第八章 矩阵特征值与特征向量的计算 §8.0问题描述 §8,1乘幂法与反幂法 §82雅可比方法 §83OR方法 §8.4求实对称三对角矩阵特 征值的二分法 2004-12-1
2004-12-1 1 第八章 矩阵特征值与特征向量的计算 •§8.0 问题描述 •§8.1 乘幂法与反幂法 •§8.2 雅可比方法 •§8.3 QR方法 •§8.4 求实对称三对角矩阵特 征值的二分法
§80问题描述 设A为n×n矩阵,所谓A的特征问题是求数和非零向 量x,使 a x= 1x 成立。数λ叫做A的一个特征值,非零向量x叫做与特 征值λ对应的特征向量。这个问题等价于求使方程组 (4-n)x=0有非零解的数和相应的非零向量x。 线性代数理论中是通过求解特征多项式e(A-n)=0的 零点而得到,然后通过求解退化的方程组(A-)x=0 而得到非零向量x。当矩阵阶数很高时,这种方法极为 困难。目前用数值方法计算矩阵的特征值以及特征向 量比较有效的方法是迭代法和变换法。 Back 2004-12-1
2004-12-1 2 §8.0 问题描述 设A为n×n矩阵，所谓A的特征问题是求数λ和非零向 量x，使 Ax＝ λx 成立。数λ叫做A的一个特征值，非零向量x叫做与特 征值λ对应的特征向量。这个问题等价于求使方程组 (A- λI)x=0有非零解的数λ和相应的非零向量x。 线性代数理论中是通过求解特征多项式det(A- λI)=0的 零点而得到λ ，然后通过求解退化的方程组(A- λI)x=0 而得到非零向量x。当矩阵阶数很高时，这种方法极为 困难。目前用数值方法计算矩阵的特征值以及特征向 量比较有效的方法是迭代法和变换法。 Back
§8.1乘幂法与反幂法 乘幂法 通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭法方法, 它用以求按模最大的特征值和相应的特征向量 设实矩阵A的特征值为1,A2,…,2,相应的特征向 量xx2,…,x线性无关。设A的特征值按模排序为: 则对任一非零向量V0)∈R;可以得到: x1十a,X2+…+anX ∑ 令H=AV(,k=02…;可以构造一个向量序列 (0) =A1a1x1+,a2x2+…+,anx n nn ∑ 2004-12-1
2004-12-1 3 §8.1 乘幂法与反幂法 一、乘幂法 通过求矩阵特征向量求出特征值的一种迭法方法， 它用以求按模最大的特征值和相应的特征向量。 λ1 ≥ λ2 ≥L≥ λn ∑ = = = + + + = n j n n n j j j V AV a x a x a x a x 1 1 1 1 2 2 2 (1) 0 λ λ L λ λ （ ） 设实矩阵A的特征值为λ1，λ2，…, λn，相应的特征向 量x1, x2 ,L, xn 线性无关。设A的特征值按模排序为： ∑ = = + + + = n j n n j j V a x a x a x a x 1 1 1 2 2 (0) L 则对任一非零向量 ，可以得到： n V ∈ R (0) 令 , 0,1,2,L，可以构造一个向量序列， ( 1) ( ) = = + V AV k k k
乘幂法(续) 1)=A=ax+a2x2+…+x=∑ax V6=41=1ax+1a2x2+…+2anxn=∑ 下面分四种情况讨论: 4>1 (k) A(a1x1+2(n)a,x,) 若a≠0由于<1(≥2,故k充分大时, V6)=(ax+6)≈a1x1 2004-12-1
2004-12-1 4 乘幂法（续） ∑ = = = + + + = n j n n n j j j V AV a x a x a x a x 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 (2) 1 λ λ L λ λ （ ） M ∑ = − = = + + + = n j j j k n n j k n k k k k V AV a x a x a x a x 1 1 1 1 2 2 2 ( ) 1 λ λ L λ λ （ ） 下面分四种情况讨论： ( ( ) ) 2 1 1 1 1 ( ) ( 0 ) ∑ = = = + n j j j k k k j k V A V a x a x λ λ λ ( 2,3, , ) λ1 > λ j j = L n 若 由于 1( 2)，故k充分大时， 1 < i ≥ i λ λ 0, a1 ≠ 1 1 1 1 1 1 ( ) V (a x ) a x k k k k = λ +ε ≈ λ 1
乘幂法(续) (k) 是相应于λ的近似特征向量 设表示V的第个分量。 (k+1) C1(x1),+(E 3x4a1(x1)+(E) Remark:具体计算时,ⅴ⑩)的选取很难保证一定有 αx1≠0。但是,由于舍入误差的影响,只要迭代次数 足够多,如Vm=ax1+a2x2+…+anxn,就会有 d1≠0,因而最后结论是成立的。对于=0的情形 由于对任意均有上面的结论,故只要取另外的使 哪辱0 2.主特征值是实数,但不是单根, 2004-12-1
2004-12-1 5 乘幂法（续） (k ) V 是相应于λ1的近似特征向量 设 表 Vl(k ) 示 V (k )的第l个分量。 l n a x a x V V l k l k l k l k k l k l , 1,2, , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) ≈ = L + + = + + + λ λ ε λ ε （ ）（ ） （ ）（ ） 2.主特征值是实数，但不是单根，如 λ1 = λ2 =L= λr 而 ， λ1 > λr+1 ≥L≥ λn 则 Remark:具体计算时，V(0)的选取很难保证一定有 α1≠0。但是，由于舍入误差的影响，只要迭代次数 足够多，如 ，就会有 ，因而最后结论是成立的。对于 的情形， 由于对任意l均有上面的结论，故只要取另外的l使 即可。 n n m V = a′ x + a′ x +L+ a′ x 1 1 2 2 ( ) a1 ′ ≠ 0 0 ( ) = k Vl 0 ( ) ≠ k Vl
乘幂法(续) V6=4x+∑(含)ax) i=r+1 仍然是相对于λ的近似特征向量 (k+1) T(k) Remark由于相应于λ的特征向量子空间可能不是 维的,由上式得到的只是该子空间的一个特 征向量。而且不同的0可能得到线性无关的6)。 3.=-12且为实数,4=22小(=34…,n) 由于6)=x(ax+(-1a2x2+a1()x3+…+an(n/x =x(ax+(-1)ax2+a) 2004-12-1
2004-12-1 6 乘幂法（续） （ （ ） k i i ） n i r i i r i i k k V ∑ a x ∑ a x = = + = + 1 1 1 1 ( ) λ λ λ (k ) V 仍然是相对于 λ1的近似特征向量。 l n V V k l k l , 1,2, , ( ) ( 1) 1 ≈ = L + λ Remark:由于相应于 λ1的特征向量子空间可能不是 一维的，由上式得到的 V( k)只是该子空间的一个特 征向量。而且不同的 V(0)可能得到线性无关的 V( k) 。 3. λ1 = − λ2 且为实数， ( 3,4, , ) λ1 = λ2 > λ j j = L n n n k n k k k k ( a x ( 1 ) a x a ( ) x a ( ) x 1 3 1 3 1 1 1 2 2 3 ( ) λ λ λ λ 由于 V = λ + − + + L + ( ) * 1 1 1 2 2 ( 1 ) k k k = λ a x + − a x + ε
乘幂法(续) 当k充分大以后,有 r(k+2) A≈或≈V (k+2) 又可推出: (k+1) +21 (k) 4+(a1x1+(-1)a2x2+)+x4(a4x+(-1a2x2+) k+1 ax 1-A (k+ J(k)≈(-1)k+12+1 k++元y(和+-分别看作和2 的近似特征向量。 2004-12-1 7
2004-12-1 7 乘幂法（续） 当k充分大以后，有 或21 2 ≈ λ + （ ） （ ） k l k l V V （ ） （k） l k Vl /V 2 1 + λ ≈ 又可推出： （k ） （k） V 1V 1 + λ + 1 1 )* 1 1 2 2 1 1 * 2 2 1 1 1 1 1 1 k k k k k k = λ a x + − a x + ε + λ a x + − a x + ε + + +（ （ ）+ ） （ （ ） 1 1 1 2 1 a x k+ ≈ λ 2 2 1 1 1 1 1 V V 1 2 a x k + k k + k + − λ ≈（− ） λ （ ） （ ） （k ） （k） V 1V 1 − λ （k ） （k）和 + V 1V 1 + λ + 分别看作 λ1和λ2 的近似特征向量
乘幂法(续) 4.=,且=2>122…2 此处只限于讨论实矩阵的情形。若有 1=p,必有2=21=pe,而且x2=x1 当VO为实向量时,有 Vo=ax, tax,+.tax =ax, tax,t>ax n n j=3 V6=xax+术41x+∑x≈列x+x4x (k+1)~k+1 k+1 x+M a,x ax,+ ak+2 2004-12-1
2004-12-1 8 乘幂法（续） 4. λ1 = λ2，且λ1 = λ2 > λ3 ≥L≥ λn 此处只限于讨论实矩阵的情形。若有 1 2 1 2 1 e e x x i i = = = = λ ρ θ ，必有λ λ ρ − θ ，而且 ∑ = = + + + = + + n j n n j j V a x a x a x a x a x a x 3 1 1 2 2 1 1 1 1 (0) L 当V(0)为实向量时，有 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 ( ) V a x a x a x a x a x k k n j j j k j k k k = λ +λ +∑λ ≈ λ +λ = 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) V a x a x k+ k+ k+ ≈ λ +λ 1 1 2 1 1 1 2 1 ( 2) V a x a x k+ k+ k+ ≈ λ +λ
乘幂法(续) 容易验证, (k+2) (1+ (k+1) k +v≈ 若存在二实数p,q,使得 (k+2) +pV(6+)+q)=0 则可以得到 (2+p21+q)=0 半水 2(2+p元1+q)=0 上式说明λ,是方程n+p+q=0的一对共轭复根 这里的系数p、q可由(*)式的分量形式确定,即 (k+2) +p4+1)+ql (k) (k+2) (k) 1≤l,j≤n,l≠j +pvt+qv 2004-12-1
2004-12-1 9 乘幂法（续） 容易验证， 0 ( ) 1 1 ( 1) 1 1 ( 2) − + + ≈ k+ k+ k V （λ λ）V λ λV 若存在二实数p，q，使得 0 ( 2) ( 1) ( ) + + = k+ k+ k V pV qV 则可以得到 + + = + + = ( ) 0 ( ) 0 1 2 1 1 1 2 1 1 p q p q k k λ λ λ λ λ λ 上式说明 是方程λ2＋ pλ＋q＝0的一对共轭复根。 这里的系数p、q可由（*）式的分量形式确定，即 1 1 λ ,λ (*) (**) l j n l j V pV qV V pV qV k j k j k j k l k l k l ≤ ≤ ≠ + + = + + = + + + + 1 , , 00 ( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( 1) ( )
乘幂法(续) 解出p和q后,即可由(*)式求得 241q-(P)2 2 又因为 6+)-2V(6)≈4(x1-2)ax1 -2()≈12(2-1)a2x2 故与λ1,对应的特征向量分别为+2和 Vk+D)-n,V 2004-12-1
2004-12-1 10 乘幂法（续） 解出p和q后，即可由（**）式求得 2 1,2 2 2 （ ）p i q p λ = − ± − 又因为 − ≈ − − ≈ − + + 2 2 1 2 2 ( ) 1 ( 1) 1 1 2 1 1 ( ) 2 ( 1) ( ) ( ) V V a x V V a x k k k k k k λ λ λ λ λ λ λ λ 故与λ1，λ2对应的特征向量分别为V(k+1)- λ2V(k)和 V(k+1)- λ1V(k)