第一章多项式 §1数域 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质代数所研究 的问题主要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全 体所共有的 定义1设P是由一些复数组成的集合,其中包括0与1如果P中任意两个 数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是中的数,那么P就称为一个数域 显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都 是数域这三个数域分别用字母Q、R、C来代表全体整数组成的集合就不是数 域 如果数的集合P中任意两个数作某一种运算的结果都仍在P中,就说数集P 对这个运算是封闭的因此数域的定义也可以说成,如果一个包含0,1在内的数 集P对于加法、减法、乘法与除法(除数不为零)是封闭的,那么P就称为一个 数域 例1所有具有形式 b2 的数(其中a,b是任何有理数),构成一个数域通常用Q(√2)来表示这个数域 例2所有可以表成形式 +a bo+b, 的数组成一数域,其中n,m为任意非负整数,a1,b,(i=0,1,…,n;j=0,1,…,m)是 整数 例3所有奇数组成的数集,对于乘法是封闭的,但对于加、减法不是封闭 的 性质:所有的数域都包含有理数域作为它的一部分
第一章 多项式 §1 数域 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为数的代数性质.代数所研究 的问题主要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有理数、实数、复数的全 体所共有的. 定义 1 设 P 是由一些复数组成的集合，其中包括 0 与 1.如果 P 中任意两个 数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是中的数，那么 P 就称为一个数域. 显然全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都 是数域.这三个数域分别用字母 Q、R、C 来代表.全体整数组成的集合就不是数 域. 如果数的集合 P 中任意两个数作某一种运算的结果都仍在 P 中，就说数集 P 对这个运算是封闭的.因此数域的定义也可以说成，如果一个包含 0，1 在内的数 集 P 对于加法、减法、乘法与除法（除数不为零）是封闭的，那么 P 就称为一个 数域. 例 1 所有具有形式 a + b 2 的数（其中 a,b 是任何有理数），构成一个数域.通常用 Q( 2) 来表示这个数域. 例 2 所有可以表成形式 m m n n b b b a a a + + + + + + 0 1 0 1 的数组成一数域，其中 n,m 为任意非负整数， a ,b (i 0,1, ,n; j 0,1, ,m) i j = = 是 整数. 例 3 所有奇数组成的数集，对于乘法是封闭的，但对于加、减法不是封闭 的. 性质：所有的数域都包含有理数域作为它的一部分
§2一元多项式 一元多项式 定义2设n是一非负整数,形式表达式 +……+a1x+ 其中ao2a2…,an全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式,或者简称为 数域P上的一元多项式 在多项式(1)中,ax称为i次项,a称为次项的系数以后用f(x),g(x) 或∫,g,…等来表示多项式 注意:这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式 定义3如果在多项式∫(x)与g(x)中,除去系数为零的项外,同次项的系数 全相等,那么∫(x)与g(x)就称为相等,记为f(x)=8(x) 系数全为零的多项式称为零多项式,记为0 在(1)中,如果an≠0,那么ax称为多项式(1)的首项,a称为首项 系数,n称为多项式(1)的次数零多项式是唯一不定义次数的多项式多项式f(x) 的次数记为a(f(x) 二、多项式的运算 设 f(r)=a,x"+a-x"+.+a,x+a 是数域P上两个多项式,那么可以写成 f(x)=∑a (x)=∑b 在表示多项式f(x)与g(x)的和时,如n≥m,为了方便起见,在g(x)中令 b=bn=…=bn=0,那么f(x)与g(x)的和为
§2 一元多项式 一、一元多项式 定义 2 设 n 是一非负整数，形式表达式 1 0 1 a x a 1 x a x a n n n n + + + + − − , (1) 其中 a a an , , , 0 1 全属于数域 P ，称为系数在数域 P 中的一元多项式，或者简称为 数域 P 上的一元多项式. 在多项式（1）中， i i a x 称为 i 次项， i a 称为 i 次项的系数.以后用 f (x), g(x), 或 f , g, 等来表示多项式. 注意：这里定义的多项式是符号或文字的形式表达式. 定义 3 如果在多项式 f (x) 与 g(x) 中，除去系数为零的项外，同次项的系数 全相等，那么 f (x) 与 g(x) 就称为相等，记为 f (x) = g(x) . 系数全为零的多项式称为零多项式，记为 0. 在（1）中，如果 an 0 ，那么 n n a x 称为多项式（1）的首项， n a 称为首项 系数， n 称为多项式（1）的次数.零多项式是唯一不定义次数的多项式.多项式 f (x) 的次数记为 ( f (x)). 二、多项式的运算 设 1 0 1 1 f (x) a x a x a x a n n n = n + + + + − − 1 0 1 1 g(x) b x b x b x b m m m = m + + + + − − 是数域 P 上两个多项式，那么可以写成 = = n i i i f x a x 0 ( ) = = m j j j g x b x 0 ( ) 在表示多项式 f (x) 与 g(x) 的和时，如 n m ，为了方便起见，在 g(x) 中令 bn = bn−1 == bm+1 = 0 ，那么 f (x) 与 g(x) 的和为
∫(x)+g(x)=(an+b)x"+(an1+bn1)xn+…+(a1+b)x+(a+b) 而f(x)与g(x)的乘积为 f(x)g(x)=a,bmx+(a, bm-i+anbn)x++(a,bo+aob)x+aobo 其中s次项的系数是 a,b+a-b1+…+a1b+ab,=∑ub 所以f(x)g(x)可表成 f(x)g(x)=∑(∑ab,)x 显然,数域P上的两个多项式经过加、减、乘运算后,所得结果仍然是数域 P上的多项式 对于多项式的加减法,不难看出 a(f(x)+g(x)smax(a(f(x)),a(g(x))) 对于多项式的乘法,可以证明,若f(x)≠0,g(x)≠0,则f(x)g(x)≠0,并 a(f(x)g(x))=a(f(x))+a(g(x)) 由以上证明看出,多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积 显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形 多项式的运算满足以下的一些规律: 1.加法交换律:f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 2.加法结合律:(f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x) 3.乘法交换律:f(x)g(x)=g(x)f(x) 4.乘法结合律:(f(x)g(x)h(x)=f(x)(g(x)h(x) 5.乘法对加法的分配律:f(x)(g(x)+h(x)=f(x)g(x)+f(x)h(x) 6.乘法消去律:若f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)≠0,则g(x)=h(x)
= − − − = + + = + + + + + + + + n i i i i n n n n n n a b x f x g x a b x a b x a b x a b 0 1 1 0 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 而 f (x) 与 g(x) 的乘积为 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − + 其中 s 次项的系数是 + = + − + + − + = i j s asb0 as 1b1 a1bs 1 a0bs aibj 所以 f (x) g(x) 可表成 s n m s i j s i j f (x)g(x) ( a b )x 0 + = + = = . 显然，数域 P 上的两个多项式经过加、减、乘运算后，所得结果仍然是数域 P 上的多项式. 对于多项式的加减法，不难看出 ( f (x) + g(x)) max( ( f (x)), (g(x))). 对于多项式的乘法，可以证明，若 f (x) 0, g(x) 0 ，则 f (x)g(x) 0 ，并 且 ( f (x)g(x)) = ( f (x)) + (g(x)) 由以上证明看出，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积. 显然上面的结果都可以推广到多个多项式的情形. 多项式的运算满足以下的一些规律： 1. 加法交换律： f (x) + g(x) = g(x) + f (x) . 2. 加法结合律： ( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) 3. 乘法交换律：. f (x)g(x) = g(x) f (x) 4. 乘法结合律： ( f (x)g(x))h(x) = f (x)(g(x)h(x)) 5. 乘法对加法的分配律： f (x)(g(x) + h(x)) = f (x)g(x) + f (x)h(x) 6. 乘法消去律：若 f (x)g(x) = f (x)h(x) 且 f (x) 0 ，则 g(x) = h(x)
定义4所有系数在数域P中的一元多项式的全体,称为数域P上的一元多 项式环,记为P[x],P称为P[x]的系数域
定义 4 所有系数在数域 P 中的一元多项式的全体，称为数域 P 上的一元多 项式环，记为 P[x]， P 称为 P[x] 的系数域
§3整除的概念 在一元多项式环中,可以作加、减、乘三种运算,但是乘法的逆运算一除法 并不是普遍可以做的因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系 整除的概念 带余除法对于Px中任意两个多项式f(x)与g(x),其中g(x)≠0,一定有 Px]中的多项式q(x)r(x)存在,使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立,其中(r(x)<a(g(x)或者r(x)=0,并且这样的q(x),r(x)是唯一决定的 带余除法中所得的q(x)通常称为g(x)除f(x)的商,r(x)称为g(x)除f(x)的 余式 定义5数域P上的多项式g(x)称为整除f(x),如果有数域P上的多项式 h(x)使等式 f(x)=g(xh(x) 成立用“g(x)∫(x)”表示g(x)整除∫(x),用“g(x)|f(x)”表示g(x)不能整除 当g(x)|f(x)时,g(x)就称为f(x)的因式,f(x)称为g(x)的倍式 当g(x)≠0时,带余除法给出了整除性的一个判别条件 定理1对于数域P上的任意两个多项式f(x),g(x),其中g(x)≠0 g(x)|f(x)的充要条件是g(x)除f(x)的余式为零 带余除法中g(x)必须不为零.但g(x)|f(x)中,g(x)可以为零这时 f(x)=g(x)·h(x)=0·h(x)=0 当g(x)|f(x)时,如g(x)≠0,g(x)除f(x)的商q(x)有时也用 g(x)
§3 整除的概念 在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算—除法 —并不是普遍可以做的.因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系. 一、整除的概念 带余除法 对于 P[x] 中任意两个多项式 f (x) 与 g(x) ，其中 g(x) 0 ，一定有 P[x] 中的多项式 q(x),r(x) 存在，使 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，其中 (r(x)) (g(x)) 或者 r(x) = 0 ，并且这样的 q(x),r(x) 是唯一决定的. 带余除法中所得的 q(x) 通常称为 g(x) 除 f (x) 的商， r(x) 称为 g(x) 除 f (x) 的 余式. 定义 5 数域 P 上的多项式 g(x) 称为整除 f (x) ，如果有数域 P 上的多项式 h(x) 使等式 f (x) = g(x)h(x) 成立.用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 整除 f (x) ，用“ g(x) | f (x) ”表示 g(x) 不能整除 f (x) . 当 g(x) | f (x) 时， g(x) 就称为 f (x) 的因式， f (x) 称为 g(x) 的倍式. 当 g(x) 0 时，带余除法给出了整除性的一个判别条件. 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式 f (x) ， g(x) ，其中 g(x) 0 ， g(x) | f (x) 的充要条件是 g(x) 除 f (x) 的余式为零. 带余除法中 g(x) 必须不为零 . 但 g(x) | f (x) 中 ， g(x) 可以为零 . 这时 f (x) = g(x) h(x) = 0 h(x) = 0 . 当 g(x) | f (x) 时，如 g(x) 0 ， g(x) 除 f (x) 的商 q(x) 有时也用 ( ) ( ) g x f x
来表示 二、整除的性质 1.任一多项式f(x)一定整除它自身 2.任一多项式∫(x)都能整除零多项式0 3.零次多项式,即非零常数,能整除任一个多项式 4.若f(x)|g(x)g(x)|f(x),则f(x)=cg(x),其中c为非零常数 5.若f(x)|g(x),g(x)h(x),则f(x)|h(x)(整除的传递性) 6.若f(x)|g(x),i=1,2,…,r,则 f(x)|(1(x)g(x)+2(x)g2(x)+…+l1(x)g1(x) 其中u1(x)是数域P上任意的多项式 通常,a1(x)g(x)+u2(x)g2(x)+…+l,(x)g,(x)称为g1(x),g2(x)…g,(x)的 个组合 由以上性质可以看出,f(x)与它的任一个非零常数倍c(x)(c≠O)有相同的 因式,也有相同的倍式因之,在多项式整除性的讨论中,f(x)常常可以用cf(x) 来代替 最后,两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变即若f(x), g(x)是Px]中两个多项式,P是包含P的一个较大的数域当然,f(x),g(x)也 可以看成是P[x]中的多项式从带余除法可以看出,不论把f(x),g(x)看成是 Px]中或者是P[x]中的多项式,用g(x)去除f(x)所得的商式及余式都是一样的 因此,若在P[x]中g(x)不能整除f(x),则在P[x]中,g(x)也不能整除f(x) 例1证明若g(x)f(x)+f2(x)g(x)f1(x)-f2(x),则 g(x)If(x),g(x)If2(x) 例2求k,l,使x2+x+lx3+kx+1 例3若g(x)|f(x),g(x)h(x),则g(x)f(x)+h(x)
来表示. 二、整除的性质 1. 任一多项式 f (x) 一定整除它自身. 2. 任一多项式 f (x) 都能整除零多项式 0. 3. 零次多项式，即非零常数，能整除任一个多项式. 4. 若 f (x) | g(x), g(x) | f (x) ，则 f (x) = cg(x),其中 c 为非零常数. 5. 若 f (x) | g(x), g(x) | h(x) ，则 f (x) | h(x) （整除的传递性）. 6. 若 f x g x i r i ( ) | ( ), =1,2, , ，则 ( )| ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )) 1 1 2 2 f x u x g x u x g x u x g x + ++ r r , 其中 u (x) i 是数域 P 上任意的多项式. 通常， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 u x g x u x g x u x g x + ++ r r 称为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 g x g x g x r 的 一个组合. 由以上性质可以看出， f (x) 与它的任一个非零常数倍 cf (x)(c 0) 有相同的 因式，也有相同的倍式.因之，在多项式整除性的讨论中， f (x) 常常可以用 cf (x) 来代替. 最后，两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大而改变.即若 f (x) ， g(x) 是 P[x] 中两个多项式， P 是包含 P 的一个较大的数域.当然， f (x) ，g(x) 也 可以看成是 P[x] 中的多项式.从带余除法可以看出，不论把 f (x) ， g(x) 看成是 P[x] 中或者是 P[x] 中的多项式，用 g(x) 去除 f (x) 所得的商式及余式都是一样的. 因此，若在 P[x] 中 g(x) 不能整除 f (x) ，则在 P[x] 中， g(x) 也不能整除 f (x) . 例 1 证明若 ( )| ( ) ( ), ( )| ( ) ( ) 1 2 1 2 g x f x + f x g x f x − f x ，则 ( )| ( ), ( )| ( ) 1 2 g x f x g x f x 例 2 求 k,l ，使 | 1 2 3 x + x + l x + kx+ . 例 3 若 g(x) | f (x), g(x) | h(x) ，则 g(x) | f (x) + h(x)
§4多项式的最大公因式 、多项式的最大公因式 如果多项式(x)既是f(x)的因式,又是g(x)的因式,那么(x)就称为f(x) 与g(x)的一个公因式 定义6设f(x)与g(x)是Px]中两个多项式,P[x中多项式d(x)称为 f(x),g(x)的一个公因式,如果它满足下面两个条件: 1)d(x)是f(x)与g(x)的公因式; 2)f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式 例如,对于任意多项式f(x),f(x)就是f(x)与0的一个最大公因式特别 地,根据定义,两个零多项式的最大公因式就是0. 引理如果有等式 f(x)=q(x)g(x)+r(x) (1) 成立,那么f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同的公因式 定理2对于P[x]的任意两个多项式f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公 因式d(x),且d(x)可以表成f(x),g(x)的一个组合,即有Px]中多项式u(x),v(x) 使 d(x=u(xf(x)+v(x)g(x) (2) 由最大公因式的定义不难看出,如果d1(x)d2(x)是f(x),g(x)的两个最大 公因式,那么一定有d(x)|d2(x)与d2(x)d1(x),也就是说d1(x)=cd2(x),c≠0 这就是说,两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯 确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式在这个情形, 我们约定,用 (f(x),g(x)) 来表示首项系数是1的那个最大公因式
§4 多项式的最大公因式 一 、多项式的最大公因式 如果多项式 (x) 既是 f (x) 的因式，又是 g(x) 的因式，那么 (x) 就称为 f (x) 与 g(x) 的一个公因式. 定义 6 设 f (x) 与 g(x) 是 P[x] 中两个多项式. P[x] 中多项式 d (x) 称为 f (x) ， g(x) 的一个公因式,如果它满足下面两个条件： 1） d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的公因式； 2） f (x) ， g(x) 的公因式全是 d (x) 的因式. 例如，对于任意多项式 f (x) ， f (x) 就是 f (x) 与 0 的一个最大公因式.特别 地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是 0. 引理 如果有等式 f (x) = q(x)g(x) + r(x) (1) 成立，那么 f (x) ， g(x) 和 g(x) ，r(x) 有相同的公因式. 定理 2 对于 P[x] 的任意两个多项式 f (x) ，g(x) ，在 P[x] 中存在一个最大公 因式 d (x) ，且 d (x) 可以表成 f (x) ，g(x) 的一个组合，即有 P[x] 中多项式 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . (2) 由最大公因式的定义不难看出，如果 ( ), ( ) 1 2 d x d x 是 f (x) ， g(x) 的两个最大 公因式，那么一定有 ( )| ( ) 1 2 d x d x 与 ( )| ( ) 2 1 d x d x ，也就是说 d1 (x) = cd2 (x),c 0 . 这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一 确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式.在这个情形， 我们约定，用 （ f (x) ， g(x) ） 来表示首项系数是 1 的那个最大公因式
定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法( division algorithm) 例设 f(x)=x2+3x3-x2-4x-3 g(x)=3x3+10x2+2 求(f(x),g(x),并求u(x),v(x)使 d(x)=u(xf(x)+v(xg(x) 注:定理2的逆不成立例如令 ∫(x)=x,g(x)=x+1, 则 x(x+2)+(x+1)(x-1)=2x2+2x-1 但2x2+2x-1显然不是f(x)与g(x)的最大公因式 但是当(2)式成立,而d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式,则d(x)一定是f(x) 与g(x)的一个最大公因式 二、多项式互素 定义7P[x中两个多项式∫(x),g(x)称为互素(也称为互质)的,如果 (f(x),g(x)=1 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式,反之亦 然. 定理3P[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充要条件是有P[x中多项式 l(x),v(x)使 u(x)f(x)+v(x)g(x)=1 定理4如果(f(x),g(x)=1,且∫(x)|g(x)h(x),那么 (x)|h(x)
定理证明中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法(division algorithm). 例 设 ( ) 3 4 3 4 3 2 f x = x + x − x − x − ( ) 3 10 2 3 3 2 g x = x + x + x − 求（ f (x) ， g(x) ），并求 u(x), v(x) 使 d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) . 注：定理 2 的逆不成立.例如令 f (x) = x, g(x) = x +1, 则 ( 2) ( 1)( 1) 2 2 1 2 x x + + x + x − = x + x − . 但 2 2 1 2 x + x − 显然不是 f (x) 与 g(x) 的最大公因式. 但是当(2)式成立，而 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 的一个公因式，则 d (x) 一定是 f (x) 与 g(x) 的一个最大公因式. 二、多项式互素 定义 7 P[x] 中两个多项式 f (x) ， g(x) 称为互素（也称为互质）的，如果 ( f (x), g(x)) = 1 显然,两个多项式互素,那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦 然. 定理 3 P[x] 中两个多项式 f (x) ， g(x) 互素的充要条件是有 P[x] 中多项式 u(x), v(x) 使 u(x) f (x) + v(x)g(x) = 1. 定理 4 如果 ( f (x), g(x)) = 1 ，且 f (x) | g(x)h(x) ,那么 f (x) | h(x)
推论1如果f(x)|g(x),f(x)|g(x),且(f(x),f2(x)=1,那么 f(xf,(x)1g(x) 推论2如果(f(x)g(x)=1,(2(x),g(x)=1,那么(f(x)2(x)g(x)=1 推广:对于任意多个多项式f(x),2(x)…,∫(x)s≥2),d(x)称为 f(x),f2(x).…f,(x)s≥2)的一个最大公因式,如果d(x)具有下面的性质: 1)d(x)|J∫(x),i=1,2,…,s 2)如果q(x)f(x)i=1,2,…,s,那么(x)|d(x) 我们仍用(f(x),f2(x),…,f,(x)符号来表示首项系数为1的最大公因式不 难证明f1(x),2(x)…,f(x)的最大公因式存在,而且当f(x),f2(x)…,f(x)全不 为零时, (1(x),f2(x),…,f3=1(x),f3(x) 就是f(x),f2(x)…,f(x)的最大公因式,即 (f1(x),f2(x),…,f,(x)=(1(x),/2(x)…,f1(x),f(x) 同样,利用以上这个关系可以证明,存在多项式u1(x)i=1,2,…,s,使 l1(x)f1(x)+l2(x)2(x)+…+2(x)f,(x)=(f1(x),f2(x)…,f,(x) 如果(f(x),f2(x)…,f(x)=1,那么∫f(x),f2(x)…,f,(x)就称为互素的.同 样有类似定理3的结论 注意1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项 式一般不能整除积的因式之一.例如x2-1(x+1)2(x-1)2,但x2-1|(x+1)2,且 2)推论1中没有互素的条件,则不成立.如g(x)=x2-1,f(x)=x+1, f(x)=(x+1)x-1),则f(x)|g(x),f2(x)lg(x),但f1(x)/2(x)lg(x) 注意:s(s≥2)个多项式f1(x),2(x),…,f(x)互素时,它们并不一定两两互
推论 1 如果 ( )| ( ), ( ) | ( ) 1 2 f x g x f x g x ，且 ( f 1 (x), f 2 (x)) =1,那么 ( ) ( )| ( ) 1 2 f x f x g x . 推论 2 如果 ( f 1 (x), g(x)) =1, ( f 2 (x), g(x)) =1,那么 ( f 1 (x) f 2 (x), g(x)) =1 推 广 ： 对 于 任 意 多 个 多 项 式 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x f s x s ， d (x) 称 为 ( ), ( ), , ( )( 2) f 1 x f 2 x f s x s 的一个最大公因式，如果 d (x) 具有下面的性质： 1） d x f x i s i ( ) | ( ), =1, 2, , ; 2）如果 x f x i s i ( ) | ( ), =1, 2, , ，那么 (x) | d(x) . 我们仍用 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x s 符号来表示首项系数为 1 的最大公因式.不 难证明 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 的最大公因式存在，而且当 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 全不 为零时， (( ( ), ( ), , ( )), ( )) 1 2 1 f x f x f x f x s− s 就是 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 的最大公因式，即 ( ( ), ( ), , ( )) 1 2 f x f x f x s = (( ( ), ( ), , ( )), ( )) 1 2 1 f x f x f x f x s− s 同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式 u x i s i ( ), =1,2, , ,使 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ), ( ), , ( )) 1 1 2 2 1 2 u x f x u x f x u x f x f x f x f x + ++ s s = s 如果 ( f 1 (x), f 2 (x), , f s (x)) = 1 ，那么 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 就称为互素的.同 样有类似定理 3 的结论. 注意 1)当一个多项式整除两个多项式之积时,若没有互素的条件,这个多项 式一般不能整除积的因式之一.例如 2 2 2 x −1| (x +1) (x −1) ,但 2 2 x −1 | (x +1) ,且 2 2 x −1 | (x −1) . 2) 推论 1 中没有互素的条件,则不成立.如 ( ) 1 2 g x = x − , f 1 (x) = x +1, ( ) ( 1)( 1) f 2 x = x + x − ,则 ( )| ( ), ( ) | ( ) 1 2 f x g x f x g x ,但 ( ) ( )| ( ) 1 2 f x f x g x . 注意: s (s 2) 个多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 互素时,它们并不一定两两互
素.例如,多项式 f(x)=x2-3x+2,f2(x)=x2-5x+6,f3(x)=x2-4x+3 是互素的,但(f(x),f(x)=x-2 令P是含P的一个数域,d(x)是Px的多项式f(x)与g(x)在P[x]中的首 项系数为1的最大公因式,而d(x)是f(x)与g(x)在PX]中首项系数为1的最大 公因式,那么d(x)=d(x) 即从数域P过渡到数域P时,f(x)与g(x)的最大公因式本质上没有改变 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形 1)若多项式h(x)f1(x)/2(x)…f,(x),h(x)与f(x),…f1(x),f1(x)…,f,(x) 互素,则h(x)|∫;(x)1≤i≤s) 2)若多项式f(x),f2(x)…,f(x)都整除h(x),且f(x)f(x)…∫、(x)两两 互素,则f(x)2(x)…f(x)|h(x) 3)若多项式f(x),f2(x)…,f(x)都与hx)互素,则 (f(x)/2(x)…f,(x)h(x)=1
素.例如,多项式 ( ) 3 2 , ( ) 5 6 , ( ) 4 3 2 3 2 2 2 f 1 x = x − x + f x = x − x + f x = x − x + 是互素的,但 ( f 1 (x), f 2 (x)) = x − 2. 令 P 是含 P 的一个数域, d (x) 是 P[x] 的多项式 f (x) 与 g(x) 在 P[x] 中的首 项系数为 1 的最大公因式,而 d (x) 是 f (x) 与 g(x) 在 P[X ] 中首项系数为 1 的最大 公因式,那么 d(x) = d(x). 即从数域 P 过渡到数域 P 时, f (x) 与 g(x) 的最大公因式本质上没有改变. 互素多项式的性质可以推广到多个多项式的情形： 1)若多项式 ( ) | ( ) ( ) ( ), 1 2 h x f x f x f x s h(x) 与 ( ), , ( ), ( ), , ( ) 1 1 1 f x f x f x f x i− i+ s 互素，则 h(x) | f (x)(1 i s) i . 2) 若多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 都整除 h(x) ，且 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 两两 互素，则 ( ) ( ) ( ) | ( ) 1 2 f x f x f x h x s . 3) 若多项式 ( ), ( ), , ( ) 1 2 f x f x f x s 都与 h(x) 互素，则 ( f 1 (x) f 2 (x) f s (x), h(x)) =1