高等数学公式手册 二○○六年七月
高 等 数 学 公 式 手 册 二〇〇六年七月
导数公式 (tgx)'=sec (arcsin x)=.I (ctx) (secx)=secx·t (arccos) (cscx)'=-cScx ctx (a)=a Ina 1+x (log。x) (arcctgx)=- ln 基本积分表: jtgxdx=-Inlcos x[+C sec xdx= tgx+C cos x 「 ctex= Inlsin x+C =csc xdx=-ctgx+C sec xdx=In sec x+tgx+C sin x csc xdx= Ncsc x-ctgx +C texdx arct -+C a dx=-+C d x a+x In a2-x2 2a a-x chxdx= shx +C =arcsin -+C n(x+√ I sin"xdx= cos"xdr=n-1 +a2)+C a-+ JVa2-x'dr=3Va2-x2+g-arcsin +C 三角函数的有理式积分: sInx= - cOSx= 1+ 2’a。2d 1+t
导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 2 2 2 1 2 1 2 1 cos 1 2 sin u du dx x u tg u u x u u x + = = + − = + = ， ， ， x a x a a a x x ctgx x x tgx ctgx x tgx x a x x ln 1 (log ) ( ) ln (csc ) csc (sec ) sec ( ) csc ( ) sec 2 2 ′ = ′ = ′ = − ⋅ ′ = ⋅ ′ = − ′ = 2 2 2 2 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 (arccos ) 1 1 (arcsin ) x arcctgx x arctgx x x x x + ′ = − + ′ = − ′ = − − ′ = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = + ± + ± = + = + = + ⋅ = − + ⋅ = + = = − + = = + x x a C x a dx chxdx shx C shxdx chx C C a a a dx x ctgxdx x C x tgxdx x C xdx ctgx C x dx xdx tgx C x dx x x ln( ) ln csc csc sec sec csc sin sec cos 2 2 2 2 2 2 2 2 C a x a x dx C a x a x a x a dx C x a x a x a a dx C a x arctg a x a dx xdx x ctgx C xdx x tgx C ctgxdx x C tgxdx x C = + − + − + = − + + − = − = + + = − + = + + = + = − + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csc ln csc sec ln sec ln sin ln cos 2 2 2 2 2 2 2 2 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − + + − = − − + − + + = + + + + + − = = = − C a a x a x x a x dx x x a C a x a x x a dx x x a C a x a x x a dx I n n I xdx xdx n n n n arcsin 2 2 ln 2 2 ln( ) 2 2 1 sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 π π
些初等函数: 两个重要极限 双曲正弦:sh sIn x li 2 双曲余弦:chx= e"+e lim(1+-)=e=2.718281828459045 双曲正切:hx chx e+e arshx=In(x arch=±ln(x+ arthx =-In 三角函数公式 ·诱导公式 函数 角A sin costgctg sina cosa -tga 90°-a cosa sina ctga tga 90°+a sina -ctga -tge 180-a sina -- -ctga 180+a-sina-cosa tga ctga 270°a 270°+a cost sIna 3600-a-sina cosa - -ctga 3600+asina cosa ctga 和差角公式 ·和差化积公式 sin(atp)=sina cos Btcosa sin B sina+sin B=2sin a+Boc a-B coS cos(a+B)=cosa cos B+sin asin B sina-sin B=2 cos +B g(a士B)= 1+ga·1gB cg(a± cga·cgB+1 cosa+cos B=2cos<+B a-B 2 c!gB±cga cosa-cos B=2sin a+B a-B SIn
一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90°-α cosα sinα ctgα tgα 90°+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180°-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180°+α -sinα -cosα tgα ctgα 270°-α -cosα -sinα ctgα tgα 270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360°+α sinα cosα tgα ctgα ·和差角公式： ·和差化积公式： 2 sin 2 cos cos 2sin 2 cos 2 cos cos 2cos 2 sin 2 sin sin 2cos 2 cos 2 sin sin 2sin α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β + − − = + − + = + − − = + − + = β α α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β ctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ± ⋅ ± = ⋅ ± ± = ± = ± = ± 1 ( ) 1 ( ) cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos cos sin m m m x x arthx archx x x arshx x x e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x − + = = ± + − = + + + − = = + = − = − − − − 1 1 ln 2 1 ln( 1) ln( 1 : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 ) 2.718281828459045... 1 lim(1 1 sin lim 0 + = = = →∞ → e x x x x x x
倍角公式: sin 2a= 2 sin a cosa cos 2a=2cos2a-1=1-2sin a=cos2a-sin a sin 3a=3sina-4sin'a ctga= cig'a-l cos 3a=4 cos'a-3cosa 2(g 883a- 3tga-iga ig a 半角公式: I+cosa SIn 1-cosa 1-cosa sina 1+cosa 1+cosa sIna 1g 1+cosa sina 1+cosa cosa sina 1-cosa 正弦定理:a b SinC-2R ·余弦定理:c2=a2+b2-2 abcess in a ·反三角函数性质: arcsinx arccos arctan=一-aCCg 高阶导数公式—莱布尼兹( Leibniz)公式: (n)=∑Cnn (n)v+nu"pt n(n-1) n(n-1)…(n-k+1) m-k)y4)+ 中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:f(b)-f(a)=f()(b-a) 柯西中值定理:b)-f(a)_f( F(b-F(a F( 当F(x)=x时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理
·倍角公式： ·半角公式： α α α α α α α α α α α α α α α α α α 1 cos sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 2 sin sin 1 cos 1 cos 1 cos 2 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 sin − = + = − + = ± + = − = + − = ± + = ± − = ± tg ctg ·正弦定理： R C c B b A a 2 sin sin sin = = = ·余弦定理：c a b 2abcosC 2 2 2 = + − ·反三角函数性质： x = − x arctgx = − arcctgx 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式： ( ) ( 1) ( 2) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ! ( 1) ( 1) 2! ( 1) ( ) n n n n k k n n k k n k k n n u v uv k n n n k u v n n u v nu v uv C u v + + − − + ′′ + + − = + ′ + = − − − = − ∑ L L L 中值定理与导数应用： 当 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： x x F f F b F a f b f a f b f a f b a = ′ ′ = − − − = ′ − F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ξ ξ ξ α α α α α α α α α α 2 3 3 3 1 3 3 3 cos3 4cos 3cos sin3 3sin 4sin tg tg tg tg − − = = − = − α α α α α α α α α α α α α α 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 cos 2 2cos 1 1 2sin cos sin sin 2 2sin cos tg tg tg ctg ctg ctg − = − = = − = − = − =
曲率 弧微分公式:d=√1+y2d,其中y=1ga 平均曲率K=a△a:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量:As:M弧长 M点的曲率:K=lim △0△s|ds 直线:K=0 半径为a的圆:K=- 定积分的近似计算: 矩形法∫/(x)=(0+y1+…+y-) 梯形法:f(x)≈=L(y+yn) 抛物线法:∫(x) b (y+yn)+2(y2+y4+…+yn-2)+4(1+y3 ) 定积分应用相关公式: 功:W=F 水压力:F=pA 引力:F=k,k为引力系数 函数的平均值:y f(x)d 均方根
曲率： . 1 0; . (1 ) M lim . : M M s 1 , 0 2 3 2 a a K K y y ds d s K MM s K ds y dx y tg s = = + ′ ′′ = = Δ Δ = Δ ′ Δ ′ Δ Δ = = + ′ ′ = Δ → 半径为 的圆： 直线： 点的曲率： 平均曲率： 从 点到 点，切线斜率的倾角变化量； ： 弧长。 弧微分公式： 其中 α α α α α 定积分的近似计算： ∫ ∫ ∫ − − − − + + + + + + + + + − ≈ + + + + − ≈ + + + − ≈ b a n n n b a n n b a n y y y y y y y y n b a f x y y y y n b a f x y y y n b a f x [( ) 2( ) 4( )] 3 ( ) ( ) ] 2 1 ( ) [ ( ) ( ) 0 2 4 2 1 3 1 0 1 1 0 1 1 L L L L 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式： ∫ ∫ − − = = = ⋅ = ⋅ b a b a f t dt b a f x dx b a y k r m m F k F p A W F s ( ) 1 ( ) 1 , 2 2 1 2 均方根： 函数的平均值： 引力： 为引力系数 水压力： 功：
空间解析几何和向量代数: 空间点的距离:d=MM2=V√(x2-x)2+(V2-y1)2+(=2-= 向量在轴上的投影:PrAB=4B(coso,是AB与轴的夹角 Prj (a,+a2)=Pr ja,+Pr ja2 ab=l4cos=ab+ab,+ab,是一个数量 两向量之间的夹角:cosb b tab ta b =a×b=,aak=lm例:线速度:下=Wx br b, b. a. a.a 向量的混合积4=(a×6)a=hb,b11×61为锐角时, 代表平行六面体的体积。 平面的方程: 点法式:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0,其中n={A,B,C},M0(x,y0,=) 2、一般方程:Ax+By+Cz+D=0 3、截距世方程:x+y+三=1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离:d=1n+B+Cn+D A-+B 空间直线的方程x=y=5=其中={mn,p:参数方程:y=+n 次曲面: 椭球面:+x2 2、抛物面:x+y=(,q同号 2 3、双曲面: 单叶双曲面:+,-5=1 双叶双曲面:-+二=1(马鞍面)
空间解析几何和向量代数： 代表平行六面体的体积。 向量的混合积： 为锐角时， 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 向量在轴上的投影： 是 与 轴的夹角。 空间 点的距离： α α θ θ θ ϕ ϕ [ ] ( ) cos , , sin . . cos cos , , Pr ( ) Pr Pr Pr cos , 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a b c c c c b b b a a a abc a b c c a b v w r b b b a a a i j k c a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b j a a ja ja j AB AB AB u d M M x x y y z z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x x y y z z x x y y z z u u v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v = × ⋅ = = × ⋅ = × = = ⋅ = × + + ⋅ + + + + = ⋅ = ⋅ = + + + = + = ⋅ = = − + − + − 双叶双曲面： （马鞍面） 单叶双曲面： 、双曲面： 、抛物面： （ 同号） 、椭球面： 二次曲面： 空间直线的方程： 其中 参数方程： 平面外任意一点到该平面的距离： 、截距世方程： 、一般方程： 、点法式： ，其中 平面的方程： 1 1 3 , , 2 2 2 1 1 , { , , }; 3 1 2 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 { , , }, ( , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − + = + − = + = + + = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + = = − = − = − + + + + + = + + = + + + = − + − + − = = c z b y a x c z b y a x z p q q y p x c z b y a x z z pt y y nt x x mt t s m n p p z z n y y m x x A B C Ax By Cz D d c z b y a x Ax By Cz D A x x B y y C z z n A B C M x y z v v
多元函数微分法及应用 全微分:小_0A,z dx+ 全微分的近似计算:A≈d=/(x,y)Ax+J(xy)Ay 多元复合函数的求导法: f[u(0), v (o d: a- au a= av dt au at ay at =flu(x,y),v(, y) 当u=u(x,y),v=v(x,y)时 du dv=dx+dy 隐函数的求导公式 隐函数F(x,y)=0, 会一后, 0,F0,F、d 隐函数F(x,y,)=0,=F a- F x F aFaF 隐函数方程组(x,y,ny)=0 =a(FG)=9 G(x,y, u,v=0 d(u,v aGaG av 1 a(F,G av 1 a(F,G) x.1 J a(u,x) 1 a(F,G) Ov 1 a(F,G) J(y,) ul,) 微分法在几何上的应用 空间曲线y=v(0)在点M(xny3,=0)处的切线方程 xy-y0-三-2 p(Lo)y(to) o(to) 在点M处的法平面方程:φ'(t)(x-x)+v(1)(y-y)+O(1)(z--0)=0 若空间曲线方程为 ∫F(x,y=)=0 则切向量T= F FIF: FIF F G.PG. G 曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,=0),则 1、过此点的法向量:n={F2(x,y0,=0),F1(x,y,=0),F(x0,y20) 2、过此点的切平面方程:F(x2y02=0x-x)+F(x0,y,=0Xy-y0)+F(x,y20x2-=0)=0 3、过此点的法线方程:x-x0=y-y0 0)F,(x0,yo,=0)F2(xo,yo,=0)
多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x x y F F y z F F x z F x y z dx dy F F F y F dx x d y F F dx dy F x y dy y v dx x v dy dv y u dx x u du u u x y v v x y x v v z x u u z x z z f u x y v x y t v v z t u u z dt dz z f u t v t z dz f x y x f x y y dz z u dy y u dx x u dy du y z dx x z dz = − ∂ ∂ = − ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ − ∂ ∂ = = − = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ = = Δ ≈ = Δ + Δ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = 隐函数 ， ， 隐函数 ， ， ＋ 隐函数的求导公式： 当 ， 时， 多元复合函数的求导法： 全微分的近似计算： 全微分： ( , , ) 0 ( , ) 0 ( ) ( ) ( , ) ( , ) [ ( , ), ( , )] [ ( ), ( )] ( , ) ( , ) 2 2 ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 u y F G y J v y v F G y J u u x F G x J v x v F G x J u G G F F v G u G v F u F u v F G J G x y u v F x y u v u v u v ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ = − ⋅ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ⎩ ⎨ ⎧ = = 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用： ( , , ) ( , , ) ( , , ) 3 2 ( , , )( ) ( , , )( ) ( , , )( ) 0 1 { ( , , ), ( , , ), ( , , )} ( , , ) 0 ( , , ) , { , , } ( , , ) 0 ( , , ) 0 ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 F x y z z z F x y z y y F x y z x x F x y z x x F x y z y y F x y z z z n F x y z F x y z F x y z F x y z M x y z G G F F G G F F G G F F T G x y z F x y z M t x x t y y t z z t z z t y y t x x M x y z z t y t x t x y z x y z x y z x y x y z x z x y z y z − = − = − − + − + − = = = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = ′ − + ′ − + ′ − = ′ − = ′ − = ′ − ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = 、过此点的法线方程： 、过此点的切平面方程： 、过此点的法向量： 曲面 上一点 ，则： 若空间曲线方程为： 则切向量 在点 处的法平面方程： 空间曲线 在点 处的切线方程： v v ϕ ψ ω ϕ ψ ω ω ψ ϕ
方向导数与梯度 函数=xy)在一点(xy)沿任一方向的方向导数为:9=9c0s9+9smn 其中p为x轴到方向转角。 函数:=f(xy)在一点p(x,)的梯度:gad(xy)=97+9 它与方向导数的关系是:= grad f(x,y),其中=cos97+sing·,为方向上的 单位向量。 是 gradf(x,y)在上的投影 多元函数的极值及其求法 设/(x,y0)=∫y(x0,y)=0,令:fx(xy)=A,f3(x,y0)=B,f(x,y0)=C AC-B2>0时 A0、(x0,y)为极小值 则:AC-B20)的引力:F={F,F,F},其中 P(x, y)xde P(x, hyde F=- p(x, y)xd (x2+y2+a2)2 (x2+y2+a2) (x2+y2+a2)
方向导数与梯度： 是 在 上的投影。 单位向量。 它与方向导数的关系是： ，其中 ，为 方向上的 函数 在一点 的梯度： 其中 为 轴到方向 的转角。 函数 在一点 沿任一方向 的方向导数为： f x y l l f f x y e e i j l l f j y f i x f z f x y p x y f x y x l y f x f l f z f x y p x y l grad ( , ) grad ( , ) cos sin ( , ) ( , ) grad ( , ) ( , ) ( , ) cos sin ∂ ∂ ∴ = ⋅ = ⋅ + ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = v v v v v v ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 多元函数的极值及其求法： ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = = = = = 时 不确定 时， 无极值 为极小值 为极大值 时， 则： 设 ，令： 0 , 0 0,( , ) 0,( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 ( , ) , ( , ) , ( , ) 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 AC B AC B A x y A x y AC B f x x y f y x y f xx x y A f xy x y B f yy x y C 重积分及其应用： ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ + + = − + + = + + = > = = = = = = = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ⎟ + ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = = + = ′ D z D y D x x y z D y D x D y D D x D D D x y a x y xd F fa x y a x y yd F f x y a x y xd F f xoy z M a a F F F F x I y x y d y I x x y d x y d y x y d M M y x y d x x y d M M x dxdy y z x z z f x y A f x y dxdy f r r rdrd 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 D 2 2 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (0,0, ),( 0) { , , } ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( cos , sin ) ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ θ θ θ ， ， 平面薄片（位于 平面）对 轴上质点 的引力： ，其中： 平面薄片的转动惯量：对于 轴 对于 轴 平面薄片的重心： 曲面 的面积
柱面坐标和球面坐标: x=rcos日 柱面坐标yin,J(x:dr(Dba 其中:F(r,O,z)=f(rcos, raine,=) x=rsin( cos0 球面坐标;y= singson,h=rdp, rained,oh=r2sido ==rcos p /(y3的=(0ym=n4pFym MJJ -red y yh,三 其中M=x= 转动惯量:,=0y2+=2)m1,=Jx2+=)mh,1:=小(x2+y2)mh 曲线积分: 第一类曲线积分(对弧长的曲线积分) 设f(x,y)在L上连续,L的参数方程为 P(0 y=w()(a≤t≤B,则 f(xy)ds=「八o()v()o2()+v"(nlt(a<)特殊情况x=r y=q()
柱面坐标和球面坐标： ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫∫ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω = + = + = + = = = = = = = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = = = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = I y z dv I x z dv I x y dv z dv M x dv M y dv z M x dv y M x f x y z dxdydz F r r drd d d d F r r dr dv rd r d dr r drd d z r y r x r F r z f r r z f x y z dxdydz F r z rdrd dz z z y r x r x y z r ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ϕ θ ϕ ϕ θ θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕ ϕ θ ϕ θ θ θ θ θ θ θ θ π π ϕ θ ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 1 ( , , ) ( , , ) sin ( , , ) sin sin sin cos sin sin sin cos ( , , ) ( cos , sin , ) sin , ( , , ) ( , , ) , cos 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ( , ) 0 2 2 2 转动惯量： ， ， 重心： ， 其中 球面坐标： ， 其中： 柱面坐标： 曲线积分： ⎩ ⎨ ⎧ = = = ′ + ′ < ≤ ≤ ⎩ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫ ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) , ( ), ( ) ( ) ( , ) 2 2 y t x t f x y ds f t t t t dt t y t x t f x y L L L ϕ ϕ ψ ϕ ψ α β α β ψ ϕ β α 特殊情况： 设 在 上连续， 的参数方程为： 则： 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
第二类曲线积分(对坐标的曲线积分) 设L的参数方程为x=( 则 y(1) Px,y)dx+Q(x,y)y={Po(m).v()()+o(,vjw()dt 两类曲线积分之间的关系JP+Qh=j(Posa+QsB)d其中a和B分别为 L上积分起止点处切向量的方向角。 格林公式」(-01)dd=手P+Q格林公式 )dxdy=pPd+Ody 当P=1:Q=x,即:2一=2时,得到D的面积:4=b=手x 平面上曲线积分与路径无关的条件 1、G是一个单连通区域 2、P(xy,Q(xy)在G内具有一阶连续偏导数,且2=0。注意奇点,如00,应 减去对此奇点的积分,注意方向相反! 二元函数的全微分求积: 在2=①时,P2+Qh才是二元函数u(xy)全微分,其中: (x,y)=「P(x,y)t+g(x,y),通常设=y=0 曲面积分: 对面积的曲面积分/(x,=)=/x,=(x)+:(x)+:(x, 对坐标的曲面积分P(xy,)d+Q(x,y,)td+R(x,y,)h,其中: ∫(x,y)dhy=xy,(xyd取曲面的上侧时取正号 ∫P(x,y)k=+pxy,)y,1v取曲面的前侧时取正号 ∫Q(x,y)kdk=士xy(=,x,1ta取曲面的右侧时取正号 两类曲面积分之间的关系:Pd+g+Rhp=(Pcsa+os+Reos
，通常设 。 在 ＝ 时， 才是二元函数 的全微分，其中： 二元函数的全微分求积： 减去对此奇点的积分，注意方向相反！ 、 ， 在 内具有一阶连续偏导数，且 ＝ 。注意奇点，如 ，应 、 是一个单连通区域； 平面上曲线积分与路径无关的条件： 当 ，即： 时，得到 的面积： 格林公式： 格林公式： 上积分起止点处切向量的方向角。 两类曲线积分之间的关系： ，其中 和 分别为 设 的参数方程为 ，则： 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）： ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) · 2 ( , ) ( , ) (0,0) 1 · 2 1 , 2 ( ) ( ) ( cos cos ) ( , ) ( , ) { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( ) ( ) 0 0 ( , ) ( , ) 0 0 = + = = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = − ∂ ∂ − ∂ ∂ = − = = + ∂ ∂ − ∂ ∂ = + ∂ ∂ − ∂ ∂ + = + + = ′ + ′ ⎩ ⎨ ⎧ = = ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ u x y P x y dx Q x y dy x y Pdx Qdy u x y y P x Q y P x Q P x y Q x y G G D A dxdy xdy ydx y P x Q P y Q x dxdy Pdx Qdy y P x Q dxdy Pdx Qdy y P x Q L Pdx Qdy P Q ds P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt y t x t L x y x y D L D L D L L L L α β α β ϕ ψ ϕ ϕ ψ ψ ψ ϕ β α 曲面积分： ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + + = + + = ± = ± = ± + + = + + Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R ds Q x y z dzdx Q x y z x z dzdx P x y z dydz P x y z y z dydz R x y z dxdy R x y z x y dxdy P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy f x y z ds f x y z x y z x y z x y dxdy zx yz xy xy D D D D x y ( cos cos cos ) ( , , ) [ , ( , ), ] ( , , ) [ ( , ), , ] ( , , ) [ , , ( , )] ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) 2 2 两类曲面积分之间的关系： α β γ ，取曲面的右侧时取正号。 ，取曲面的前侧时取正号； ，取曲面的上侧时取正号； 对坐标的曲面积分： ，其中： 对面积的曲面积分：