4,2),a2=(2,1,32,3), a3=(2,32,2,5),a4=(1,3,-,,)线性相关? 解: 21323|0-110-1 A 2 232250 3 13-11x)(02-202-2
例 1：讨论 α1 α 2 α 3 −=−=−= )1,1,4(),1,3,2(),1,2,1( 的相关性。 解： ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 114 132 121 3 2 1 α α α A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 370 370 121 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 000 370 121 Ar <=∴ 32)( ⇒ ,, ααα 321 线性相关。 ，，，，（ ）， ，，，，（ ）线性相关？ ：例 为何值时，向量组 ，，，，（ ）， ，，，，（ ）， α α λ λ α α 52232 1131 2 21111 32312 3 4 1 2 = −= = = 解： ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = α λ α α α 1131 52232 32312 21111 4 3 2 1 A → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 20220 10010 10110 21111 λ
12 A→0-110-1 0-1 → 01001 00100 02-202-2 00002-4 →=4时,r(A)=3<4,12a2,C324线性相关 证明定理4 →":a1,a2,…,am线性相关, 由定理1知,必有某个向量(不妨设am)可由其余m-1个 向量线性表示为am=k11+…+km=1m=1 写成分量形式为am=k141j+k242j+…+km-1am-1, 对A作初等变换
A → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 20220 10010 10110 21111 λ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 40000 00100 10110 21111 λ λ =⇒ 时， Ar <= ,43)(4 ,,, αααα 4321 线性相关。 证明定理4. ⇒ :"" ,,, , 21 L ααα m线性相关 = − m m m α α 向量线性表示为 由定理 1知，必有某个向量（不妨设 )可由其余 1 个 11 + + mm −− 11 k α L k α 写成分量形式为 mj = + 2211 jj + L + akakaka −− ,11 jmm 对A作初等变换
12 A= 1.2 m-1,n 2 a 12 → →r(4)0,且A的最左上角的阶子式D≠0 考虑A的r+1阶子式
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − −− − m m mn m m nm n m m aa a aa a aa a A L L MLMM L M 21 2,11,1 ,1 11 12 1 1 1 α α α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → −− − 00 0 2,11,1 ,1 11 12 1 L L MLMM L m m nm n aa a aa a ⇒ )( ,0 ≠ 0 且A的最左上角的 阶子式Dr r 考虑 A 的 r+1阶子式
(A)=r→D,+1=0 r+1,1 r+1,rr+1 将D按最后一列展开,有: A1+a2142+ D.=0 +ariA +ar+l,yr 按向量形式写,上式为: J=1,2 14+a242+…+aA+ar+1D=0 D,≠0,→a1,a2,…ar+线性相关 从而a12a2…,am线性相关。 推论1:当m>n时,m个n维向量线性相关
r jrrr r jrrr jr r a aa a aa a aa D 1,1 ,1,1 1 , 11 ,11 1 + ++ + = L L MMLM L )( 0 = ⇒ DrAr r+1 = 将D j按最后一列展开，有： + jj 2211 +L+ + + ,1 DaAaAaAa rjrjrj = 0 按向量形式写，上式为： = L,,2,1 nj α +α AA 2211 +L+α +α +1DA rrj = 0 Q Dr ≠ ,0 ⇒ ,,, , α α 21 L α r+1线性相关 从而α α21 L,,, α m线性相关。 推论1：当m>n时，m个n维向量线性相关
推论2:任意m个n维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A=Ann的秩r()=m 推论3:任意n个n维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的方阵A的行列式不等于零。或r(4)=n 推论4:任意n个n维向量线性相关的充要条件是由它们 构成的方阵A的行列式等于零。或)<n 定理5:若m个r维向量 1,0li2 线性无关,则对应的m个r+1维向量 B1=(a1,12,…,an2a1r+1)(i=1,2,…,m) 也线性无关 用语言叙述为: 线性无关的向量,添加分量后仍旧线性无关。 推论:r维线性无关的向量,添加nr个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关
推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A= A ×nm 的秩r(A)=m。 推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n. 推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)<n. 定理5：若 m 个 r 维向量 线性无关，则对应的 m 个r+1 维向量 也线性无关。 ),,2,1(),,,( 21 miaaa α = L iriii = L ),,2,1(),,,,( β = 21 L riiriii +1, = L miaaaa 用语言叙述为： 线性无关的向量，添加分量后仍旧线性无关。 推论：r 维线性无关的向量，添加 n-r 个相应分量组成的n 维向量仍旧线性无关
证明 12 A 2 21 22 2 C心(d1 aml am2 12 r+1 22 a2r r+ B 2 m2 mr+ →m=r(A)≤r(B)≤m→r(B)=m 尻,B2,…,Bn线性无关
证明： ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = mm mr r r m aaa aaa aaa A L MLMM L L M 21 2221 2 1211 1 2 1 α α α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + + + 21 1, 2221 1,22 1211 1,11 2 1 mm rmmr rr rr m aaaa aaaa aaaa B L MMLMM L L M β β β =⇒ ≤ )()( ≤ mBrArm ⇒ )( = mBr ∴ β β 21 L ,,, β m线性无关
向量组的极大无关组 定义1:设向量组T的部分向量组a1,a2…,a,满足 (1)a12a2…,a,线性无关; (i)T中向量均可由a1,a2,…,,线性表示。 或T中任一向量a.a,a1,a2,…,a,线性相关 则称a1、a2,…,a是向量组T的一个极大线性 无关组,简称极大无关组。 极大无关组的含义有两层:1无关性:2极大性 注1线性无关向量组的极大无关组就是其本身; 2向量组与其极大无关组等价 3同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的
向量组的极大无关组 定义 1：设 向量组 T 的部分向量组 α α 21 L ,,, α r满足 i α α 21 L,,,)( α r线性无关； )( Tii 中向量均可由 α α 21 L ,,, α r线性表示。 或 T 中任一向量 α. α α α 21 L ,,,, α r线性相关。 则称 α α 21 L ,,, α r是向量组 T 的一个极大线性 无关组，简称极大无关组。 极大无关组的含义有两层： 1无关性;2.极大性. 注:1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身 ; 2.向量组与其极大无关组等价; 3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间是 等价的
例:求向量组的极大无关组 1=(12,-1),a2=(2,-31),C3=(4,-1) 2 2-31)0-73|>0-73 41 0-73 000 r(A)=2<3→1,a2,a3线性相关。 但a12a2线性无关,a12a2是一个极大无关组; a12a3也线性无关,:a1,ax3也是一个极大无关组
例:求向量组的极大无关组. )1,1,4(),1,3,2(),1,2,1( α1 = − α2 = − α3 = − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 114 132 121 3 2 1 α α α A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − → 370 370 121 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − → 000 370 121 Ar <=∴ 32)( ⇒ α α ,, α321 线性相关。 但 α ,α 21 线性无关， ∴ α ,α 21 是一个极大无关组； α ,α31 也线性无关， ∴ α ,α31 也是一个极大无关组
极大无关组的性质 定理1:设有两个n维向量组 ai.c ()B12B2,…,B 若向量组(线性无关,且可由向量组)线性表 示,则r≤s B1(B1 证:设 C 12 n B A 2 21422 a2n C B 月(b1b12…bn O 2 B 2 O b)∴r=r(A)≤r(C)≤S
极大无关组的性质 定理 1 ：设有两个 n维向量组 ,,,,)( 21 r I α α L α ,,,,)( 21 s II β β L β 若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表 示，则r ≤ s. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = rr rn n n r aaa aaa aaa A L MLMM L L M 21 2221 2 1211 1 2 1 α α 证：设 α ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ss sn n n s bbb bbb bbb B L MLMM L L M 21 2221 2 1211 1 2 1 β β β ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = r s C α α α β β β M M 2 1 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → O O O s M M β β β 2 1 ∴ = ≤ )()( ≤ sCrArr
