北京大学：《高等代数》课程教学资源（讲义）第六章 带度量的线性空间（6.4）四维时空空间与辛空间

第二学期第九次课 第六章§4四维时空空间与辛空间 在狭义相对论中,用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动,称为四维时 空空间 在R上规定一个特殊的度量f(a,B)=x1y1+x2y2+x3y3-x4y4(其中 a=(x1,x2,x3,x4),B=(y1,y2,y3,y)"),称为四维时空空间的度量 令 000 在R内取定基 E3=(0,0,1,0),E4=(0,0,0,1) ka=(8, 82, 3, 4)X, B=(E1, 82, 83, E4)Y, f(a, B)=XTr 如果R4上的线性变换A关于上述内积是正交变换,则称为广义洛仑兹变换 命题4.1设A是四维时空空间R4上的一个线性变换,则有 (i)A为广义洛仑兹变换分→它在基E1,E2,E3,E4下的矩阵A满足A'A=l; (ii)实数域上4阶方阵A满足A'MA=分→它满足ALA'=l (i如果A为广义洛仑兹变换,设它在基s1,E2,E3,E4下的矩阵为A=(an),则 la4|≥1 证明(i)A为广义洛仑兹变换→f(Aa,AB)=f(a,B)分X(AMy=XmY,而这 又等价于A'LA=I (i)若AMA=1,则AMA=12=E,这说明A是/的逆于是(MADA=E,两边左 乘I,得ALA'=I 反之,若AA=1,则LAA=12=E,于是ALAI=E,两边右乘l,得AA= (ii1)按(i),有AMA=l,考察两边方阵的第四行第四列元素,得

第二学期第九次课 第六章 §4 四维时空空间与辛空间 在狭义相对论中,用三个空间坐标和一个时间坐标来刻画一个物体的运动,称为四维时 空空间. 在 R 4 上规定一个特殊的度量 f( ,  )= 1 1 2 2 3 3 4 4 x y + x y + x y − x y ( 其 中  =( , , , ) 1 2 3 4 x x x x  ,  =( , , , ) 1 2 3 4 y y y y  ),称为四维时空空间的度量. 令             0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 I － ＝ 在 R 4 内取定基 1  ＝（1，0，0，0）， 2  ＝（0，1，0，0）， 3  ＝（0，0，1，0）， 4  ＝（0，0，0，1） 设  ＝( 1  ， 2  ， 3  ， 4  )X,  =( 1  ， 2  ， 3  ， 4  )Y,则 f( ,  )= X IY . 如果 R 4 上的线性变换 A 关于上述内积是正交变换,则称为广义洛仑兹变换. 命题 4.1 设 A 是四维时空空间 R 4 上的一个线性变换,则有: (i)A 为广义洛仑兹变换  它在基 1  ， 2  ， 3  ， 4  下的矩阵 A 满足 AIA = I ; (ii)实数域上 4 阶方阵 A 满足 AIA = I  它满足 AIA = I ; (iii)如果 A 为广义洛仑兹变换,设它在基 1  ， 2  ， 3  ， 4  下的矩阵为 A ( ) = aij ,则 | 44 a |  1. 证明 (i) A 为广义洛仑兹变换  f(A  ,A  )=f(  ,  )  X (AIA)Y = X IY ,而这 又等价于 AIA = I . (ii)若 AIA = I ,则 AIAI = I = E 2 ,这说明 A是IAI的逆,于是(IAI)A = E ,两边左 乘 I,得 AIA = I . 反之,若 AIA = I ,则 , , , 2 IAIA = I = E 于是AIAI = E 两边右乘I 得 AIA = I . (iii) 按(i),有 AIA = I ,考察两边方阵的第四行第四列元素,得

a14+a24+a 即a4=a24+a24+a2+1≥1,于是|a4P1 向量(x1,x2,x2,x4)如果满足x12+x2+x32-x20则称为正类时向量 若a4≥1,则称A为洛仑兹变换 命题广义洛仑兹变换是洛仑兹变换的充分必要条件是它在正类时向量上的作用封闭 证明设A在基E1,E2,63,E4下的矩阵为A=(an),如果a=(x1,x2,x3,x4)为正类 时向量,则Aa在E1,E2,E3”,E4下的坐标为 24 x 因A为广义洛仑兹变换,故 =f(Aa, Aa=f(a, a) 即Aa仍为类时向量.而 x4=a41x1+a42x2+a43x3+a4x4 由于ALA'=I,比较两边第四行第四列元素,有 由柯西一布尼雅可夫斯基不等式,得 a42x32≤(a21+a2+a23)( (a4-1)x20.由此可知 x4>0分a421 命题得证

1 2 44 2 34 2 24 2 a14 + a + a − a = − 即 1 1, | 44 | 1 2 34 2 24 2 14 2 a44 = a + a + a +  于是 a  . 向量( , , , ) 1 2 3 4 x x x x  如果满足 0 2 4 2 3 2 2 2 x1 + x + x − x  则则称为类时向量,若还有 x4  0 则称为正类时向量. 若 a44 1,则称 A 为洛仑兹变换. 命题 广义洛仑兹变换是洛仑兹变换的充分必要条件是它在正类时向量上的作用封闭. 证明 设 A 在基 1  ， 2  ， 3  ， 4  下的矩阵为 A ( ) = aij ,如果 ( , , , ) 1 2 3 4  = x x x x 为正类 时向量,则 A  在 1  ， 2  ， 3  ， 4  下的坐标为                   =                         4 3 2 1 4 3 2 1 41 42 43 44 31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 x x x x x x x x a a a a a a a a a a a a a a a a 因 A 为广义洛仑兹变换,故 2 4 2 3 2 2 2 1 x  + x  + x  − x  =f(A  ,A  )=f(  , ) = 2 4 2 3 2 2 2 1 x + x + x − x <0 即 A  仍为类时向量.而 4 41 1 42 2 43 3 44 4 x  = a x + a x + a x + a x 由于 AIA = I ,比较两边第四行第四列元素,有 1 2 44 2 43 2 42 2 a41 + a + a − a = − 由柯西-布尼雅可夫斯基不等式,得 + +  2 41 1 42 2 43 3 | a x a x a x | ( 2 43 2 42 2 a41 + a + a )( 2 3 2 2 2 1 x + x + x ) <( 2 4 2 44 2 4 2 44 a −1)x  a x 即 | | | | 41 1 42 2 43 3 44 4 a x + a x + a x  a x .现因  为正类时向量,故 x4  0.由此可知 x4   0  a44 1 命题得证

命题洛仑兹变换所组成的集合L(关于映射的复合)构成群(称为洛仑兹群) 证明(i)显然E∈L (i)若A,B∈L,对a,B∈R有 (ABa, aB B)=(Ba, BB)=(a, B) 故AB是广义洛仑兹变换.现设a为一正类时向量,则Ba是正类时向量,同理,ABa也是正 类时向量,故AB∈L (i)设A∈L,显然A可逆,对va,B∈R4有 (a, B)=(aa a, AA" B)=(A"a,A"B) 于是A-是广义洛仑兹变换.现设a为一正类时向量,假如Aa不是正类时向量,但它仍 为类时向量.由于A∈L,故AA-a)=a不是正类时向量,矛盾 由(i)、(ii)、(ii)可知,L是一个群 定义设V是复数域C上n=2m维线性空间,f(α,β)是V内一个满秩的反对称双线性函 数定义V内两个向量a,B的内积为 (a, B)=f(a,B) 具有这种内积的线性空间称为辛空间 若(a,B)=0,则称a,B正交 设E1,E2…,En为V的一组基令 (E1,E1)=g(i,j1,2,…,n 称G=(g)为这组基的度量矩阵,它就是f在这组基下的矩阵 命题设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基7,n2,7n,其度量矩阵为 G= 其中A=/0 这样的基称为第一类辛基 证明对m作数学归纳法

命题 洛仑兹变换所组成的集合 L（关于映射的复合）构成群（称为洛仑兹群）. 证明 (i)显然 E  L; (ii)若 A,B  L,对  ,   R 4 有 (AB  ,AB  )=(B  ,B  )=(  ,  ) 故 AB 是广义洛仑兹变换.现设  为一正类时向量,则 B  是正类时向量,,同理,AB  也是正 类时向量,故 AB  L. (iii)设 A  L,显然 A 可逆, 对  ,   R 4 有 (  ,  )=(AA −1  ,AA −1  )=(A −1  ,A −1  ) 于是 A −1 是广义洛仑兹变换. 现设  为一正类时向量,假如 A −1  不是正类时向量,但它仍 为类时向量.由于 A  L,故 A(A −1  )=  不是正类时向量,矛盾. 由(i)、（ii）、（iii）可知,L 是一个群. 定义 设 V 是复数域 C 上 n=2m 维线性空间,f( ,  )是 V 内一个满秩的反对称双线性函 数.定义 V 内两个向量 ,  的内积为 ( ,  )=f( ,  ) 具有这种内积的线性空间称为辛空间. 若( ,  )=0,则称 ,  正交. 设 1 2 n  ， ，， 为 V 的一组基.令 ( , ) i j   = ij g (i,j=1,2,…，n) 称 G (g ) = ij 为这组基的度量矩阵，它就是 f 在这组基下的矩阵. 命题 设 V 是 n=2m 维辛空间,则在 V 内存在一组基 1，2，，n ,其度量矩阵为             = A A A G  ,其中       − = 1 0 0 1 A 这样的基称为第一类辛基. 证明 对 m 作数学归纳法

推论设V是n=2m维辛空间,则在V内存在一组基1,E2,,En,其度量矩阵为 E 0 其中E为m阶单位矩阵这种基称为第二类辛基. 证明设n,2,…,mn是V的一组第一类辛基令 E1=121-1,Em+=21,(=1,2,…m) 通过计算,不难验证E,E2,,En即为所求的基 定义设V是n=2m维辛空间,A是V上一个线性变换.如果A满足 (Aa,AB)=(a,B)Va,B∈V 则称A是V内一个辛变换(偶数维辛空间上的正交变换 命题偶数维辛空间上的线性变换A是辛变换的充分必要条件是A可逆且它的逆等于它 的共轭变 证明如果A是辛变换,则a,B∈V,有 (Aa, a B)=(a,AAB)=(a, B) 从而(a,AAE)B)=0,由于内积是满秩的,故(AAE)B=0对VB∈V成立故A"AE,A 可逆且它的逆等于它的共轭变换 反之,若A可逆且它的逆等于它的共轭变换,则有 (Aa,aB)=(a,AAB)=(a,B) A是辛变换 设A是辛空间V内一个辛变换,又设E1,n2E2n2,…,En,7n为V内一组第一类辛基此 时其度量矩阵为 01 01 A在此组基下的矩阵为A,则有AJA=J.满足此条件的n=2m阶复方阵A称为一个2m阶辛矩 阵

推论 设 V 是 n=2m 维辛空间,则在 V 内存在一组基 1 2 n  ， ，， ,其度量矩阵为       − E 0 0 E 其中 E 为 m 阶单位矩阵.这种基称为第二类辛基. 证明 设 1，2，，n 是 V 的一组第一类辛基.令 , ,(i 1,2, ,m)  i =2i−1  m+i =2i =  通过计算,不难验证 1 2 n  ， ，， 即为所求的基. 定义 设 V 是 n=2m 维辛空间,A 是 V 上一个线性变换.如果 A 满足 (A  ,A  )=(  ,  )   ,   V 则称 A 是 V 内一个辛变换(偶数维辛空间上的正交变换）. 命题 偶数维辛空间上的线性变换A 是辛变换的充分必要条件是A 可逆且它的逆等于它 的共轭变换. 证明 如果 A 是辛变换,则  ,   V,有 (A  ,A  )=(  ,A  A  )=(  ,  ) 从而(  ,(A  A-E)  )=0,由于内积是满秩的,故(A  A-E)  =0 对    V 成立.故 A  A=E,A 可逆且它的逆等于它的共轭变换. 反之,若 A 可逆且它的逆等于它的共轭变换,则有 (A  ,A  )=(  ,A  A  )=(  ,  ) A 是辛变换. 设 A 是辛空间 V 内一个辛变换,又设 1 1 2 2 m m  , , , ,  , , 为 V 内一组第一类辛基.此 时其度量矩阵为               − − = 1 0 0 1 1 0 0 1 J  A 在此组基下的矩阵为 A,则有 AJA = J .满足此条件的 n=2m 阶复方阵 A 称为一个 2m 阶辛矩 阵

命题2m维辛空间上所有辛变换构成群S,称为2m维辛变换群,所有的2m阶辛矩阵 的全体构成群,称为2m阶辛群。 证明(i)显然E∈S (ii)如果A,B∈S,则(ABa,ABB)=(Ba,BB)=(a,B),从而AB∈S (i)如果A∈S则(a,B)=Aa,MB)=Aa,A-B),从而A∈S. 于是S是一个群 2m阶辛矩阵的全体构成群的证明作为练习

命题 2m 维辛空间上所有辛变换构成群 S，称为 2m 维辛变换群，所有的 2m 阶辛矩阵 的全体构成群，称为 2m 阶辛群。 证明 (i)显然 E  S; (ii)如果 A,B  S,则(AB  ,AB  )=(B  ,B  )=(  ,  ),从而 AB  S. (iii) 如果 A  S,则(  ,  )=(AA −1  ,AA −1  )=(A −1  ,A −1  ),从而 A −1  S. 于是 S 是一个群. 2m 阶辛矩阵的全体构成群的证明作为练习