《高等数学》课程教学资源：考研资料：线性代数概率统计公式大全.doc_大学文库

1 1、行列式 1. n 行列式共有 2 n 个元素，展开后有 n! 项，可分解为 2 n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、 Aij 和 ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ； 3. 代数余子式和余子式的关系： ( 1) ( 1) i j i j M A A M ij ij ij ij + + = − = − 4. 设 n 行列式 D ：将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 D1 ，则 ( 1) 2 1 ( 1) n n D D − = − ；将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ，所得行列式为 D2 ，则 ( 1) 2 2 ( 1) n n D D − = − ；将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 D3 ，则 D D 3 = ；将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 D4 ，则 D D 4 = ； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1) 2 ( 1) n n−  − ； ③、上、下三角行列式（ = ◥ ◣ ）：主对角元素的乘积； ④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积 ( 1) 2 ( 1) n n−  − ； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B = = 、 ( 1) C A O A m n A B B O B C = = − ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于 n 阶行列式 A ，恒有： 1 ( 1) n n k n k k k    E A S − = − = + −  ，其中 Sk 为 k 阶主子式； 7. 证明 A = 0 的方法： ①、 A A =− ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组 Ax = 0 ，证明其有非零解； ④、利用秩，证明 r A n ( )  ； ⑤、证明 0 是其特征值； 2、矩阵 1. A 是 n 阶可逆矩阵：  A  0 （是非奇异矩阵）；  r A n ( ) = （是满秩矩阵）  A 的行（列）向量组线性无关；  齐次方程组 Ax = 0 有非零解；  n  b R ， Ax b = 总有唯一解；  A 与 E 等价；  A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；  A 的特征值全不为 0；  T A A 是正定矩阵；

2  A 的行（列）向量组是 n R 的一组基；  A 是 n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于 n 阶矩阵 A： * * AA A A A E = = 无条件恒成立； 3. 1 * * 1 1 1 * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T A A A A A A − − − − = = = * * * 1 1 1 ( ) ( ) ( ) T T T AB B A AB B A AB B A − − − = = = 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A、 B 可逆：若 1 2 s A A A A       =       ，则： Ⅰ、 A A A A = 1 2 s ； Ⅱ、 1 1 1 1 2 1 s A A A A − − − −       =       ； ②、 1 1 1 A O A O O B O B − − −       =       ；（主对角分块） ③、 1 1 1 O A O B B O A O − − −       =       ；（副对角分块） ④、 1 1 1 1 1 A C A A CB O B O B − − − − −     −   =       ；（拉普拉斯） ⑤、 1 1 1 1 1 A O A O C B B CA B − − − − −       =       − ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个 m n  矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： r m n E O F O O    =     ；等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 A、 B ，若 r A r B A B ( ) ( ) =  ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非 0 元素必须为 1； ③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若 ( , ) ( , ) r A E E X ，则 A 可逆，且 1 X A− = ； ②、对矩阵 ( , ) A B 做初等行变化，当 A 变为 E 时， B 就变成 1 A B− ，即： 1 ( , ) ( , ) c A B E A B−  ； ③、求解线形方程组：对于 n 个未知数 n 个方程 Ax b = ，如果 ( , ) ( , ) r A b E x ，则 A 可逆，且 1 x A b− = ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

3 ②、 1 2 n      =            ，左乘矩阵 A， i 乘 A 的各行元素；右乘， i 乘 A 的各列元素； ③、对调两行或两列，符号 E i j ( , ) ，且 1 E i j E i j ( , ) ( , ) − = ，例如： 1 1 1 1 1 1 1 −         =             ； ④、倍乘某行或某列，符号 E i k ( ( )) ，且 1 1 E i k E i ( ( )) ( ( )) k − = ，例如： 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k −         =                ； ⑤、倍加某行或某列，符号 E ij k ( ( )) ,且 1 E ij k E ij k ( ( )) ( ( )) − = − ，如： 1 1 1 1 1 ( 0) 1 1 k k k −     −     =              ； 5. 矩阵秩的基本性质： ①、 0 ( ) min( , ) m n   r A m n  ； ②、 ( ) ( ) T r A r A = ； ③、若 A B ，则 r A r B ( ) ( ) = ； ④、若 P 、 Q 可逆，则 r A r PA r AQ r PAQ ( ) ( ) ( ) ( ) = = = ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、 max( ( ), ( )) ( , ) ( ) ( ) r A r B r A B r A r B   + ；（※） ⑥、 r A B r A r B ( ) ( ) ( ) +  + ；（※） ⑦、 r AB r A r B ( ) min( ( ), ( ))  ；（※） ⑧、如果 A 是 m n  矩阵， B 是 n s  矩阵，且 AB = 0 ，则：（※） Ⅰ、 B 的列向量全部是齐次方程组 AX = 0 解（转置运算后的结论）； Ⅱ、 r A r B n ( ) ( ) +  ⑨、若 A、 B 均为 n 阶方阵，则 r AB r A r B n ( ) ( ) ( )  + − ； 6. 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）  行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ②、型如 1 0 1 0 0 1 a c b           的矩阵：利用二项展开式；二项展开式： 0 1 1 1 1 1 1 0 ( ) n n n n m n m m n n n n m m n m n n n n n n m a b C a C a b C a b C a b C b C a b − − − − − = + = + + + + + + =  ；注：Ⅰ、 ( )n a b + 展开后有 n+1 项； Ⅱ、 0 ( 1) ( 1) ! 1 1 2 3 !( )! − − + = = = = − m n n n n n n n m n C C C m m n m Ⅲ、组合的性质： 1 1 1 1 0 2 − − − + − = = = + = =  n m n m m m m r n r r n n n n n n n n r C C C C C C rC nC ； ③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩： * ( ) ( ) 1 ( ) 1 0 ( ) 1 n r A n r A r A n r A n  =  = = −     − ；

4 ②、伴随矩阵的特征值： * 1 * ( , ) A A AX X A A A A X X    − = =  = ； ③、 * 1 A A A− = 、 1 * n A A − = 8. 关于 A 矩阵秩的描述： ①、 r A n ( ) = ， A 中有 n 阶子式不为 0， n+1 阶子式全部为 0；（两句话） ②、 r A n ( )  ， A 中有 n 阶子式全部为 0； ③、 r A n ( )  ， A 中有 n 阶子式不为 0； 9. 线性方程组： Ax b = ，其中 A 为 m n  矩阵，则： ①、 m 与方程的个数相同，即方程组 Ax b = 有 m 个方程； ②、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组 Ax b = 为 n 元方程； 10. 线性方程组 Ax b = 的求解： ①、对增广矩阵 B 进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程： ①、 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n m m nm n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =     + + + = ； ②、 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n n m m mn m m a a a x b a a a x b Ax b a a a x b                =  =                （向量方程， A 为 m n  矩阵， m 个方程， n 个未知数） ③、 ( ) 1 2 1 2 n n x x a a a x        =       （全部按列分块，其中 1 2 n b b b        =       ）； ④、 1 1 2 2 n n a x a x a x + + + =  （线性表出） ⑤、有解的充要条件： r A r A n ( ) ( , ) =   （ n 为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 1. m 个 n 维列向量所组成的向量组 A： 1 2 , , ,    m 构成 n m 矩阵 1 2 ( , , , ) A =    m ； m 个 n 维行向量所组成的向量组 B ： 1 2 , , , T T T    m 构成 m n  矩阵 1 2 T T T m B          =         ；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关  = Ax 0 有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出  = Ax b 是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示  = AX B 是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵 Am n 与 Bl n 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 Ax = 0 和 Bx = 0 同解；( P101 例 14) 4. ( ) ( ) T r A A r A = ；( P101 例 15) 5. n 维向量线性相关的几何意义： ①、  线性相关   = 0 ； ②、  , 线性相关   , 坐标成比例或共线（平行）；

③、aB,y线性相关台→a,B.y共面 6.线性相关与无关的两套定理若a,a2…,a线性相关,则a,a,…a,a,必线性相关若a,a2…,a线性无关,则a1,a2…,a,1必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶若r维向量组A的每个向量上添上n-r个分量,构成m维向量组B: 若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减) 简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定 7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则r≤s(二版P4定理7); 向量组A能由向量组B线性表示,则r(A4)≤r(B):(P3定理3) 向量组A能由向量组B线性表示 AX=B有解台r(4)=r(AB)(P3定理2) 向量组A能由向量组B等价er(A4)=r(B)=r(A,B)(P5定理2推论) 8.方阵A可逆→存在有限个初等矩阵P,P2,…,P,使A=PP2…P; ①、矩阵行等价:A-BPA=B(左乘,P可逆)Ax=0与Bx=0同解 ②、矩阵列等价:A-BsAQ=B(右乘,Q可逆) ③、矩阵等价:A~BPAQ=B(P、Q可逆); 9.对于矩阵Ann与B: ①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等 ②、若A与B行等价,则Ax=0与Bx=0同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性: ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 ④、矩阵A的行秩等于列秩 10.若A,Bn=Cn,则: ①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵 ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,「为系数矩阵;(转置 11.齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明 ①、ABr=0只有零解→Bx=0只有零解 ②、Bx=0有非零解→ABx=0一定存在非零解; 12.设向量组Bn:b,b2…,b可由向量组A,a,a2…a,线性表示为:(P1题19结论) (b,b2…,b)=(a1,a2…,a,)K(B=AK) 其中K为sxr,且A线性无关,则B组线性无关er(K)=r;(B与K的列向量组具有相同线性相关性) (必要性:∵r=r(B)=r(AK)≤r(K),r(K)≤r,r(K)=r;充分性:反证法) 注:当r=s时,K为方阵,可当作定理使用; 13.①、对矩阵A,存在Qm,AQ=En台r(4)=m、Q的列向量线性无关;(P3) ②、对矩阵An,存在Pn,PA=Ener(A)=n、P的行向量线性无关 14 线性相关台存在一组不全为0的数k,k2…,k,使得ka1+ka2+…+k,∝1=0成立;(定义) 台(a1,a2…,a):=0有非零解,即Ax=0有非零解台r(a,a2,…a,)<s,系数矩阵的秩小于未知数的个数 15.设mxn的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩为:r(S)=n-r; 16.若n为Ax=b的一个解,512…,E为Ax=0的一个基础解系,则n,51,52,…,n,线性无关;(P1题 33结论)

5 ③、    , , 线性相关     , , 共面； 6. 线性相关与无关的两套定理：若 1 2 , , ,   s 线性相关，则 1 2 1 , , , ,    s s+ 必线性相关；若 1 2 , , ,   s 线性无关，则 1 2 1 , , ,   s− 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 n r − 个分量，构成 n 维向量组 B ：若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组 A （个数为 r ）能由向量组 B （个数为 s ）线性表示，且 A 线性无关，则 r s  (二版 P74 定理 7)；向量组 A 能由向量组 B 线性表示，则 r A r B ( ) ( )  ；（ P86 定理 3）向量组 A 能由向量组 B 线性表示  = AX B 有解；  = r A r A B ( ) ( , ) （ P85 定理 2）向量组 A 能由向量组 B 等价  = = r A r B r A B ( ) ( ) ( , ) （ P85 定理 2 推论） 8. 方阵 A 可逆  存在有限个初等矩阵 1 2 , , , P P Pl ，使 A P P P = 1 2 l ； ①、矩阵行等价： ~ r A B PA B  = （左乘， P 可逆）  = Ax 0 与 Bx = 0 同解 ②、矩阵列等价： ~ c A B AQ B  = （右乘， Q 可逆）； ③、矩阵等价： A B PAQ B ~  = （ P 、Q 可逆）； 9. 对于矩阵 Am n 与 Bl n ： ①、若 A 与 B 行等价，则 A 与 B 的行秩相等； ②、若 A 与 B 行等价，则 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，且 A 与 B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵 A 的行秩等于列秩； 10. 若 A B C m s s n m n    = ，则： ①、 C 的列向量组能由 A 的列向量组线性表示， B 为系数矩阵； ②、 C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示， T A 为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组 Bx = 0 的解一定是 ABx = 0 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、 ABx = 0 只有零解  = Bx 0 只有零解； ②、 Bx = 0 有非零解  = ABx 0 一定存在非零解； 12. 设向量组 1 2 : , , , B b b b n r r  可由向量组 1 2 : , , , A a a a n s s  线性表示为：（ P110 题 19 结论） 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) r s b b b a a a K = （ B AK = ）其中 K 为 s r  ，且 A 线性无关，则 B 组线性无关  = r K r ( ) ；（ B 与 K 的列向量组具有相同线性相关性）（必要性： r r B r AK r K r K r r K r = =    = ( ) ( ) ( ), ( ) , ( ) ；充分性：反证法）注：当 r s = 时， K 为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵 Am n ，存在 Qn m ， AQ E= m  = r A m ( ) 、Q 的列向量线性无关；（ P87 ） ②、对矩阵 Am n ，存在 Pn m ， PA E= n  = r A n ( ) 、 P 的行向量线性无关； 14. 1 2 , , ,   s 线性相关  存在一组不全为 0 的数 1 2 , , , s k k k ，使得 1 1 2 2 0 s s k k k    + + + = 成立；（定义）  1 2 1 2 ( , , , ) 0 s s x x x          =       有非零解，即 Ax = 0 有非零解；  1 2 ( , , , )s r s     ，系数矩阵的秩小于未知数的个数； 15. 设 m n  的矩阵 A 的秩为 r ，则 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的解集 S 的秩为： r S n r ( ) = − ； 16. 若 *  为 Ax b = 的一个解， 1 2 , , ,    n r − 为 Ax = 0 的一个基础解系，则 * 1 2 , , , ,     n r − 线性无关；（ P111 题 33 结论）