第四章数值积分与数值微分 §1数值积分概述 §2 Newton cotes公式 §3 Romberg求积法 §4 Gauss型求积公式 §5数值微分 2004-11-1
2004-11-1 1 第四章 数值积分与数值微分 §1 数值积分概述 §2 Newton Cotes 公式 §3 Romberg求积法 §4 Gauss型求积公式 §5 数值微分
§4.1数值积分概述 由积分学基本定理 Newton- Leibenize公式有: f(xdx= F(b-F(a) 但在应用中常会碰到如下情况: ①x)的原函数无法用初等函数给出 ②2x)用表格形式给出 ③虽然(x)的原函数能用初等函数表示, 但表达式过于复杂 2004-11-1 2
2004-11-1 2 §4.1 数值积分概述 由积分学基本定理Newton-Leibenize公式有： f (x)dx F(b) F(a) b a = − ∫ 但在应用中常会碰到如下情况： ①f(x)的原函数无法用初等函数给出 ②f(x)用表格形式给出 ③虽然f(x)的原函数能用初等函数表示, 但表达式过于复杂
求积公式 "f(x)d≈∑Af(x) k=0 =(xk=∑4(x)+门=ln+ 其中R称为求积公式的余项,xk(k=0,1,2,…n) 称为求积节点,Ak(k=0,1,2,…n)称为求积系数。 Ak仅与求积节点xk的选取有关,而不依赖与被积 函数f(x)的具体形式。 2004-11-1
2004-11-1 3 ∫ ∑ = = ≈ = n k k k n b a I f x dx A f x I 0 ( ) ( ) ∫ ∑ = = = + = + b a n k k k n I f x dx A f x R f I R f 0 ( ) ( ) [ ] [ ] 一 .求积公式 其中R[f]称为求积公式的余项，x (k 0,1,2, n) k = L 称为求积节点，A (k 0,1,2, n ) k = L 称为求积系数。 k x Ak仅与求积节点 的选取有关，而不依赖与被积 函数f(x)的具体形式
求积公式的代数精确度 衡量一个求积公式好坏的标准。 定义:如果求积公式()=∑4x) 对于一切不高于m次的代数多项式准确成立 而对于某个m+1次多项式并不准确成立, 则称上述求积公式具有m次代数精确度,或称 为具有m次代数精度。 2004-11-1
2004-11-1 4 二.求积公式的代数精确度 衡量一个求积公式好坏的标准。 ∫ ∑ = ≈ b a n k k k f x dx A f x 0 定义：如果求积公式 ( ) ( ) 对于一切不高于m次的代数多项式准确成立， 而对于某个m+1次多项式并不准确成立， 则称上述求积公式具有m次代数精确度，或称 为具有m次代数精度
求积公式的代数精确度(续) 如果要构造具有m次代数精度的求积公式, 只要令它对于f(x)=1,x,x2,…,xm 都能准确成立即可。 (a+ax+…+anx)=∑4(a+axk+…+anx) k=0 dx+a1xdx+…+anb|xax a∑4+a∑4x+…+an∑4x 2004-11-1
2004-11-1 5 求积公式的代数精确度（续） 如果要构造具有m次代数精度的求积公式， m f (x) 1, x, x , , x 只要令它对于 = 2 L 都能准确成立即可。 ∫ ∑ = + + + = + + + n k m k k m k b a m m a a x a x dx A a a x a x 0 0 1 0 1 ( L ) ( L ) ∫ ∫ ∫ ⇔ + + + ba m m ba ba a dx a xdx L a b x dx 0 1 ∑ ∑ ∑ = = = = + + + n k m m k k n k n k k k k a A a A x a A x 0 0 0 0 1 L
求积公式的代数精确度(续) ak=∑4 k=0 xd=∑4x k=0 xdx=∑4xm k=0 即若求积公式具有m次代数精度, k应满足上述方程组。反之亦然 2004-11-1
2004-11-1 6 求积公式的代数精确度（续） ∫ ∑ = = b a n k Ak dx 0 ∫ ∑ = = b a n k k k xdx A x 0 ∫ ∑ = = b a n k m k k m x dx A x 0 M 即若求积公式具有m次代数精度， Ak 应满足上述方程组。反之亦然
求积公式的代数精确度(续) 特别地,若取n=m,即取m+1个节点x0…xm, 则可通过给定的m+1个节点得到上述含m+1个 未知数、m+1个方程的方程组。 若求积节点互异,则 det a= ≠0 从而可得如下定理: 2004-11-1 7
2004-11-1 7 特别地,若取n = m，即取m+1个节点 x0Lxm , 求积公式的代数精确度（续） 则可通过给定的m+1个节点得到上述含m+1个 未知数、m+1个方程的方程组。 若求积节点互异，则 0 1 1 1 det 0 1 0 1 = ≠ m m m m m x x x x x x A L M M M L L 从而可得如下定理：
求积公式的代数精确度(续) 定理: 在区间[a,b]上,对于给定m+1个互异节点, ≤x<…<xSb,总存在求积系数A2A1…An, 使求积公式至少有m次代数精度。 Remark:定出A(k=0,1…,m),则求积公式至 少具有m次代数精度,但并不一定它具有m次 代数精度,要将xm代入求积公式,如果等式不 准确成立,即求积公式具有m次代数精度, 否则代数精度将大于m。 2004-11-1
2004-11-1 8 求积公式的代数精确度（续） 定理： 使求积公式至少有m次代数精度。 在区间[a,b]上,对于给定m+1个互异节点， a x x b ≤ 0 <L< m ≤ A A LAm , , ，总存在求积系数 0 1 , Remark：定出 ，则求积公式至 少具有m 次代数精度，但并不一定它具有m 次 代数精度,要将 代入求积公式，如果等式不 准确成立，即求积公式具有m 次代数精度， 否则代数精度将大于m。 A (k 0,1, ,m) k = L m+1 x
求积公式的代数精确度(续) Remark1:代数精度越高,求积公式的适应性越强 Remark2:凡至少具有零次代数精度的求积公式 f(x)≈∑4f(x) 定满足 d=∑ 从而有 即求积系数之和等于积分区间长度,这是求积系数 的一个基本特性 2004-11-1
2004-11-1 9 求积公式的代数精确度（续） Remark1：代数精度越高，求积公式的适应性越强。 Remark2：凡至少具有零次代数精度的求积公式 ∫ ∑ = ≈ b a n k k k f x dx A f x 0 ( ) ( ) 一定满足 ∫ ∑ = ⋅ = ⋅ b a n k dx Ak 0 1 1 A b a n k ∑ k = − =0 从而有 即求积系数之和等于积分区间长度，这是求积系数 的一个基本特性
求积公式的代数精确度(续) 例:确定求积公式 f(xdx h{f(0)+f(h) +ah lf(o)-f(h) 中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指 明所构造的求积公式所具有的代数精度 解:求积公式中含一个待定参数 当fx)=1,x时,有 = 0 2004-11-1
2004-11-1 10 求积公式的代数精确度（续） 例：确定求积公式 [ (0) ( )] 2 [ (0) ( )] ( ) 2 0 h f f h h f f h f x dx h + ′ − ′ + ≈ ∫ α 中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指 明所构造的求积公式所具有的代数精度。 解：求积公式中含一个待定参数 当f(x)=1, x时,有 ∫ ≡ + h h dx 0 [1 1] 2