典型教案 第一章线性方程组的解法 1.1.方程组的同解变形 1.2.用消去法解方程组 附件5
典型教案 第一章 线性方程组的解法................................................................................2 1.1. 方程组的同解变形......................................................................................2 1.2. 用消去法解方程组......................................................................................3 附件5...........................................................................................................................4
第一章线性方程组的解法 线性方程组就是一次方程组 先来分析中学数学怎样解二元一次方程组。看它的原理和方法是否可以推广到一般的多元一次 方程组。 例1、解方程组 3x+4y=2 解、用加减消去法消元: 5x(1)式+4x(2)式:23x=46(3) 2x(1)式-3x(2)式:23y=-23(4) 由(3)和(4)解出 代入(1),(2)式检验知道它是原方程组的解。 以上解法的基本原理是:由原方程(1)、(2)分别乘以适当的常数再相加,得到 各消去了一个未知数的新方程(3)、(4),从中容易解出未知数的值来 将一组方程分别乘以常数再相加,得到的新方程称为原来那一组方程的线性组合。原来那 一组方程的公共解一定是它们的任意一个线性组合的解。 新方程(3)、(4)都是原方程(1)、(2)的线性组合,(1)、(2)的公共解一定是(3)、(4)的解.但 反过来,由(3)、(4)求出的解是否一定是(1)、(2)的解?这却并不显然。 因此需要将(3)、(4)的解代入(1)、(2)检验 或者说明(1)、(2)也是(3)、(4)的线性组合。从而由(3)、(4)组成的方程组与原方程组同解 1.1.方程组的同解变形 1.线性方程组的定义 2.方程的线性组 方程的加法 方程乘以常数 方程的线性组合:将m个方程分别乘以m个已知常数,再将所得的m个方程相加,得 到的新方程称为原来那m个方程的一个线性组合 容易验证:如果一组数(c_1,c_2,…,c_n)是原来那些方程的公共解,那么它也是这些 方程的任一个线性组合的解
第一章 线性方程组的解法 线性方程组就是一次方程组。 先来分析中学数学怎样解二元一次方程组。看它的原理和方法是否可以推广到一般的多元一次 方程组。 例 1、解方程组 3x+4y=2 (1) 2x-5y=9 (2) 解、用加减消去法消元： 5x(1)式+4x(2)式：23x=46 (3) 2x(1)式-3x(2)式： 23y= -23 (4) 由（3）和（4）解出 x=2 ， y= -1。 代入（1），（2）式检验知道它是原方程组的解。 以上解法的基本原理是: 由原方程(1)、(2)分别乘以适当的常数再相加，得到 各消去了一个未知数的新方程(3)、(4), 从中容易解出未知数的值来. 将一组方程分别乘以常数再相加，得到的新方程称为原来那一组方程的线性组合。原来那 一组方程的公共解一定是它们的任意一个线性组合的解。 新方程(3)、(4)都是原方程(1)、(2)的线性组合, (1)、(2)的公共解一定是(3)、(4)的解. 但 反过来, 由(3)、(4)求出的解是否一定是(1)、(2)的解？ 这却并不显然。 因此需要将(3)、(4)的解代入(1)、(2)检验。 或者说明(1)、(2)也是(3)、(4)的线性组合。从而由(3)、(4)组成的方程组与原方程组同解. 1.1. 方程组的同解变形 1. 线性方程组的定义 2. 方程的线性组合: 方程的加法 方程乘以常数 方程的线性组合: 将 m 个方程分别乘以 m 个已知常数，再将所得的 m 个方程相加, 得 到的新方程称为原来那 m 个方程的一个线性组合 容易验证: 如果一组数 (c_1,c_2,…,c_n) 是原来那些方程的公共解, 那么它也是这些 方程的任一个线性组合的解
注意:线性组合的系数中可以有些是0,甚至可以全部是0.如果某些系数是0,所得到 的线性组合实际上也就是系数不为0的那些方程的线性组合 如果方程组(II)中每个方程其余都是方程组(I)中的方程的线性组合,就称方程组(II) 是方程组(I)的线性组合.此时方程组(I)的每一组解也都是方程组(II)的解。 如果方程组(I)与方程组(I〕)互为线性组合,就称这两个方程组等价。此时两个方程组 的同解。将方程组(I)变成方程组(II)的过程是同解变形 解方程组的基本方法,就是将方程组进行适当的同解变形,直到最后得到的方程组的可以 写出来为止 3.基本的同解变形: 定理1、方程组的以下三种变形是同解变形 1.交换其中任意两个方程的位置,其余方程不变 2.将任一个方程乘以一个非零的常数,其余方程不变。 3.将任一方程的$\1a$倍加到另一方程上,其余方程不变 证、只须证明原方程组(I)与变形后得到的新方程组(II互为线性组合。 定理1所说的线性方程组的三类同解变形,称为线性方程组的初等变换。 这三类初等变换都是可逆的:如果方程组(I)通过初等变换变成了方程组(I),则方程组 (IⅠ)也可以通过初等变换变回(I)。 1.2.用消去法解方程组 反复利用定理1中所说的三种初等变换,可以将线性方程组消元,求出解来 例1、解线性方程组(略) 以上是方程组有唯一解的例子。解的每个分量都是由方程组的系数经过加、减、乘、除四 则运算得到.如果原方程组的系数都是实数,由于实数集合对加、减、乘、除四则运算封闭(当 然除数不允许为0),方程组的唯一解的所有分量就都是实数。同样,有理数集合对加、减、 乘、除运算也封闭,因此有理系数线性方程组的唯一解的分量也都是有理数.还可以考虑一般 的系数范围,只要它们对加、减、乘、除四则运算封闭。 定义、设F是复数集合的子集,至少包含一个非零的数,并且在加、减、乘、除运算下封 闭(除数不为0),就称F是数域 例:复数集合C、实数集合R、有理数集合Q。 按照这个术语,我们有:如果线性方程组的系数都在某个数域F的范围内,并且这个方程组有 唯一解,则解的分量也都在F的范围内
注意: 线性组合的系数中可以有些是 0, 甚至可以全部是 0. 如果某些系数是 0, 所得到 的线性组合实际上也就是系数不为 0 的那些方程的线性组合。 如果方程组 (II) 中每个方程其余都是方程组 (I) 中的方程的线性组合, 就称方程组(II) 是方程组 (I) 的线性组合. 此时方程组 (I) 的每一组解也都是方程组 (II) 的解。 如果方程组 (I) 与方程组 (II) 互为线性组合, 就称这两个方程组等价。此时两个方程组 的同解。将方程组 (I) 变成方程组 (II) 的过程是同解变形。 解方程组的基本方法, 就是将方程组进行适当的同解变形, 直到最后得到的方程组的可以 写出来为止. 3. 基本的同解变形: 定理 1、方程组的以下三种变形是同解变形： 1. 交换其中任意两个方程的位置, 其余方程不变。 2. 将任一个方程乘以一个非零的常数, 其余方程不变。 3. 将任一方程的 $\la$ 倍加到另一方程上, 其余方程不变。 证、只须证明原方程组(I)与变形后得到的新方程组(II)互为线性组合。 定理 1 所说的线性方程组的三类同解变形, 称为线性方程组的初等变换。 这三类初等变换都是可逆的：如果方程组(I)通过初等变换变成了方程组(II), 则方程组 (II)也可以通过初等变换变回(I)。 1.2. 用消去法解方程组 反复利用定理 1 中所说的三种初等变换, 可以将线性方程组消元,求出解来。 例 1、解线性方程组（略） 以上是方程组有唯一解的例子。解的每个分量都是由方程组的系数经过加、减、乘、除四 则运算得到. 如果原方程组的系数都是实数, 由于实数集合对加、减、乘、除四则运算封闭 (当 然除数不允许为 0), 方程组的唯一解的所有分量就都是实数。 同样, 有理数集合对加、减、 乘、除运算也封闭, 因此有理系数线性方程组的唯一解的分量也都是有理数. 还可以考虑一般 的系数范围, 只要它们对加、减、乘、除四则运算封闭。 定义、设 F 是复数集合的子集, 至少包含一个非零的数, 并且在加、减、乘、除运算下封 闭 (除数不为 0), 就称 F 是数域。 例：复数集合 C、实数集合 R、有理数集合 Q。 按照这个术语, 我们有: 如果线性方程组的系数都在某个数域 F 的范围内, 并且这个方程组有 唯一解, 则解的分量也都在 F 的范围内
以后,凡是谈到线性方程组,总假定它的系数全都在某个数域F中,称它为F上的线性 方程组。解这个线性方程组的过程就只涉及到F中的数之间的加、减、乘、除四则运算 以上在解方程组的过程中,实际上只对各方程中各项的系数进行了运算(加、减、乘、除 运算),每次将代表未知数的字母抄写一遍实际上是一种累赘.为了书写的简便,更为了突出解 方程组中本质的东西一系数的运算,我们采用分离系数法,将线性方程组中代表未知数的字 母略去,将等号也略去,只写出各方程的各系数 将每个方程的各项系数从左到右依次写成一行,将各方程中同一个未知数的系数上下对齐,常 数项也上下对齐,这样得到一矩形数表,来表示这个方程组 定义、对任意自然数m,n,由数域F中mxn个数排成m行、n列所得到的数表,称 为F上的mxn矩阵 按照这个定义,由m个n元线性方程组成的方程组用m行n+1列矩阵表示。 每一行代表一个方程。每一列是同一未知数的系数或常数项 定义、由数域F中n个数a_i排成的有序数组(a_1,a_2,…,a_n)称为F上的n数 组向量。所有分量都为0的向量称为零向量 F上全体n数组向量组成的集合称为F上的n数组向量空间,记作F^n 特别,每个线性方程用行向量表示.方程组的解在平常也可以用行向量表示, 以节省空间.但我们将看到,作理论分析时,用列向量来表示方程组的解有它的 优越性 将线性方程用向量表示,线性方程组用矩阵表示之后,线性方程的加法、数乘、线性组合 等运算,以及线性方程组的初等变换,就对应于向量的如下运算和矩阵的如下基本变形 n数组向量的加法,数乘,线性组合 矩阵的三类初等行变换 矩阵的三类初等行变换对应于线性方程组的三类基本同解变形。用基本同解变形对线性方程组 消元的过程,也就是用初等行变换将尽可能多的矩阵元素化为零的过程 例 附件5 教学效果调查报告 线性代数是一门比较困难的基础课程,是学生从具体的内容到抽象内容过渡需要通过的一 个难关。特别是数学专业的线性代数,难度就更大。由于我们采用了从问题出发、启发式的教
以后, 凡是谈到线性方程组, 总假定它的系数全都在某个数域 F 中, 称它为 F 上的线性 方程组。解这个线性方程组的过程就只涉及到 F 中的数之间的加、减、乘、除四则运算。 以上在解方程组的过程中, 实际上只对各方程中各项的系数进行了运算 (加、减、乘、除 运算), 每次将代表未知数的字母抄写一遍实际上是一种累赘. 为了书写的简便, 更为了突出解 方程组中本质的东西 --- 系数的运算, 我们采用分离系数法,将线性方程组中代表未知数的字 母略去, 将等号也略去, 只写出各方程的各系数。 将每个方程的各项系数从左到右依次写成一行, 将各方程中同一个未知数的系数上下对齐, 常 数项也上下对齐, 这样得到一矩形数表, 来表示这个方程组。 例。 定义、对任意自然数 m,n, 由数域 F 中 m x n 个数排成 m 行、n 列所得到的数表, 称 为 F 上的 m x n 矩阵。 按照这个定义, 由 m 个 n 元线性方程组成的方程组用 m 行 n+1 列矩阵表示。 每一行代表一个方程。每一列是同一未知数的系数或常数项。 定义、由数域 F 中 n 个数 a_i 排成的有序数组 (a_1,a_2,…,a_n) 称为 F 上的 n 数 组向量。所有分量都为 0 的向量称为零向量。 F 上全体 n 数组向量组成的集合称为 F 上的 n 数组向量空间, 记作 F^n 特别, 每个线性方程用行向量表示. 方程组的解在平常也可以用行向量表示, 以节省空间. 但我们将看到, 作理论分析时, 用列向量来表示方程组的解有它的 优越性. 将线性方程用向量表示, 线性方程组用矩阵表示之后, 线性方程的加法、数乘、线性组合 等运算, 以及线性方程组的初等变换, 就对应于向量的如下运算和矩阵的如下基本变形。 n 数组向量的加法，数乘，线性组合。 矩阵的三类初等行变换。 矩阵的三类初等行变换对应于线性方程组的三类基本同解变形。用基本同解变形对线性方程组 消元的过程, 也就是用初等行变换将尽可能多的矩阵元素化为零的过程。 例。 附件 5 教学效果调查报告 线性代数是一门比较困难的基础课程，是学生从具体的内容到抽象内容过渡需要通过的一 个难关。特别是数学专业的线性代数，难度就更大。由于我们采用了从问题出发、启发式的教
学方法,在引入抽象的概念时尽量从解决具体问题的需要出发、以比较自然的方式来引入,便 于学生理解其背景和实质。这种教学方法收到很好的效果,学生普遍克服了害怕线性代数的情 绪,培养了对这门课程乃至对代数学科的兴趣。2000年上学期,学校教务处对全校435门课程 进行了教学检査,由学生对授课教师课堂教学质量评分。在以前这类检查中,一般是比较易懂 的课程更容易得到高分,而比较困难的课程难于得到高分。但在这次检查中,李尚志教授承担 的《线性代数》课,以测评分4.89分的高分在全校总共435门课程中名列第三。这反映了该课 程建设取得的很好的教学效果
学方法，在引入抽象的概念时尽量从解决具体问题的需要出发、以比较自然的方式来引入，便 于学生理解其背景和实质。这种教学方法收到很好的效果，学生普遍克服了害怕线性代数的情 绪，培养了对这门课程乃至对代数学科的兴趣。2000 年上学期，学校教务处对全校 435 门课程 进行了教学检查，由学生对授课教师课堂教学质量评分。在以前这类检查中，一般是比较易懂 的课程更容易得到高分，而比较困难的课程难于得到高分。但在这次检查中，李尚志教授承担 的《线性代数》课，以测评分 4.89 分的高分在全校总共 435 门课程中名列第三。这反映了该课 程建设取得的很好的教学效果