电子教案 目录 向量组 基本要求 内容提要 1.n维向量 2.向量组的线性表出和线性相关性 2223 3.线性相关性的有关重要结论 4.向量组的秩与极大无关组 5.齐次线性方程组 6.非齐次线性方程组 典型例题 )向量的线性组合 669 (二)向量组的线性相关性 (三)最大无关组、秩 (四)线性方程组
电子教案 目 录 向量组........................................................................................................................ 2 一、基本要求..................................................................................................... 2 二、内容提要..................................................................................................... 2 1. n 维向量....................................................................................................... 2 2. 向量组的线性表出和线性相关性 ................................................................... 2 3. 线性相关性的有关重要结论 .......................................................................... 3 4. 向量组的秩与极大无关组.............................................................................. 4 5. 齐次线性方程组............................................................................................ 4 6. 非齐次线性方程组 ........................................................................................ 5 三、典型例题..................................................................................................... 6 （一）向量的线性组合....................................................................................... 6 （二）向量组的线性相关性................................................................................ 9 （三）最大无关组、秩..................................................................................... 14 （四）线性方程组............................................................................................ 19
向量组 基本要求 1.理解n维向量的概念; 2.理解向量组线性相关、线性无关的定义; 3.了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论 4.理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念 5.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程有解的充要条件 6.理解齐次线性方程组的解的结构及通解等概念 7.理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念; 8.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法 、内容提要 1.n维向量 n个数组成的有序数组(a,a2,…an)称为一个n维向量,其中第i个数a1称为这个向 量的第i个分量 分量全为零的向量(0,…0)称为零向量, n维向量的两种线性运算(和、数乘)满足向量运算的八条运算规律. 2.向量组的线性表出和线性相关性 (1)设a1a2,…,a,尸都是n维向量,若存在数k,k2,…k使得 B=ka,+k2a2 则称B是向量组1,a2,2a的线性组合,或称B可由,2,,a线性表出 (2)设a1,a2,…m为n维向量组,若存在不全为零的数k,k2…,km使得
向量组 一、基本要求 1. 理解 n 维向量的概念； 2. 理解向量组线性相关、线性无关的定义； 3. 了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论； 4. 理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念； 5. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程有解的充要条件； 6. 理解齐次线性方程组的解的结构及通解等概念； 7. 理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念； 8. 掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法 . 二、内容提要 1. n 维向量 n 个数组成的有序数组 ( , , , ) a1 a2 an 称为一个 n 维向量, 其中第 i 个数 i a 称为这个向 量的第 i 个分量. 分量全为零的向量 (0, 0, , 0) 称为零向量. n 维向量的两种线性运算（和、数乘）满足向量运算的八条运算规律. 2. 向量组的线性表出和线性相关性 （1）设 1 , 2 , , s , 都是 n 维向量, 若存在数 s k , k , , k 1 2 使得 s s = k11 + k2 2 ++ k 则称 是向量组 s , , , 1 2 的线性组合, 或称 可由 s , , , 1 2 线性表出. （2）设 m , , , 1 2 为 n 维向量组, 若存在不全为零的数 m k , k , , k 1 2 使得
k ka_=0 (3-1) 则称1,2,,m线性相关.若式(3-1)成立仅有 k1=k2=…=kn=0 则称a1,a2,,am线性无关 (3)设④a2…n,B为列向量组,A=(a1…an),X=(x1…),则 ①B可由1,…,an线性表示出分4x=B有解分R4)=B(4,其中为增广矩 ②a1,…n线性相关分AX=0有非零解分R(A)S
k11 + k22 ++ km m = 0 （3-1） 则称 m , , , 1 2 线性相关. 若式（3-1）成立仅有 k1 = k2 = = km = 0 则称 m , , , 1 2 线性无关. （3）设 n , , , 1 2 , 为列向量组, ( , , ) A = 1 n , T n X (x , , x ) = 1 , 则 ① 可由 n , , 1 线性表示出 AX = 有解 R(A) = R(A) , 其中 A 为增广矩 阵； ② n , , 1 线性相关 AX = 0 有非零解 R(A) n . 特别地, n 个 n 维向量 ( , , , ), ( 1, 2, , ) j = a1 j a2 j anj j = n 线性相关（无关）的充 分必要条件是行列式 0( 0) 1 2 21 22 2 11 12 1 = n n nn n n a a a a a a a a a 个数大于维数的向量组必线性相关. 3. 线性相关性的有关重要结论 （1）向量组中有一部分向量线性相关, 则该整个向量组线性相关. （2）向量组 , , , ( 2) 1 2 m m 线性相关的充分必要条件是该向量组中至少有一个向 量可由其余 m − 1 个向量线性表出. （3）若 m , , , 1 2 线性无关, 而 m , , , 1 2 , 线性相关, 则 为 m , , , 1 2 的 线性组合, 且表达式唯一. （4）线性无关向量组的每个向量都添上同样个数的分量后所得向量组也是线性无关的. （5）若向量组 r , , , 1 2 可由向量组 s , , , 1 2 线性表出, 且 r , , , 1 2 线性无 关, 则 r s . 即, 若向量组 r , , , 1 2 可由向量组 s , , , 1 2 线性表出, 如果 r s
则a1,a2,,ar线性相关 特别地,两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等 4.向量组的秩与极大无关组 (1)若向量组T满足 ①T中有r个向量1,a2,,线性无关 ②T中任意r+1个向量组性相关 则称a1,a2,,∝为T的一个极大无关组,数r称为T的秩 (2)a1,a2,…∈7为向量组T的线性无关部分组,它是极大无关组的充分必要条 件是T中每一个向量均可由1,a2,,线性表出 (3)向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价 向量组的任意两个极大无关组都是等价的,它们所含向量的个数相等 等价向量组秩相同,但秩相同的两个向量组不一定等价 (4)矩阵A的秩=A的行秩(行向量组的秩) A的列秩(列向量组的秩) =A的不等于零的子式的最高阶数 5.齐次线性方程组 (1)齐次线性方程组 AX=0 有非零解的充分必要条件是R(A4)<,其中 A X 特别地,当m<n时,AX=0必有非零解 当m=n时,AX=0有非零解的充分必要条件为4=0
则 r , , , 1 2 线性相关. 特别地, 两个等价的线性无关向量组所含向量个数相等. 4. 向量组的秩与极大无关组 （1）若向量组 T 满足： ① T 中有 r 个向量 r , , , 1 2 线性无关； ② T 中任意 r + 1 个向量组性相关； 则称 r , , , 1 2 为 T 的一个极大无关组, 数 r 称为 T 的秩. （2） 1 ,2 , , r T 为向量组 T 的线性无关部分组, 它是极大无关组的充分必要条 件是 T 中每一个向量均可由 r , , , 1 2 线性表出. （3）向量组的任意一个极大无关组都与向量组本身等价. 向量组的任意两个极大无关组都是等价的, 它们所含向量的个数相等. 等价向量组秩相同, 但秩相同的两个向量组不一定等价. （4）矩阵 A 的秩 = A 的行秩（行向量组的秩） = A 的列秩（列向量组的秩） = A 的不等于零的子式的最高阶数 5. 齐次线性方程组 （1）齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件是 R(A) n , 其中 = m m mn n n a a a a a a a a a A 1 2 21 22 2 11 12 1 = n x x x X 2 1 特别地, 当 m n 时, AX = 0 必有非零解. 当 m = n 时, AX = 0 有非零解的充分必要条件为 | A |= 0
(2)若51,52为AX=0的解,则X=51+52也是AX=0的解 若5为AX=0的解,k为实数,则X=k5也是AX=0的解 AX=0解向量的线性组合也为该方程组的解 (3)设5152…5是AX=0的一组解向量,满足 ① 5线性无关 ②AX=0的任一解向量都可表示为51,52,…5的组性组合 则称552,…5,为AX=0的基础解系 设AX=0的系数矩阵A的秩R(4)=F<,则AX=0有基础解系且其所含解向量个 数为n-F,这里n为方程组中未知数的个数 6.非齐次线性方程组 (1)非齐次线性方程组AX=b有解的充分必要条件是 R(A)=R(A) 其中,A为增广矩阵. (2)设,n为非齐次线性方程组AX=b的两个解,则7-为AX=0的解 设为AX=0的解,n为Ax=b的解,则5+为AX=b的解 如果7为AX=b的一个特解,为AX=0的一个解,则AX=b的任一解n可表示成 7=7o+5 (3-2) 因此,对于AX=b的任一特解,当ξ取遍它的导出组的全部解时,式(3-2)就给出 AX=b的全部解 (3)如果7是非齐次线性方程组的一个特解,51,52,…,5n为其对应齐次方程组的一 个基础解系,则非齐次方程组的一般解(通解)可以表示成 7=h+k51+…+knn-(k1,…,kn-∈R)
（2）若 1 2 , 为 AX = 0 的解, 则 X = 1 + 2 也是 AX = 0 的解. 若 为 AX = 0 的解, k 为实数, 则 X = k 也是 AX = 0 的解. AX = 0 解向量的线性组合也为该方程组的解. （3）设 s , , , 1 2 是 AX = 0 的一组解向量, 满足 ① s , , , 1 2 线性无关； ② AX = 0 的任一解向量都可表示为 s , , , 1 2 的组性组合； 则称 s , , , 1 2 为 AX = 0 的基础解系. 设 AX = 0 的系数矩阵 A 的秩 R(A) = r n , 则 AX = 0 有基础解系且其所含解向量个 数为 n − r , 这里 n 为方程组中未知数的个数. 6. 非齐次线性方程组 （1）非齐次线性方程组 AX = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A) 其中, A 为增广矩阵. （2）设 1 2 , 为非齐次线性方程组 AX = b 的两个解, 则 2 −1 为 AX = 0 的解. 设 为 AX = 0 的解, 为 AX = b 的解, 则 + 为 AX = b 的解. 如果 0 为 AX = b 的一个特解, 为 AX = 0 的一个解, 则 AX = b 的任一解 可表示成 = 0 + （3-2） 因此, 对于 AX = b 的任一特解 0 , 当 取遍它的导出组的全部解时, 式（3-2）就给出 AX = b 的全部解. （3）如果 0 是非齐次线性方程组的一个特解, n−r , , , 1 2 为其对应齐次方程组的一 个基础解系, 则非齐次方程组的一般解（通解）可以表示成 ,( , , ) = 0 + k1 1 ++ kn−r n−r k1 kn−r R
三、典型例题 (一)向量的线性组合 例1把向量表成1a2;a3,a4的线性组合: (1)B=(0.0.0,1),a1=(.1.0.1),a2=(2,3.1),a3=(,.0.0), 1) B=(1,2,1,1) (1,1,1,1)a2=(1,1,-1,1)a3=(1,-1,1,-1) (1,-1,-1,1) 解(1)设B=ka1+k2a2+k 得方程组 0 k1+k2+k3+k4=0 k1+k2 解之得 所以 (2)设 B=k,a,+k2a2+k3 a3+k4 则得 k1+k2+k3+k4=1 k2-k3-k4 k1-k2+k3一k=1 解之得 B 所以 例2设向量B可由向量组1a2a3ar线性表出,试证:表式唯一的充要条件是
三、典型例题 （一）向量的线性组合 例 1 把向量 表成 1 2 3 4 , , , 的线性组合： （ 1 ） = (0, 0, 0, 1) , (1, 1, 0, 1) 1 = , (2, 1, 3, 1) 2 = , (1, 1, 0, 0) 3 = , (0, 1, 1, 1) 4 = − − ； （2） = (1, 2, 1, 1) , (1, 1, 1, 1) 1 = , (1, 1, 1, 1) 2 = − , (1, 1, 1, 1) 3 = − − , (1, 1, 1, 1) 4 = − − . 解 （1）设 11 22 33 4 4 = k + k + k + k 得方程组 + − = − = + + + = + + = 1 3 0 0 2 0 1 2 4 2 4 1 2 3 4 1 2 3 k k k k k k k k k k k k 解之得 1, 0, 1, 0 k1 = k2 = k3 = − k4 = 所以 = 1 − 3 . （2）设 11 22 33 4 4 = k + k + k + k , 则得 − − + = − + − = + − − = + + + = 1 1 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 k k k k k k k k k k k k k k k k 解之得 4 5 k1 = 4 1 k2 = 4 1 k3 = − 4 1 k4 = − 所以, 1 2 3 4 4 1 4 1 4 1 4 5 = + − − 例 2 设向量 可由向量组 r , , , , 1 2 3 线性表出, 试证：表式唯一的充要条件是
a1,a2,,r线性无关 证充分性:设有 B=ka,+k2a2+ B=ha+l2a 由上述两式得 (k1-1)x2+(k2-l2)2+…+(k,-l)n=0 由a1,a2,…,线性无关知,仅有 k1-1=k2-l2 k-l=0 k1=l1,k2=l2,…,k=l 即表式唯一 必要性:设有 2a2 考虑 xa t xa2 xG1=0 由上两式可得 B=(k1+x1)a1+(k2+x2)a2+…+(k,+x 因表式唯一,故有 k 所以仅有x1=x2=…=x=0,故a12,…线性无关 例3设向量B可由向量组a2,a线性表示,但不能由,a2a-1线性表出,试 证 (1)a不能由向量组a1,a2,,a1-1线性表出; (2)能由1a2,a-1,B线性表出
r , , , 1 2 线性无关. 证 充分性：设有 r r = k11 + k2 2 ++ k r r = l 11 + l 22 ++ l 由上述两式得 (k1 − l 1 )2 + (k2 − l 2 )2 ++ (kr − l r ) r = 0 由 r , , , 1 2 线性无关知, 仅有 k1 − l 1 = k2 − l 2 = = kr − l r = 0 即 r r k = l , k = l , , k = l 1 1 2 2 即表式唯一. 必要性：设有 r r = k11 + k2 2 ++ k 考虑 0 x11 + x22 ++ xr r = 由上两式可得 r r r = (k1 + x1 )1 + (k2 + x2 )2 ++ (k + x ) 因表式唯一, 故有 r r r k + x = k , , k + x = k 1 1 1 所以仅有 x1 = x2 = = xr = 0 , 故 r , , , 1 2 线性无关. 例 3 设向量 可由向量组 r , , , 1 2 线性表示, 但不能由 1 2 1 , , , r− 线性表出, 试 证： （1） r 不能由向量组 1 2 1 , , , r− 线性表出； （2） r 能由 1 2 1 , , , r− , 线性表出
证(1)反证法.若r可由1,a2,,a-1线性表出,设 a,=h,a,+ k,a2 又B可由a1a2线性表出,设 B=l1a1+l2a2+…+la 将上述前一式代入后一式中,可知B可由,a2,2-1线性表出,矛盾.故不能由 a1,a2,,ar-1线性表出. (2)因B可由a1,2,线性表出,可设 B=la+l2 由B不能由1a2,灬-线性表出知必有 故有 ar 即ar可由a1 ax-1,B线性表出 知a1=(,0,2,3) (1,-1,a+2,1) a4=(1,2,4,a+8)B=(1,1,b+3,5) (1)ab为何值时,B不能表成1a2,(3,a4的线性组合? (2)ab为何值时,B有a,a2a34的唯一的线性表达式?并写出该表达式? 解设B=xa1+x2a2+x3a3+x4a4,则 x1+3x2+(a+2)x3+4x4=b+3 3x1+5x2+x3+(a+8)x4=5 B能否表成a1,,4的线性组合,转化为上述方程组是否有解的问题,由
证 （1）反证法. 若 r 可由 1 2 1 , , , r− 线性表出, 设 r = 1 1 + 2 2 + + r−1 r−1 k k k 又 可由 r , , , 1 2 线性表出, 设 r r = l 11 + l 22 ++ l 将上述前一式代入后一式中, 可知 可由 1 2 1 , , , r− 线性表出, 矛盾. 故 r 不能由 1 2 1 , , , r− 线性表出. （2）因 可由 r , , , 1 2 线性表出, 可设 r r = l 11 + l 22 ++ l 由 不能由 1 2 1 , , , r− 线性表出知必有 0 r l 故有 r r r r r r r l l l l l l l 1 1 1 2 2 1 1 = − − − − − + − 即 r 可由 1 2 1 , , , r− , 线性表出. 例 4 已 知 (1, 0, 2, 3) 1 = , (1, 1, 3, 5) 2 = , (1, 1, 2, 1) 3 = − a + , (1, 2, 4, 8) 4 = a + , = (1, 1, b + 3, 5) （1）a, b 为何值时, 不能表成 1 2 3 4 , , , 的线性组合？ （2）a, b 为何值时, 有 1 2 3 4 , , , 的唯一的线性表达式？并写出该表达式？ 解 设 11 22 33 44 = x + x + x + x , 则 + + + + = + + + + = + − + = + + + = 3 5 ( 8) 5 2 3 ( 2) 4 3 2 1 1 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 1 2 3 4 x x x a x x x a x x b x x x x x x x 能否表成 1 4 , , 的线性组合, 转化为上述方程组是否有解的问题, 由
01 23a+24b+3 351 2 02-2a+52 000 10 所以当a=-1b≠0时,B不能表成a1,a2,“,a4的线性组合 当a≠-1时,表式唯一,且 例5若向量组a、By线性无关,而a、Bδ线性相关,则δ可由a、B、y线性表出 证由于a、B、y线性无关,因而a、β线性无关.又,a、B、δ线性相关,所以,δ 可由a、B线性表出,设为 d=K,a+K2B 于是=K1a+K2B+0y 故可由a、B、y线性表出 (二)向量组的线性相关性 例1判别向量组的线性相关性,求一个极大无关组和向量组的秩,并将其余向量用该极 大无关组线性表示 (1)a1=(-12,4),a2=(031,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-1,2,0) (2,1,5,6) (1,4,11,-2) (3,-6,3,8) (2,-1,7,3)
+ + + − 3 5 1 8 5 2 3 2 4 3 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a a b − + + − → 0 2 2 5 2 0 1 1 2 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a b + + − → 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 a a b 所以当 = −1,b 0 时, 不能表成 1 2 4 , , , 的线性组合. 当 a −1 时, 表式唯一, 且 1 2 3 0 4 1 1 1 1 2 + + + + + + + + = − a b a a b a b 例 5 若向量组 、、 线性无关，而 、、 线性相关，则 可由 、、 线性表出. 证 由于 、、 线性无关, 因而 、 线性无关. 又, 、、 线性相关, 所以, 可由 、 线性表出, 设为 = K1 + K2 于是 0 = K1 + K2 + 故 可由 、、 线性表出. （二）向量组的线性相关性 例 1 判别向量组的线性相关性, 求一个极大无关组和向量组的秩, 并将其余向量用该极 大无关组线性表示： （1） (1, 1, 2, 4) 1 = − , (0, 3,1, 2) 2 = , (3, 0, 7, 14) 3 = , (1, 1, 2, 0) 4 = − , (2, 1, 5, 6) 5 = ； （2） (1, 4, 11, 2) 1 = − , (3, 6, 3, 8) 2 = − , (2, 1, 7, 3) 3 = − ；
(3)a1=(1.0.0.0),a2=(.1,0.0),a3=(,1,1,0),a4=(1,1,1,1) 解(1)作 130 421406 0330 03 21「1030 0110 000 01 0000000000 因而秩(a1,a2a3,a4a5)=3<向量个数5,故1,a2a3,a4,a5线性相关,又 010≠0 所以a1,2,4为a1,a2,a3,a4,as的一个极大无关组,且有 (2)作 6 (ai 3 0-30-15000000 因而秩(a1a2a3)=2<向量个数3,故a,a2a3线性相关,又
（3） (1, 0, 0, 0) 1 = , (1, 1, 0, 0) 2 = , (1, 1, 1, 0) 3 = , (1, 1, 1, 1) 4 = . 解 （1）作 − − = = 4 2 14 0 6 2 1 7 2 5 1 3 0 1 1 1 0 3 1 2 ( , , , ) 1 2 3 4 T T T T A − − ⎯⎯⎯⎯⎯→ 0 2 2 4 2 0 1 1 0 1 0 3 3 0 3 1 0 3 1 2 初等行变换 → → 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 3 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 3 1 2 因而秩 (1 ,2 ,3 , 4 ,5 ) = 3 向量个数 5, 故 1 2 3 4 5 , , , , 线性相关, 又 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 所以 1 2 4 , , 为 1 2 3 4 5 , , , , 的一个极大无关组, 且有 3 1 2 = 3 + 5 = 1 + 2 + 4 ； （2）作 − − − = = 2 8 3 11 3 7 4 6 1 1 3 2 ( , , ) 1 2 3 T T T A − → → − − − − → 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 3 2 0 14 7 0 30 15 0 18 9 1 3 2 因而秩 (1 ,2 ,3 ) = 2 向量个数 3, 故 1 2 3 , , 线性相关, 又