矩阵 矩阵的秩及其求法 1.利用定义求矩阵的秩 利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是 否为零来确定矩阵的秩 例1设A=(an)m为非零矩阵,A为a的代数余子式, 若an=A,求r(A) 解因为A≠0,所以至少有一个元素an≠0 将|A|按第i行展开,有
矩阵 一 . 矩阵的秩及其求法 1. 利用定义求矩阵的秩 利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是 否为零来确定矩阵的秩. ).( )( 1 ArAa aA aA ijij nnij ijij ＝若 ，求 设例 = × 为非零矩阵， 为 的代数余子式， 解 因为A ≠ 0 ，所以至少有一个元素aij ≠ 0； 将 按第iA || 行展开，有
1A=∑a4=∑a>0 故r(A)=n 注:我们一般在两个地方用到A;一是行列式按行(列)展开 另一个是A*;若在A*中用,这时题目常常与求逆有关 例2设A为n阶方阵且r(A)=n-2,求r(A*) 解由r(4)=n-2知:A的所有n-1阶子式全为零, 故A*=0,从而r(A*)=0
|| ,0 1 2 1 ∑∑ >== = = n j ij n j ijij aAaA 故 = nAr .)( 另一个是 若在； * * 中用，这时题目常常与求逆有关. 注：我们一般在两个地方用到 ；一是行列式按行（列）展开； AA Aij 为设例 nA 阶方阵且 Ar ＝n－ ，求 A*r .)( 2)( 2 由解 = − 2)( 知： 的所有nAnAr − 1阶子式全为零， 故 A = ，从而 Ar = .0*)(0*
例3设A= 若r(A)=3,求a 解因为r(4)=3,所以|A0,目 A|= (a+3)(a-1)=0 当a=1时,A
.3)( 111 111 111 111 3 aAr a a a a 设例 A ，若 = ，求 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ = 解 因为 Ar = ，所以 A = 0||3)( ，即 .0)1)(3( 111 111 111 111 || 3 = aa =−+= a a a a A 当 时， ， 1)( ； 1111 1111 1111 1111 1 = ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ A a == Ar
当a=-3时,41-311 由于A的3阶子式 31=-16≠0, r(4)=3,故a=-3 有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式,见例4
当 时， ， ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛ − − − − =−= 3111 1311 1131 1113 3 A a ＝－ ， － － － 阶子式的由于 016 311 131 113 A 3 ≠ = ，故aAr = − .33)( 有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式，见例4
例4设A为m×n矩阵,B为n×m矩阵,且m>n, 求证|AB=0 证因为r(AB)≤r(4)≤min{m,n}=n,而AB为m阶方阵, 且m>n,故AB为降秩方阵,从而|AB=0. 2.利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩,就是利用初等变 换将A化为阶梯阵,然后由阶梯阵的秩确定A的秩 这是一类非常基本的题目,必须做到会做且做对
.0|| 4 = × × > AB mnBnmA nm 求证 为设例 矩阵， 为 矩阵，且 ， . 0|| },min{)()( > = ≤≤ = ABnm AB mABnnmArABr 且 ，故 为降秩方阵，从而 因为证 ，而 为 阶方阵， 2. 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，就是利用初等变 换将 A 化为阶梯阵，然后由阶梯阵的秩确定 A 的秩. 这是一类非常基本的题目，必须做到会做且做对
例5设A=4t312,问t为何值时,r(A)<3 2-2 解因为A54,3 300 3÷72 0t-811 0-77 0-11021210-110 0t-8110 0t+300 欲使r(4)<3,则t+3=0,即t=-3
.3)( 9113 1234 3221 5 < ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 设例 = tA ，问 t 为何值时， Ar 解 因为 A 3,4 1312 −− rrrr ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 0770 01180 3221 t 7 23 ↔÷ rr ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − 01180 0110 3221 t , 0030 0110 3221 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − t 11 23 − rr 欲使 < ，则t r(A) + = ，即 = -t .3 03 3
102 例6设A为4×3阶矩阵且r(4)=2,B=020求r(AB) 103 解因为B|020,所以r(B)=3,即B为满秩阵, 005 从而r(AB)=r(4)=2
).( . 301 020 201 A为设例 阶矩阵且 ， 2)( 34 6 BAr 求 ABr ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − × == 因为解 B 13 +rr , 500 020 201 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 所以 Br = ，即 B 3)( 为满秩阵， 从而 = ArABr = .2)()(
逆阵及其求法 1.利用伴随矩阵A*求逆阵 b 例7A= cdqd-bc≠0,求 解因为A|=ad-bc≠O,故A可逆 又f/a (读者可记住这一规律),从而有 c a ad-bcl-c a
二. 逆阵及其求法 1. 利用伴随矩阵A*求逆阵 7 .0 −1 ≠− ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ = Abcad dc ba 例 A ， ，求 解 因为 = ad-bc|A| ≠ ，故 A可逆. 0 又 * ⎟⎟（读者可记住这一规律），从而有 ⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− − = ac bd A . 1 1 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛− − − = − ac bd bcad A
注:对2阶数字方阵求逆,一般都用A*来做,既简便 又迅速,但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用A* 求其逆阵,因为若用A*去做,计算工作量太大且容易 出错,而是利用下面所介绍的初等变换法 2.利用初等变换求逆阵 方法与原理如下 设A为n阶可逆阵,则A=P…Pn,其中P为n阶初等阵 2-2 故A=Pn1…B,P也为n阶初等阵(=1,2,…,m), 从而有 n…PA=E n…PE=即(A:E)→…初等行变…→(E:A)
注：对2阶数字方阵求逆，一般都用A*来做，既简便 又迅速，但对3阶及其以上的数字方阵一般不使用A* 求其逆阵，因为若用A*去做，计算工作量太大且容易 出错，而是利用下面所介绍的初等变换法. 2. 利用初等变换求逆阵 方法与原理如下： .,,2,1 1 （ ） 为设 阶可逆阵，则 ，其中 为 阶初等阵 mi nA m i nPPPA L L = = 故 - = m 11 L 1 ，i−−− 11 也为nP PPA 阶初等阵（ = L,,2,1 mi ）， ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = = −− − −− ; , 1 1 1 1 1 1 1 AEPP EAPP m m L L 从而有 ( ) ( ). → → −1 即 EA LM 初等行变换 ML AE
3-45 例8A=2-31,求A 3-5-1 3-45:100 解(A:E)=2-31:010 3-5-1:001 100:-829-11 …初等行变换…)010:-518-7 001:1 31 829-1 故A=-5187 31
. 153 132 543 8 −1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 例 A = ，求 A ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − = 100 010 001 153 132 543 M M M MEA ）（解 ， － － － － － 初等行变换 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ → → 131 7185 11298 100 010 001 M M M L L . 131 7185 11298 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − － － － － － 故 A