马可夫链问题
马可夫链问题
1.定义 在生物、经济、工程、物理、化学等领域有很多现象 或过程常常按同一模式反复发生多次,每一过程产生的结果 都是某几个特定结果之一,并且每一次过程产生的结果都只 依赖于上一次过程的情况 马可夫链就是用来描述上述问题的一个数学模型。如果 个向量的各个分量都是非负数并且它们的和等于1,则称 这个向量为概率向量。列向量为概率向量的方阵称为统计局 阵。设P为一个统计局阵,由概率向量 P 0 Px. x,= px 构成的序列称为马可夫链
1. 定义 在生物、经济、工程、物理、化学等领域有很多现象 或过程常常按同一模式反复发生多次，每一过程产生的结果 都是某几个特定结果之一，并且每一次过程产生的结果都只 依赖于上一次过程的情况。 马可夫链就是用来描述上述问题的一个数学模型。如果 一个向量的各个分量都是非负数并且它们的和等于1，则称 这个向量为概率向量。列向量为概率向量的方阵称为统计局 阵。设 为一个统计局阵，由概率向量 P , 0 x , = Pxx 01 , = Pxx 12 , = Pxx 23 LL 构成的序列称为马可夫链
2.实际问题 已知某地区2000年城市和农村人啁分剔为 和 记 ,表示2000年的人口向量,对2001 及其以后的年份,其相应的人口向量分别用下列向 量表示: 人口统计显示,每年有5%的城市人口流向农村,同时 又有3%的农村人口流向城市。于是,一年以后城
2. 实际问题 已 知 某 地 区 2000 年城市和农村人口分别为 和 ，， 0r 0 s 记 ，表示2000年的人口向量，对2001 及其以后的年份，其相应的人口向量分别用下列向 量表示： ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 00 0 sr x ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 11 1 sr x ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 22 2 sr x ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 33 3 sr ， ，， x LL 人口统计显示，每年有 5% 的城市人口流向农村，同时 又有 3% 的农村人口流向城市。于是，一年以后城
人口和农村人口S分别重新分布为人口向量 0.95 0.95 0.95 0.95 0.05 0.05 0.05 0.05 于是,2001年的人口向量为 0.95 0.03(0.950.97/n S 0.05 0.97)(0.050.03人s M x,= Mo
人口 和农村人口 分别重新分布为人口向量 0r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 05.0 95.0 05.0 95.0 0 0 0 r r r ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 05.0 95.0 05.0 95.0 0 0 0 r r r ， 0 s 于是，2001年的人口向量为 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ +⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 0 0 2 1 03.005.0 97.095.0 97.0 03.0 05.0 95.0 s r sr r r 即 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 1 1 s r M s r , 1 = Mxx 0
其中 0.950.03 M 0.050.97 我们把M称为迁移矩阵。如果人口流动的百分率 保持不变,则可以得到: x+1=Mx,其中k=12
鱹 鱹 鱹 鴠 鰙 鐌 鐌 鐌 鑮 鎪 − − − −− =− 90.010035.0 10.095.0250 45.040.01 AE 我们把 M 称为迁移矩阵。如果人口流动的百分率 保持不变，则可以得到： cv , k 1 Mxx k 其中 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 97.005.0 03.095.0 M + = 其中 k = ,2,1 LL
3.例题 已知某地区2000年城市和农村人口分别为60万 和40万,人口迁移矩阵为: 0.950.03 M 0.050.97 求2001年和2002年的人口分布向量。 60 解:2000年的人口分布向量为x 40 于是2001年和2002年的人口分布向量分别为
3. 例题 已知某地区2000年城市和农村人口分别为60万 和40万，人口迁移矩阵为： 求2001年和2002年的人口分布向量。 解：2000年的人口分布向量为 ， 于是2001年和2002年的人口分布向量分别为： ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 4060 0 x ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 97.005.0 03.095.0 M
0.950.0360)582 0.050.97人40)(41.8 0.950.0358.2)56.5 0.0509741.8(43.5
, 8.41 2.58 40 60 97.005.0 03.095.0 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x = . 5.43 5.56 8.41 2.58 97.005.0 03.095.0 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ x =
4.稳定状态向量 设P是一个统计矩阵,如果存在一个概率向量 q使得Pq=q,,则称q为统计矩阵P的稳定状 态向量 容易验证,对于前面例题中的矩阵M,向量 0.375 q 0625/是它的状态稳定向量。 例题已知统计矩阵P= 0.60.3 为 0407 求它的状态稳定向量
4. 稳定状态向量 设 P 是一个统计矩阵，如果存在一个概率向量 q 使得 ， 则称 q 为统计矩阵 P 的稳定状 态向量。 qPq , 容易验证，对于前面例题中的矩阵 M , 向量 ⎟⎟ 是它的状态稳定向量。 ⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = 625.0 375.0 q = 例题 已知统计矩阵 为： 求它的状态稳定向量。 , 7.04.0 3.06.0 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ P =
解首先解下列方程P (P-)x=0,其中 0.60.3(10 0.40.3 P-= 040.7(0 0.4-0.3 容易求得/4是它的一个解。于是可得关于 P稳定状态向量 7
解 首先解下列方程 = xPx , 即 − xIP = ,0)( 其中 , 3.04.0 3.04.0 10 01 7.04.0 3.06.0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ IP =− 容易求得 是它的一个解。 于是可得关于 P 稳定状态向量 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 4 3 . 4 7 3 0 ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎛ x = ⎝ 7 ⎠
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