向量组的正交性 、向量的内积 1定义1:设有向量a=(a1,a2,…,an)B=(b,b2 b1+a2b2+…+anb 称为向量a与B的内积,记为(a,B)。 (a,B)=a1b+a2b2+…+ (i)(a,B)=0B(i)(a,B)=(,a) iii)(ka,B)=k(a, B)=(a, kB) )(a+B,y)=(a,y)+(B,y) )(a,a) 2 2 C1+a2+…+a 2向量的单位化 lal= a为单位向量
向量组的正交性 一、向量的内积： 1.定义1：设有向量 ),,( 2,1 n α = L aaa ),,( 2,1 n β = L bbb 称为向量α 与β 的内积，记为（ α，β ）。 nn = + +L+ bababa α β），（ 2211 nn + +L+ bababa 2211 T i)( ），（ = αββα ii)( α β = β，（），（ α ) α β = kkiii α β = α,)(,)( kβ）（，）（ iv （α + β γ = α γ + β,)(,)( γ ）（，） v)( α α），（ 2 2 2 2 21 L aaa n =+++= α 2.向量的单位化 1 11 α == α α α α为单位向量。 α 1
二、向量的夹角:自学。 三、向量的正交性: 1定义2.若(a,B)=0,则称向量a与B正交 2定义3如果m个n维非零向量a1,a2…,am两两正交, 即满足(a,a1)=0(≠)则称向量组 a12a2…,arn为正交向量组简称为正交组。 1=(1,02…0),e2=(0,l,…O)2 (0,0,…,1) 为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。 3正交向量组的性质 定理:设a1,a2,…,Cm为正交向量组,则a1,a2,…,am 线性无关。 回忆:如何证明一组向量线性无关?
二、向量的夹角：自学。 三、向量的正交性： 1.定义2.若（ α β）， = ,0 则称向量 α 与 β 正交。 2.定义3. 即满足 如果 个nm 维非零向量 α α 21 L ,,, α m两两正交， ji )(,0 α α ji ），（ = ≠ α α21 L ,,, α m为正交向量组,简称为正交组。 ).1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( e 1 = L e 2 = LL e n = L 为正交向量组。也称为单位正交组或标准正交组。 3.正交向量组的性质 线性无关。 定理 : 设 α α 21 L ,,, α m为正交向量组 则 α α 21 L ,,,, α m 回忆:如何证明一组向量线性无关 ? 则称向量组
证:设k1+k2a2+…+km(m=O →(a12k11+k22+…+kmn0m)=(071O)=0 →k1(x12x1)+k2(ax1,a2)+…+km1(a12Om)=0 a1,a2…,am为正交向量组,则(a,a1)=0(≠ k;(a12a1)=0 问题:线性无关的向量组是否为正交组?不2.m) 由于a;≠O,即(a;2c1)≠0→k1=0( a1,a2,…,am为线性无关向量组。 反例:ax1=(0,1),a2=(0,0,1) 四、向量组的正交规范化: 公式:设a1,a2,…Cm为线性无关向量组,令
证: α + kk α +L+ α mm = Ok 设 2211 ,( 0),() ⇒ αi α + kk α2211 +L+ k α = αimm O = 0),(),(),( ⇒ k αi α + k αi α2211 +L+ k α α mim = α α21 LQ ,,, α m为正交向量组,则 ji )(,0 α α ji ），（ = ≠ ∴ = 0),( iii k α α ≠ ≠ 0),(, ⇒ = 0 i ii i 由于 α O 即 α α k m为线性无关向量组。 ( i =1,2,···,m ) ∴α α21 L,,, α 问题:线性无关的向量组是否为正交组? 不是 ! )1,0,0(),1,0,1( 反例：α1 = α 2 = 四、向量组的正交规范化： 公式：设α α21 L,,, α m为线性无关向量组，令
B=a B2= 2 (B1 B3 (a3,B1)a(a3,B2 B1 B,B1)(B2,B2 B2 (am, Bm-1) Bm=am(R,月) Bl B2,B2 (B ()a1,α2,…am与尻1,月2,…,Bm等价; (i)月1,B2…Bmn为正交组 再将B1,B2…,Bm为单位化,即得到单位正交向量组
1 11 12 22 β ββα β αβ ），（ ），（−= β =α11 2 22 23 1 11 13 33 β ββα β β ββα β αβ ），（ ），（ ），（ ），（−= − 1 11 1 2 22 2 1 11 1 − −− − −= − −− m mm m m mm mm β ββα β β ββα β β ββα β αβ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ ），（ L LLLL i α α21 L α m与β β 21 L,,,,,,)( β m等价； ii β β 21 L,,,)( β m为正交组。 再将β β 21 L,,, β m为单位化，即得到单位正交向量组
五、正交矩阵: 1定义4:若n阶方阵A满足AA=E,则称A为n阶正交矩阵 2性质:()若A为n阶正交矩阵→4=±1 (i)若A为m阶正交矩阵→A与A也是正交矩阵。 (i)若A,B为n阶正交矩阵→AB与BA也是正交矩阵。 3正交矩阵的判定: 定理:矩阵A=(an)为正交矩阵A的行(列) n×n 向量组为单位正交向量组 仅证列向量组的情形。 A=(122,…,n)A为正交矩阵AA=E
五、正交矩阵： 1.定义4：若 阶方阵 满足 T = ，则称 为nAEAAAn 阶正交矩阵。 2.性质： )( 为若 nAi 阶正交矩阵 A ±=⇒ .1 )( 为若 nAii 阶正交矩阵 ⇒ T与AA −1也是正交矩阵。 ,)( 为若 nBAiii 阶正交矩阵 ⇒ 与BAAB 也是正交矩阵。 3.正交矩阵的判定: ( ) 向量组为单位正交向量组。 定理：矩阵 = aA ij ×nn 为正交矩阵 ⇔ A的行（列） 仅证列向量组的情形。 ),,,( A = α α21 L αn A EAAT 为正交矩阵 =⇔
ai A14=2( a1 are nw n 10 0 00 E ◇(a a d )=0 00 1≠ 即ax1,a2…,an为单位正交向量组。 方法一、用定理。 1/98/9-4/9 方法二、用定义。 A=-8/91/9-49,4正交吗? 4/9-4/97/9 正交
( ) n T n T T T AA ααα α α α L M 21 2 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ == 100 010 001 L MLMM L L E )( 0),(,1),( ji ii ji ≠ ⇔ = αααα = 即 α α21 L ,,, αn为单位正交向量组。 方法一、用定理。 方法二、用定义。 A , A正交吗？ 9/79/49/4 9/49/19/8 9/49/89/1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − −− = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = n T n T n T n n TT T n TT T αααααα αααααα αααααα L MLMM L L 21 2212 2 2111 1 正交
8-4 A=-81-44正交吗?不正交 1/9-8/9-4/9 A=-8/91/9-4/9,A1=?An 4/9-4/97/9 1-8-4 A 81-4.,A B 9→B-1 B T 9 →B1=9A1→A B 81
?, 9/79/49/4 9/49/19/8 9/49/89/1 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − −− = − A A T A ?, 744 418 481 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −− = − A A TT ABBAB 9 1 9 1 1 ==⇒= − T ABAAB 81 1 9 1 9 111 1 −−− − ==⇒=⇒ A , A正交吗？ 744 418 481 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− −− −− = 不正交